ট্র্যাপডোর ছাড়াই ওয়ানওয়ে পারমুটেশন

Question

সংক্ষেপে: ধরে নিলাম একমুখী ক্রমানুবর্তন রয়েছে, আমরা কি এমন কোনও নির্মাণ করতে পারি যার কোনও ট্র্যাপডোর নেই?

অধিক তথ্য:

ওয়ান-ওয়ে ক্রমুয়েটেশন হ'ল এক অনুক্রম যা গণনা করা সহজ তবে উল্টানো শক্ত ( আরও আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞার জন্য ওয়ান-ওয়ে-ফাংশন ট্যাগ উইকি দেখুন)। আমরা সাধারণত বিবেচনা পরিবারের একমুখী বিন্যাস এর, , যেখানে প্রতিটি একটি একমুখী বিন্যাস, একটি অভিনয় সসীম ডোমেইন । একজন ঠেলা দরজা একমুখী বিন্যাস ছাড়া একটি ঠেলা দরজা সেট অস্তিত্ব আছে যে, উপরোক্ত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং বহু সময় ইনভার্টারিং অ্যালগরিদম , যেমন যে সব জন্য , , এবং$\pi$$\pi = \{\pi_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$\pi_n$$D_n$$\{t_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$I$$n$$|t_n| \le {\rm poly}(n)$$I$ করতে provided যদি দেওয়া হয় যে দেওয়া ।$\pi_n$$t_n$

আমি জানি যে ওয়ান-ওয়ে ক্রমুটিশনগুলি উত্পন্ন হয় যাতে ট্র্যাপডোর খুঁজে পাওয়া অনুপযুক্ত হয় (তবুও ট্র্যাপডোর বিদ্যমান রয়েছে)। আরএসএ-অনুমানের উপর ভিত্তি করে একটি উদাহরণ এখানে দেওয়া হয়েছে । প্রশ্ন হচ্ছে,

ট্র্যাপডোর (সেট) নেই এমন একমুখী ক্রমানুসারে কি (পরিবারগুলির) পরিবার রয়েছে ?

সম্পাদনা: (আরও ফর্মালাইজেশন)

ধরে নিই যে কিছু কিছু এক-উপায়ে পলিউশন রয়েছে (অসীম) ডোমেন । এটি হ'ল, এখানে একটি সম্ভাব্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম (যা ইনপুট উপর কিছু বিতরণ ) যেমন এর জন্য যে কোনও বহু-সময়-বিরোধী , যে কোনও এবং সমস্ত পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় পূর্ণসংখ্যা :$\pi$$D \subseteq \{0,1\}^*$$\mathcal{D}$$1^n$$D_n=\\{0,1\\}^n \cap D$$\mathcal{A}$$c>0$$n$

$\Pr[x \leftarrow \mathcal{D}(1^n) \colon \quad \mathcal{A}(\pi(x))=x]<n^{-c}$

(সম্ভাবনাটি $\mathcal{D}$ এবং \ ম্যাথ্যাকাল {এ} এর অভ্যন্তরীণ মুদ্রা টসসের উপরে নেওয়া হয় $\mathcal{A}$))

প্রশ্নটি হ'ল আমরা কী কোনও একমুখী অনুক্রম , যার জন্য একটি সম্ভাব্য বহুপদী-অ্যালগরিদম যেমন সার্কিটের কোনও বহু-আকারের পরিবারের জন্য , যে কোনও এবং সমস্ত পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় পূর্ণসংখ্যা :$\pi'$$\mathcal{D}'$ $\mathcal{A}'=\{\mathcal{A}'_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$c>0$$n$

$\Pr[x \leftarrow \mathcal{D}'(1^n) \colon \quad \mathcal{A}'_n(\pi'(x))=x]<n^{-c}$

(সম্ভাবনাটি এর অভ্যন্তরীণ মুদ্রা টসসের উপরে নেওয়া হয় , যেহেতু ))$\mathcal{D}'$$\mathcal{A}'$

Comments

মনে হচ্ছে আপনি একটি OWP চান যা বহু-পরিমাণ পরামর্শ দেওয়ার পরেও একমুখী থাকে। যাইহোক, আমরা সাধারণত ওডাব্লুপি পরিবারের পরিবারগুলি সংজ্ঞায়িত করি না - দেখুন গোল্ডরিচ ভলিউম 1, ডিফস 2.4.4 এবং 2.4.5 দেখুন।

— ডেভিড নগদ

@ ডেভিড: হ্যাঁ, আমি জানি এটি সাধারণ সংজ্ঞা নয়, তবে আমি অনুভব করেছি যে আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা (গোল্ডরিচের বইয়ে যেটি প্রকাশিত হয়েছে) এই আলোচনার জন্য অনেক দীর্ঘ।

