কিভাবে অ সসীম করতে

আমি এই প্রশ্নগুলি সম্পর্কে ভাবছিলাম:

একটি টাইপযুক্ত ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস আছে যা সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং ট্যুরিং সম্পূর্ণ?

/cs/65003/if-%CE%BB-xxx-has-a-type-then-is-the-type-system-inconsistent

এবং ইতিমধ্যে টাইপযুক্ত সেটিং-এ সম্পর্কিত প্রশ্নের উত্তর দিতে কিছু শক্ত আছে ! আরও সুনির্দিষ্টভাবে, আমি জানতে আগ্রহী যে আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে অবসানহীনতা থেকে টুরিং-সম্পূর্ণতা পুনরুদ্ধার করতে পারি কিনা:

প্রশ্ন: প্রদত্ত (খাঁটি) $\lambda$ -term $t$ দিয়ে কোন দুর্বল মাথা স্বাভাবিক ফর্ম, সেখানে আছে সবসময় একটি নির্দিষ্ট বিন্দু combinator অস্তিত্ব $Y_t$ যেমন যে
$Y_{t} (λ x . x) = t$ $Y_t\ (\lambda x.x) = t$

Equalities সব মডিউল নেয়া হয় $\beta\eta$ ।

আমি প্রকৃতপক্ষে প্রশ্নের এই সংস্করণটিকে মিথ্যা বলে সন্দেহ করি , সুতরাং কেউ লুপিং সংযোগকারীগুলিতে প্রশ্নটি শিথিল করতে পারে , যেখানে একটি লুপিং সংযোজক $Y$ এমন একটি শব্দ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে যেখানে প্রতিটি $f$

Y f = f (Y^{'} f)

$Y\ f=f\ (Y'\ f)$ যেখানে

Y^{'}

$Y'$ আবার লুপিং সংযোগকারী হওয়া দরকার। অবশ্যই এটি যথারীতি পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য যথেষ্ট।

আরও সাধারণভাবে, আমি উপরের সমীকরণটি সন্তুষ্ট না হলেও, একটি নন-টার্মিনেট $t$ থেকে একটি লুপিং সংযোজকের কাছে যাওয়ার জন্য "প্রাকৃতিক" উপায়গুলি খুঁজতে আগ্রহী ।

আমিও উপরে প্রশ্নই দুর্বল সংস্করণে আগ্রহী, যেমন $t$ একটি অ্যাপ্লিকেশন হতে গ্রহণ করা যেতে পারে $t\equiv t_1\ t_2\ldots t_n$ সাথে $t_i$ স্বাভাবিক আকারে (যদিও আমি নিশ্চিত নই যে সত্যিই সাহায্য করে)।

এ পর্যন্ত: প্রাকৃতিক পদ্ধতির নিতে হয় $t$ এবং "মরিচ" এর অ্যাপ্লিকেশন $f$ জুড়ে, যেমন

Ω := (λ x . x x) (λ x . x x)

$\Omega:=(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

স্বাভাবিক হয়ে যায়

Y_{Ω} := λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))

$Y_\Omega:= \lambda f.(\lambda x. f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))$

এর মাথাটি $t$ ল্যাম্বডা অ্যাপ্লিকেশন কমিয়ে আনার ধারণা $\lambda x. t'$ এবং এটি সাথে প্রতিস্থাপন করুন $\lambda x.f\ t'$ , তবে পরবর্তী পদক্ষেপটি অস্পষ্ট (এবং আমি সন্দেহ করি যে এটি কোনও কারণ হতে পারে)।

আমি নিশ্চিত যে আমি Böhm গাছ সম্পর্কে যথেষ্ট বুঝতে করছি তারা কিছু বলার আছে কিনা দেখতে, কিন্তু আমি অত্যন্ত এটা সন্দেহ, যেহেতু $\Omega$ এর Böhm গাছ সহজভাবে হয় $\bot$ , যার জন্য এক মত কিছুই দেখায় $Y_\Omega$ : অসীম গাছ বিমূর্ত।

