একটি মাল্টি-কাট সমস্যা

12

আমি এই সমস্যার কোনও নাম বা কোনও রেফারেন্স খুঁজছি।

একটি ভারী গ্রাফ দেওয়া পর্যন্ত শীর্ষে অবস্থিত একটি বিভাজন সন্ধান করুন কাটা প্রান্তের মান সর্বাধিক করার জন্য সেট করে : $G = (V, E, w)$ $n = |V|$ $S_1,\ldots,S_n$ নোট করুন যে কয়েকটি সেটখালি রাখতে পারি। সুতরাং সমস্যাটি মূলত সর্বাধিক কে-কাট,ব্যতীতঅংশ নয়: অ্যালগরিদমপছন্দসই যেকোনওবেছে নিতে পারেযাতে কাটা প্রান্তগুলির মান সর্বাধিকতর করতে পারে। স্পষ্টতই, সমস্যাটি ন্যূনতম যদি প্রান্তের ওজন অ-নেতিবাচক হয়: কেবল প্রতিটি ভার্টেক্সকে একা নিজের সেটে রাখুন এবং আপনি সমস্ত প্রান্তটি কেটে ফেলুন। তবে, জিনিসগুলিকে আকর্ষণীয় করে তোলার জন্য, নেতিবাচক ওজনের প্রান্তগুলি অনুমোদিত।

c (S_{1}, \dots, S_{n}) = \sum_{i \neq j} (\sum_{(u, v) \in E : u \in S_{i}, v \in S_{j}} w (u, v))

$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$

S_{i}

$S_i$

k

$k$

k

$k$

এটা কি অধ্যয়ন সমস্যা? অ্যালগরিদমিক বা কঠোরতার ফলাফলগুলির উল্লেখগুলি প্রশংসা হবে!

— হারুন রথ
সূত্র

2

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

G

$G$

\pm 1

$\pm 1$

11

সমস্যাটি কর্পোরেশন ক্লাস্টারিং (সিসি) বানসাল, এন।, ব্লাম, এ এবং চাওলা, এস (2004) এর একটি বৈকল্পিক। "সম্পর্কের ক্লাস্টারিং"। মেশিন লার্নিং জার্নাল (ডেটা ক্লাস্টারিং-তে তাত্ত্বিক অগ্রযাত্রার উপর বিশেষ সংখ্যা p

$G$ $(v,w)$ $a(v,w)$ $b(v,w)$ $P$ $c_P(v,w)$ $a(v,w)$ $v$ $w$ $P$ $b(v,w)$ $P$ $V$ $\sum_{v,w} c(v,w)$

$a(v,w)=0$ $b(v,w)$ $O(\log n)$

বর্ণিত পিটিএএসগুলি মসৃণ বহুবর্ষীয় প্রোগ্রামিং প্রযুক্তির উপর ভিত্তি করে: সর্বাধিক সাধারণ ক্ষেত্রে আমি মনে করি না যে আপনার সমস্যাটি কৌশলটির প্রয়োজনীয়তা পূরণ করবে।

— জিয়ানলুকা ডেলা ভেদোভা
সূত্র

18

আমি কোনও রেফারেন্স জানি না, তবে গ্রাফ কালারিংয়ের হ্রাসের মাধ্যমে আমি এটি এনপি-সম্পূর্ণ দেখাতে পারি।

একটি গ্রাফ জি এবং বিভিন্ন রঙের রঙের সাথে জি রঙ করতে হবে, একটি নতুন গ্রাফ জি তৈরি করুন যা জি এর সাথে একসাথে কে নতুন শীর্ষকে যুক্ত করবে, যেমন প্রতিটি নতুন ভার্টেক্স জি এর প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর সাথে সংযুক্ত থাকে। জি এর প্রতিটি প্রান্ত, ওজন + কে প্রতিটি প্রান্তকে কে নতুন দুটি শীর্ষ সূত্রকে সংযুক্ত করে এবং কে-কে নতুন প্রান্তকে সংযোগকারী প্রতিটি প্রান্তের ওজন -1।

তারপরে, যদি জি কে-রঙিন হতে পারে তবে রঙিন (এক ভাগ করে এমন একটি পার্টিশন যা একেকটি নতুন বর্ণকে একটি বর্ণ শ্রেণীর জন্য নির্ধারিত করে) মোট ওজন এন (এম + কে (কে -১) / ২) অর্জন করে - (কে -1) এন।