— এমএস দৌস্তি

@ সাদেক: যথেষ্ট ন্যায্য, তবে আমি মনে করি সংজ্ঞাগুলির পরিবর্তনটি এখানে উল্লেখযোগ্য হবে। এর মূল্য কী, তার জন্য আমি আগে একই ধরণের সুরক্ষা (কোনও ট্র্যাডডোর নেই) সম্পর্কে চিন্তা করার চেষ্টা করেছি। দেখে মনে হয়েছিল একটি ভাল সংজ্ঞা হ'ল বিপর্যয় পরীক্ষার আগে পরিবার সূচকের আনবাউন্ড প্রসেসিংয়ের পরামর্শ উত্পন্ন করতে দেওয়া।

— ডেভিড নগদ

@ ডেভিড: দেখুন সম্পাদিত অংশটি আরও আনুষ্ঠানিককরণের প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে কিনা।

— এমএস দৌস্তি

@ সাদেক: ট্র্যাপডোর একমুখী অনুমতিগুলি একমুখী অনুমানের দ্বারা বোঝানো হয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করা (যদিও এটি উভয়টি অনুমেয়ভাবে বিদ্যমান থাকতে পারে বলে পরবর্তীকালের অর্থ কী তা এখনও পরিষ্কার নয়) ক্রিপ্টোগ্রাফি তত্ত্বের অন্যতম বৃহত্তম উন্মুক্ত সমস্যা । ইমপাগলিয়াজো এবং রুডিচ ( cseweb.ucsd.edu/~russell/secret.ps ) প্রমাণ করেছে যে ব্ল্যাক-বাক্স কৌশলগুলি ব্যবহার করে এটি অর্জন করা যায় না এবং বর্তমান কৌশলগুলি তাদের বিচ্ছেদকে বাইপাস করার জন্য পরিচিত নয়।

— অ্যালন রোজন

Answer 1

নিম্নলিখিত বিষয়গুলি বিবেচনা করুন:

1) ওয়ান-ওয়ে ক্রমুটিশন (ওডাব্লুপি) বিদ্যমান তবে ট্র্যাপডোর পারমুটেশন (টিডিপি) থাকে না (অর্থাত্ আমরা ইমপাগলিয়াজোর " মিনিক্রিপ্ট " বিশ্বের বিভিন্ন রূপে আছি )। এক্ষেত্রে আপনি কেবল ওডাব্লুপিইউর উপস্থিতির গ্যারান্টিযুক্ত গ্রহণ করেন এবং আপনি জানেন যে এটির কোনও ট্র্যাপডোর নেই।

2) ওডাব্লুপি এবং টিডিপি উভয়ই বিদ্যমান। এখানে আপনার কাছে দুটি বিকল্প রয়েছে:

(ক) প্রত্যেক ওডব্লিউপিতে একটি মূল প্রজন্মের অ্যালগরিদম জি থাকে যা ফাংশনটির "সর্বজনীন" বিবরণকে একটি নমুনাযুক্ত ট্র্যাপডোর টি সহ আউটপুট দেয়। এই ক্ষেত্রে, একটি পরিবর্তিত কী-প্রজন্মের কথা বিবেচনা করুন যা কেবলমাত্র চ। এটি আপনাকে একটি ওডাব্লুপি দেয় এবং তদ্ব্যতীত প্রদত্ত চ সন্ধান করা অসম্ভব (যেমনটি অন্যথায় আপনার কাছে এফটি রূপান্তর করার কার্যকর উপায় আছে)। এটি একটি অ-ইউনিফর্ম বৈকল্পিকের জন্যও রাখা উচিত।

(খ) এর মধ্যে একটি ওডাব্লুপি চ বিদ্যমান রয়েছে যে কোনও অ্যালগরিদম জি উভয় চ এবং টি আউটপুট করতে পারে না যাতে টি এলোমেলো এক্সের জন্য চ (এক্স) এর বিপরীকরণকে সক্ষম করে। এই ক্ষেত্রে এফ একটি ওডাব্লুপি যা ট্র্যাপডোর নেই।

উপরের থ্রেডের একটি মন্তব্যে মনে হচ্ছে যে আপনি প্রশ্নটি করেছেন আসলে ওডাব্লুপি-র অস্তিত্ব টিডিপির অস্তিত্ব বোঝাতে পরিচিত কিনা? এটি রিট ব্ল্যাক-বাক্স নির্মাণ / হ্রাস না করার জন্য প্রদর্শিত হয়েছে , এবং সাধারণভাবে খোলা আছে (উপরের থ্রেডে আমার মন্তব্য দেখুন)।