সম্পাদনা : আমার এক বন্ধু মন্তব্য করেছিল যে এই নিষ্পাপ পদ্ধতির শব্দটি কার্যকর হয় না: নিষ্পাপ দৃষ্টিভঙ্গি দেবে কিন্তু এই হল না একটি নির্দিষ্ট বিন্দু combinator! এই দ্বিতীয় আবেদন প্রতিস্থাপন সংশোধন করা যেতে পারে দ্বারা

(λ এক্স । এক্স এক্স এক্স) (λ এক্স । এক্স এক্স এক্স)

$(\lambda x.x\ x\ x)(\lambda x.x\ x\ x)$

(λ এক্স । চ (এক্স এক্স এক্স)) (λ এক্স । চ (এক্স এক্স এক্স))

$(\lambda x.f\ (x\ x\ x))(\lambda x.f\ (x\ x\ x))$

f

$f$

, তবে

মূল শব্দটি দেই না। যদিও এই শব্দটি মূল প্রশ্নের পক্ষে প্রতি-উদাহরণ কিনা তা পরিষ্কার নয় (এবং এটি অবশ্যই আরও সাধারণের পক্ষে একটি পাল্টা উদাহরণ নয়)।

λ y z . f y

$\lambda y z.f\ y$

f \mapsto I

$f\mapsto \mathrm{I}$

lambda-calculus combinatory-logic

— কোডি
সূত্র

আমি বিশ্বাস করি যে দুর্বল মাথা স্বাভাবিক ফর্মগুলি বাদ দিতে টির কোনও মাথা স্বাভাবিক ফর্ম নেই এমন প্রয়োজনীয়তা আরও শক্তিশালী করা উচিত। যদি টি একটি ল্যাম্বডা উত্পাদন করতে সক্ষম হয়, তবে, যেহেতু মাথা পজিশনে আপনার সর্বদা একটি ফিক্সপয়েন্ট কম্বিনেটর থাকে (এফ = আইডি দিয়ে শুরু হয়), ল্যাম্বডা এটি দ্বারা উত্পাদিত করা উচিত, এটি সম্ভব নয়।

— Andrea Asperti

@ আন্ড্রেআস্পার্টি আপনি অবশ্যই সঠিক correct আমি প্রশ্নটি সংশোধন করব।

— કોડি

এই খুব সুন্দর প্রশ্নের বেশ কয়েকটি দিক রয়েছে, তাই আমি সেই অনুসারে এই উত্তরটি গঠন করব। $\newcommand{\setof}[1]{\{#1\}}$ $\newcommand{\thra}{\twoheadrightarrow}$ $\newcommand{\codeof}[1]{\lceil #1 \rceil}$

1. বক্সযুক্ত প্রশ্নের উত্তর হ'ল না । আপনার বন্ধু দ্বারা প্রস্তাবিত শব্দটি প্রকৃতপক্ষে একটি পাল্টা নমুনা। $\Omega_3 = (\lambda x.xxx)(\lambda x.xxx)$

আগে মন্তব্যগুলিতে এটি লক্ষ্য করা গিয়েছিল যে কারও কাছে "ওগ্রে" মতো প্রতিবিম্ব রয়েছে , যতক্ষণ না প্রশ্ন দুর্বল মাথা হিসাবে ফর্ম হিসাবে সীমাবদ্ধ থাকে। এ জাতীয় পদ শূন্য পদ হিসাবে পরিচিত । এগুলি এমন কোনও পদ যা কোনও প্রতিস্থাপনের অধীনে কোনও ল্যাম্বডায় কমে না। $K^\infty=Y K$

যে কোনও স্থির বিন্দু সংমিশ্রণ (এফপিসি) , একটি তথাকথিত নিঃশব্দ (একেএ "রুট-অ্যাক্টিভ") শব্দ: এর প্রতিটি হ্রাসটি আরও একটি রেডেক্সে কমিয়ে দেয়। $Y$ $Y I$

নিঃশব্দ নয়; তন্ন তন্ন হয় যেমন reducts তার সেট, যা পরিদর্শন দ্বারা স্পষ্ট হয় $K^\infty$ $\Omega_3$ $-$