অন্য দিকে, আপনার যদি একটি পার্টিশন থাকে যা এই মোট ওজন অর্জন করে, তবে এটি অবশ্যই জি এর সমস্ত প্রান্ত এবং নতুন প্রান্তের জোড়ার মধ্যে থাকা সমস্ত প্রান্ত কাটা উচিত। জি এর সমস্ত প্রান্ত কাটা জি এর বর্ণ নির্ধারণ করে, এবং নতুন নতুন শীর্ষের জোড়গুলির মধ্যে প্রান্তগুলি কেটে বোঝানো হয় যে জি এর প্রতিটি শীর্ষবিন্দু কে-কে নতুন শীর্ষে বেশিরভাগের সাথে সংলগ্ন হতে পারে। অতএব, ওজনে সর্বোত্তম - (কে -১) এন পদ পেতে, জি এর প্রতিটি শীর্ষবিন্দু অবশ্যই একটি নতুন শীর্ষাংশের সাথে সংলগ্ন হতে হবে, এবং তাই কেবল বর্ণ দ্বারা বর্ণিত রঙের মধ্যে কেবল রঙের ক্লাস থাকতে পারে পার্টিশন।

অর্থাত, প্রদত্ত ওজনের সাথে আবদ্ধ পার্টিশনগুলি জি-এর কে-কালারিংয়ের সাথে 1-1 চিঠিপত্রের হয়, সুতরাং এটি আপনার পার্টিশন সমস্যার ক্ষেত্রে রঙিন থেকে হ্রাসকে সংজ্ঞায়িত করে।

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র

11

প্রশ্নটির বিষয়ে একটি মন্তব্যে জুক্কা জিজ্ঞাসা করা বিশেষ মামলার একটি উল্লেখ উল্লেখ করে ডেভিডের চমৎকার এনপি-পূর্ণতা প্রমাণের পরিপূরক করি। যদি গ্রাফটি সম্পূর্ণ গ্রাফ হয় এবং প্রান্তের ওজনগুলি ± 1 এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে তবে সমস্যাটি ক্লাস্টার সম্পাদনা হিসাবে পরিচিত এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার সমতুল্য।

ক্লাস্টার সম্পাদনা শমির, শরণ এবং তসুর [এসএসটি04] দ্বারা প্রদত্ত নিম্নলিখিত সমস্যা। এখানে, একটি ক্লাস্টার গ্রাফটি এমন একটি গ্রাফ যা খাড়া-বিচ্ছিন্ন চক্রগুলির একটি ইউনিয়ন এবং একটি সম্পাদনা হ'ল এক প্রান্তের সংযোজন বা অপসারণ।

ক্লাস্টার সম্পাদনার
উদাহরণ : একটি গ্রাফ জি = ( ভি , ই ) এবং একটি পূর্ণসংখ্যা কে k ∈ℕ
প্রশ্ন : সর্বাধিক কে সম্পাদনা করে জি কে ক্লাস্টার গ্রাফে পরিণত করা সম্ভব ?

ক্লাস্টার সম্পাদনা হ'ল এনপি-সম্পূর্ণ [এসএসটি04]।

ক্লাস্টার সম্পাদনাটি বর্তমান সমস্যার উল্লিখিত বিশেষ ক্ষেত্রে সমতুল্য দেখতে, জি = ( ভি , ই ) কে একটি গ্রাফ হতে দিন। যাক n = | ভি | | এবং G কে সম্পূর্ণ গ্রাফ কে _{এন এর} উপগ্রাফ হিসাবে বিবেচনা করুন । কে ইন _এন , ওজন -1 এ প্রান্ত দিতে জি এবং ওজন +1 টি প্রান্ত মধ্যে না জি । তারপরে G কে একটি ক্লাস্টার গ্রাফে সর্বাধিক কে সম্পাদনা করা যেতে পারে এবং কেবল যদি সেখানে কোনও পার্টিশন ( এস ₁ ,…, এস _এন ) থাকে যেমন সি ( এস ₁ ,…,এস _এন ) ≥ - | E | - k এই ওজনযুক্ত সম্পূর্ণ গ্রাফের জন্য কে _এন । $\binom{n}{2}$

[এসএসটি04] রন শামির, রড শরণ এবং ডেকেল তাসুর। ক্লাস্টার গ্রাফ সংশোধন সমস্যা। বিচ্ছিন্ন প্রয়োগিত গণিত , 144 (1–2): 173–182, নভেম্বর 2004. http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007

— সোসোশি ইতো
সূত্র