Comments

+1, আপনাকে ধন্যবাদ। দায়ূদ উত্তর দেওয়ার জন্য প্রচুর প্রচেষ্টা করেছেন এবং আমি তার প্রতি খুব কৃতজ্ঞ; তবে এটি আমার মনে যা ছিল তার উত্তর।

— এমএস দৌস্তি

আমি ভেবেছিলাম প্রশ্নটি ছিল: (ক) সম্ভব। ক্রিপ্টোগ্রাফিকভাবে, যদি প্রতিটি ওডব্লিউপির একটি ট্র্যাপডোর থাকে তবে আপনি এমন কাউকে বিশ্বাস করতে পারবেন না যিনি আপনাকে ওডাব্লুপি দেয় ট্র্যাপডোরটিও না জানেন। অবশ্যই, আপনি তাঁর ওডাব্লুপি নিতে এবং এটি আপনার নিজের ওডাব্লুপি দিয়ে রচনা করতে পারেন, যার জন্য কেবল আপনি ট্র্যাপডোর জানেন এবং একটি ওডাব্লুপি পেতে পারেন যার জন্য কোনও একক দল ট্র্যাপডোর জানেন না।

— পিটার শর

@ পিটার: হ্যাঁ কম্পোজিশনের কাজ মনে হচ্ছে। অপর বিকল্পটি হ'ল বিভ্রান্ত স্থানান্তর (যা, যদি (ক) ধারণ করে তবে এর অস্তিত্ব রয়েছে - কিছু ছোট সূক্ষ্মতাগুলি মডুলো)। ওটি ব্যবহার করে, প্লেয়ারগুলি একটি সুরক্ষিত ২-পার্টির গণনা প্রোটোকল তৈরি করতে পারে যা তাদের মধ্যে একটিকে ট্র্যাপডোর না শিখতে এবং অন্যটিকে কিছু না শিখতে দেয় f তবে আপনার সমাধানটি সত্যই সহজ।

— অ্যালন রোজেন

Answer 2

আমি সাধারণ অনুমানগুলি থেকে নির্মাণ সম্পর্কে জানি না, তবে আপনি একটি প্রাইম পৃথক লগ ব্যবহার করে "ট্র্যাপডোর ছাড়াই ওয়ান-ওয়ে পারমিটেশন" এর পক্ষে একটি গ্রহণযোগ্য প্রার্থী পেতে পারেন । এটি হ'ল, একটি আদিম রুট মডুলো হতে দিন এবং । তারপরে এবং মধ্যে পূর্ণসংখ্যার ক্রমানুসারে হয় এবং এটি সাধারণত একমুখী বলে ধরে নেওয়া হয়। "নো ট্র্যাপডোর" অংশের জন্য, আমি মনে করি আপনাকে এর অর্থটি ঠিক কীভাবে বোঝাতে হবে তবে যতদূর আমি জানি, বিপরীত সক্ষম করার জন্য আমাদের কাছে জিনিসগুলি সেট আপ করার কোনও উপায় নেই। (আমরা যদি তা করি তবে ক্রিপ্টোগ্রাফিতে এটি সমস্ত ধরণের শীতল (ধনাত্মক) অ্যাপ্লিকেশন থাকতে পারে!)$p$$g$$p$$\pi(x) = g^x\!\mod p$$\pi$$1$$p-1$

Comments

+1 টি। উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. আপনি অ-ইউনিফর্ম বিরোধীদের বিরুদ্ধে আলাদা লগের কঠোরতা ধরে নিচ্ছেন। আমার প্রশ্ন হ'ল একমুখী অনুক্রমের নিছক অস্তিত্ব ধরে নিয়ে, আমরা কী এমন কোনও নির্মাণ করতে পারি যার কোনও ট্র্যাপডোর নেই?

— এমএস দৌস্তি

@ সাদেক: একমুখী অনুমতিের অস্তিত্ব কি পি = এনপি থেকে আলাদা লগের কঠোরতা বোঝায় না?

— মোহাম্মদ আলাগান

@ আলাগান: আমার মনে হয় না। এটি এমন ক্ষেত্রে হতে পারে যে ওয়ান-ওয়ে ক্রমুটিশন রয়েছে, তবে কেউ পৃথক পৃথক লগ ইনভার্ট করার জন্য একটি দক্ষ অ্যালগরিদম নিয়ে আসে।

— এমএস দৌস্তি

@ সাদেক: এটি যদি পি = বিকিউপি! = এনপি হয়।

— মোহাম্মদ আলাগান

@ সাদেক: ঠিক নাকি আমি ভুল পেয়েছি?

— মোহাম্মদ আলাগান