{Ω_{3} \underset{k}{\underset{⏟}{(λ x . x x x) \dots (λ x . x x x)}} ∣ k \in N}

$\setof{\Omega_3 \underbrace{(\lambda x. xxx) \cdots (\lambda x. xxx)}_k \mid k \in \mathbb{N}}$

বরং একটি সুনির্দিষ্ট যুক্তি দিতে কেন fpcs সবার জন্য নিঃশব্দ হয় (প্রকৃতপক্ষে, কোন লুপিং combinator জন্য) আড়ষ্ট এখনো আশা স্পষ্ট যথেষ্ট হতে পারে যা আমি আপনার প্রশ্নের সুস্পষ্ট সাধারণীকরণ বিবেচনা করবে, পাশাপাশি নিঃশব্দ পদ সীমাবদ্ধ। $Y I$ $Y$ $-$ $-$

নিঃশব্দ পদগুলি শূন্য পদগুলির একটি সাবক্লাস যা অবিশ্বাস্য শর্তাদির একটি সাবক্লাস। লম্বা ক্যালকুলাসে যথাক্রমে তুচ্ছ ব্যারারডাস্কি, লেভি-লঙ্গো এবং বি oh "ওহম গাছের সাথে মিল রেখে ল্যাংডা ক্যালকুলাসে" অর্থহীন "বা" অপরিজ্ঞাত "ধারণার জন্য এটি সম্ভবত সবচেয়ে জনপ্রিয় পছন্দ gether অর্থহীন পদগুলির ধারণার জালিয়াতি। পলা সেভেরি এবং ফের-জান দে ভ্রাইস বিশদ দ্বারা বিশদ বিশ্লেষণ করেছেন। [1] নিঃশব্দ পদগুলি এই জালির নীচের উপাদানটি গঠন করে, অর্থাৎ, "অপরিজ্ঞাত" এর সীমাবদ্ধ ধারণা not

2. আসুন একটি নিঃশব্দ মেয়াদ হতে, এবং সম্পত্তি যে একটি লুপিং combinator হতে । $M$ $Y$ $YI = M$

প্রথম আমরা যে তর্ক, একটি তাজা পরিবর্তনশীল জন্য , আসলে মত অনেক দেখায় আপনি বর্ণিত, দ্বারা "ছড়ানো প্রাপ্ত কিছু reduct প্রায়" । $z$ $Yz$ $Y_M$ $z$ $M$

চার্চ-Rosser, কসম এবং একটি সাধারণ reduct, have । একটি স্ট্যান্ডার্ড হ্রাস নিন । প্রতিটি subterm $YI$ $M$ $M'$ $R : YI \thra_s M'$ $M'$ এই হ্রাসের আওতায় একটি অনন্য সাবটার্মের সাথে মিলে যায় । যে কোনও subterm , হিসাবে কারণের জন্য $YI\equiv Yz[z:=I]$ $C[N]=M'$ $R$ , যেখানে মধ্যম লেগ একটি দুর্বল মাথা হ্রাস (এবং চূড়ান্ত লেগ অভ্যন্তরীণ ব্যবহারের জন্য)। কে একটি দ্বারা "রক্ষিত" হয়যদি এই দ্বিতীয় লেগেরসাথে কিছুটা পুনর্নির্বাচিত চুক্তি প্রতিস্থাপনের বংশধর । $YI \thra C[N_0] \thra_{wh} C[N_1] \thra_i C[N]$ $N$ $z$ $I P$ $I$ $[z:=I]$

স্পষ্টতই, কিছু সাবটার্মগুলি রক্ষা করতে হবে, অন্যথায় এটিও নিঃশব্দ হবে। অন্যদিকে, সাবটার্মগুলি যা অবসানহীনতার জন্য প্রয়োজন তা রক্ষা না করা অবশ্যই সতর্ক থাকতে হবে, অন্যথায় এটি কোনও লুপিং সংযুক্তকারীটির অসীম বি \ "ওহম গাছ বিকাশ করতে পারে না। $Y$ $M$

এইভাবে একটি নিঃশব্দ শব্দটির সন্ধান করা যথেষ্ট, যেখানে প্রতিটি হ্রাসের প্রতিটি উপসত্তা, অ-সাধারণীকরণের জন্য প্রয়োজনীয়, এই অর্থে যে এই সাবটারমের সামনে একটি ভেরিয়েবল স্থাপন করা একটি স্বাভাবিককরণ শব্দটি দেয়।

বিবেচনা করুন , যেখানে । এটি মতো , তবে প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে আমরা পরীক্ষা করে দেখি যে আর্গুমেন্ট পজিশনে এর উপস্থিতি একটি প্রধান ভেরিয়েবল দ্বারা "ব্লক" করা হয়নি, এটি একটি পরিচয় খাওয়ানোর মাধ্যমে। লাগানো a $\Psi = W W$ $W = \lambda w. w I w w$ $\Omega$ $W$ কোনও সাবটারমের সামনে স্থাপন করা অবশেষে আকারের একটি সাধারণ রূপ ধারণ করবে, যেখানে প্রতিটি হয় , বাএগুলিরএকটি " স্প্রিংলিং"। সুতরাং $z$ $zP_1\cdots P_k$ $P_i$ $I$ $W$ $z$ $\Psi$ জেনারেলাইজড প্রশ্নের একটি পাল্টা নমুনা।

উপপাদ্য। কোন লুপিং combinator হয় যেমন যে । $Y$ $YI = \Psi$

প্রমাণ। সব reducts সেট হয় $\Psi$ । অর্ডার দিয়ে পরিবর্তনীয় করতে হলে , এই এক কমাতে উচিত নয়। যুক্তি সব ক্ষেত্রে অভিন্ন; concreteness, যে অনুমান করা । $\setof{WW,WIWW,IIIIWW,IIIWW,IIWW,IWW}$ $\Psi$ $YI$ $YI \thra IIWW$

কোন মান হ্রাস উপাদান করা যেতে পারে $YI \thra_s IIWW$

\begin{aligned} Y I ↠_{w} P N_{4}, P ↠_{w} Q N_{3}, Q ↠_{w} N_{1} N_{2}, thus Y I ↠_{w} N_{1} N_{2} N_{3} N_{4} \\ N_{1} ↠ I, N_{2} ↠ I, N_{3} ↠ W, N_{4} ↠ W \end{aligned}

$\begin{align*} YI \thra_w P N_4, P \thra_w Q N_3, Q \thra_w N_1 N_2, \text{thus } YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4\\ N_1 \thra I, N_2 \thra I, N_3 \thra W, N_4 \thra W \end{align*}$

$YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4$ $R_0$ $N_i$ $R_i$

$[z:=I]$

\begin{aligned} R_{0}^{z} : Y z ↠ z^{k} (M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}) \\ N_{i} \equiv M_{i} [z := I] \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_0 : Yz \thra z^k(M_1 M_2 M_3 M_4)\\ N_i \equiv M_i[z:=I] \end{align*}$

R_{0}

$R_0$

Y I \overset{R_{0}^{z} [z := I]}{↠} I^{k} (N_{1} \dots N_{4}) ↠_{w}^{k} N_{1} \dots N_{4}

$YI \stackrel{R^z_0[z:=I]}{\thra} I^k(N_1 \cdots N_4) \thra^k_w N_1 \cdots N_4$

$R_i : N_i \thra N \in \setof{I,W}$

\begin{aligned} R_{i}^{z} : M_{i} ↠ N_{i}^{z} \\ R_{i} : N_{i} \overset{R_{i}^{z} [z := I]}{↠} N_{i}^{z} [z := I] ↠_{I} N \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_i : M_i \thra N^z_i\\ R_i : N_i \stackrel{R^z_i[z:=I]}{\thra} N^z_i[z:=I] \thra_I N \end{align*}$

$R_i$ $I$ -redexes which are created by the substitution $N^z_i[z:=I]$ . (In particular, since $N$ is a normal form, so is $N^z_i$ .)

$N^z_i$ is what we called a " $z$ -sprinkling of $N$ ", obtained by placing any number of $z$ s around any number of subterms of $N$ . Since $N \in \setof{I,W}$ , the shape of $N^z_i$ will be one of

\begin{aligned} z^{k_{1}} (λ x . z^{k_{2}} (x)) \\ z^{k_{1}} (λ w . z^{k_{2}} (z^{k_{3}} (z^{k_{5}} (z^{k_{7}} (w) z^{k_{8}} (λ x . z^{k_{9}} (x))) z^{k_{6}} (w)) z^{k_{4}} (w))) \end{aligned}

$\begin{align*} &z^{k_1}(\lambda x. z^{k_2}(x))\\ &z^{k_1}(\lambda w. z^{k_2}( z^{k_3}( z^{k_5}( z^{k_7}(w) z^{k_8}(\lambda x. z^{k_9}(x)) ) z^{k_6}(w) ) z^{k_4}(w) )) \end{align*}$

So $M_1 M_2 M_3 M_4 \thra N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ , with $N^z_i$ a $z$ -sprinkling of $I$ for $i =1,2$ and of $W$ for $i=3,4$ .

At the same time, the term $N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ should yet reduce to yield the infinite fpc Bohm tree $z(z(z(\cdots)))$ . So there must exist a "sprinkle" $z^{k_j}$ in one of the $N^z_i$ which comes infinitely often to the head of the term, yet does not block further reductions of it.

And now we are done. By inspecting each $N^z_i$ , for $i \le 4$ , and each possible value of $k_j$ , for $j \le 2+7\lfloor \frac{i-1}{2} \rfloor$ , we find that no such sprinkling exists.

For example, if we modify the last $W$ in $IIWW$ as $W^z = \lambda w. z(wIww)$ , then we get the normalizing reduction

I I W W^{z} \to I W W^{z} \to W W^{z} \to W^{z} I W^{z} W^{z} \to z (I I I I) W^{z} W^{z} ↠ z I W^{z} W^{z}

$IIWW^z \to I W W^z \to WW^z \to W^z I W^z W^z \to z (I I I I) W^z W^z \thra z I W^z W^z$

(Notice that $\Omega$ admits such a sprinkling precisely because a certain subterm of it can be "guarded" without affecting non-normalization. The variable comes in head position, but enough redexes remain below.)

3. The "sprinkling transformation" has other uses. For example, by placing $z$ in front of every redex in $M$ , we obtain a term $N = \lambda z. M_z$ which is a normal form, yet satisfies the equation $N I = M$ . This was used by Statman in [2], for example.

4. Alternatively, if you relax the requirement that $Y I = M$ , you can find various (weak) fpcs $Y$ which simulate the reduction of $M$ , while outputting a chain of $z$ s along the way. I am not sure this would answer your general question, but there are certainly a number of (computable) transformations $M \mapsto Y_M$ which output looping combinators for every mute $M$ , in such a way that the reduction graph of $Y_M$ is structurally similar to that of $M$ . For example, one can write

Y ⌈ M ⌉ z = {\begin{cases} z (Y ⌈ P [x := Q] ⌉ z) & M \equiv (λ x . P) Q \\ Y ⌈ N ⌉ z & M is not a redex and M \to_{w h} N \end{cases}

$Y \codeof{M} z = \begin{cases} z (Y \codeof{P[x:=Q]} z) &M\equiv (\lambda x.P)Q\\ Y \codeof{N} z &M \text{ is not a redex and }M \to_{wh} N \end{cases}$

[1] Severi P., de Vries FJ. (2011) Decomposing the Lattice of Meaningless Sets in the Infinitary Lambda Calculus. In: Beklemishev L.D., de Queiroz R. (eds) Logic, Language, Information and Computation. WoLLIC 2011. Lecture Notes in Computer Science, vol 6642.

[2] Richard Statman. There is no hyperrecurrent S,K combinator. Research Report 91–133, Department of Mathematics, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, 1991.

— Andrew Polonsky
সূত্র

This answer is great, and I will likely accept it. However, I'm not sure what the actual theorems you are describing, other than "there is no looping combinator

Y

$Y$ such that

Y I = Ω_{3}

$Y\ I=\Omega_3$ ". I think stating the theorems separately will make the arguments much easier to follow.

— cody

Good point. I just updated the answer.

— Andrew Polonsky