এমন কোনও এনপি-সম্পূর্ণ ভাষা আছে যেখানে এন-বিট উদাহরণগুলির ঠিক অর্ধেকটি থাকে?

Question

এমন কি (প্রাকৃতিকভাবে প্রাকৃতিক) এনপি-সম্পূর্ণ ভাষা , যেমন প্রতিটি for ধরে? অন্য কথায়, সমস্ত বিট উদাহরণগুলির ঠিক অর্ধেকটি থাকে ।$L\subseteq \{0,1\}^*$$n\geq 1$

$$|L\cap \{0,1\}^n|=2^{n-1}$$ $L$$n$

Comments

খুব অবাক লাগবে যদি সেখানে না থেকে কয়েক মিনিটের জন্য চিন্তা করে কোনও নির্মাণ খুঁজে পাওয়া যায় না।

— কাভেহ

এফডব্লিউআইডাব্লিউটি এমন একটি যা এনপি-হার্ড এবং এনপি / পলিতে ...$L$

— নিল ইয়ং

সিএনএফ সূত্রগুলির বাইজিক বাইনারি এনকোডিং জন্য, { ই ( φ ) 1 | φ সন্তুষ্টযোগ্য } ∪ { ই ( φ ) 0 | at অসন্তুষ্ট } কাজ করা উচিত। $e$$\{e(\varphi)1\ |\ \varphi$$\} \cup \{e(\varphi)0\ |\ \varphi$$\}$

— ক্লাউস ড্রেইজার

@ ক্লাসড্রেজার অসন্তুষ্টিযোগ্যতা কোনও এনপি সম্পত্তি নয়, যদি না এনপি = সহ-এনপি হয়।

— আন্দ্রেস ফারাগো

এই সম্পত্তির সাথে L ∈ N P - C o m p l e t e O এর অস্তিত্ব নেই এমন কোনও ওরাকেল আছে কি ? $O$$\mathcal{L}\in {\bf NP-Complete}^O$

— এরফান খানিকি

Answer 1

আমি কয়েক বছর আগে এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করেছি এবং বোয়াজ বারাক ইতিবাচকভাবে এর উত্তর দিয়েছিল ।

---

বিবৃতিটি এনপি-সম্পূর্ণ ভাষার এর অস্তিত্বের সমান যেখানে এল | এল এন | বহু-কালীন গণনাযোগ্য।$L$$|L_n|$

বুলিয়ান সূত্র এবং স্যাট বিবেচনা করুন। প্যাডিং ব্যবহার এবং সামান্য সূত্রের এনকোডিং পরিবর্তন আমরা নিশ্চিত যে করতে পারেন এবং ¬ φ একই দৈর্ঘ্য।$\varphi$$\lnot \varphi$

যাক এনকোডিং যে হতে$\langle\ \rangle$

• সকল সূত্র জন্য এবং সমস্ত সত্য অ্যাসাইনমেন্টের জন্য τ ∈ { 0 , 1 } | φ | , | ⟨ Φ ⟩ | = | ⟨ Φ , τ ⟩ | ।$\varphi$$\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$$|\langle\varphi\rangle| = |\langle\varphi, \tau\rangle|$
• বহু-কালীন গণনাযোগ্য।$|\langle\varphi\rangle| \mapsto |\varphi|$
• এনকোডযুক্ত দৈর্ঘ্য সহ সূত্রগুলির সংখ্যা বহু-সময় গণনাযোগ্য।$n$

বিবেচনা করুন

$$L := \{\langle\varphi\rangle \mid \varphi \in \mathsf{SAT} \} \cup \{\langle \varphi, \tau \rangle \mid \tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi \}$$

এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে এনপি-সম্পূর্ণ।$L$

তাহলে , পরিতৃপ্ত সত্য বরাদ্দকরণ সংখ্যা τ ⊨ φ  এবং  ∃ σ < τ σ ⊨ φ হয় পরিতৃপ্ত সত্য বরাদ্দকরণ সংখ্যার সমান - 1 । যোগ করার পদ্ধতি φ নিজেই তার জন্য সত্য বরাদ্দকরণ পরিতৃপ্ত সংখ্যা অ্যাডস আপ φ ।$\varphi \in \mathsf{SAT}$

$$\tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi$$ $- 1$$\varphi$$\varphi$

আছে সত্য কার্য। প্রতিটি τ হয় সন্তুষ্ট φ বা ¬ φ (এবং উভয়ই নয়)। প্রত্যেক সূত্রের জন্য φ , বিবেচনা 2 ( 2 | φ | + + 1 ) স্ট্রিং ⟨ φ ⟩ , ⟨ ¬ φ ⟩ , ⟨ φ , τ ⟩ এবং ⟨ ¬ φ , τ ⟩ জন্য τ ∈ { 0 $2^{|\varphi|}$$\tau$$\varphi$$\lnot \varphi$$\varphi$$2(2^{|\varphi|}+1)$$\langle\varphi\rangle$$\langle\lnot \varphi\rangle$$\langle\varphi, \tau\rangle$$\langle \lnot\varphi, \tau\rangle$। ঠিক 2 | φ | এই 2 | φ | + 1 + 2 স্ট্রিংগুলি এল তে রয়েছে । এই উপায়ে দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং সংখ্যা এন মধ্যে এল সূত্র সংখ্যা φ এনকোডেড দৈর্ঘ্যের এন দ্বারা গুন 2 | φ | কোন বহু-সময় গণনাযোগ্য।$\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$$2^{|\varphi|}$$2^{|\varphi|+1}+2$$L$$n$$L$$\varphi$$n$$2^{|\varphi|}$

Comments

এটি যদি কাঙ্ক্ষিত সমাধান হয় তবে এটি স্বতন্ত্রভাবে লিঙ্ক-একমাত্র উত্তর।

— ব্যবহারকারী 2943160

পরিষ্কার হতে হবে, স্যাট সম্পর্কে বিশেষ কিছুই নেই, এটি কোনও এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য কোনও ভেরিফায়ার প্রিডিকেটের সাথে কাজ করবে।

— কাভেহ

@Kaveh, আপনি এখানে স্যাট একটি নির্দিষ্ট সম্পত্তি ব্যবহার করবেন না, যে দৃষ্টান্ত আসা জোড়ায় জোড়ায় , ¬ φ যেমন যে কোনো সাক্ষী τ ঠিক যুগল দুই এক জন্য একটি সাক্ষী? আপনি কীভাবে এটি করতে চান, যেমন 3-রঙ? $\phi$$\lnot \phi$$\tau$

— নিল ইয়ং

@ নিল, ভি (এক্স, ওয়াই) কে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য যাচাইকারী হতে দিন। ডাব্লু (x, b, y) বিবেচনা করুন: = ভি (x, y) = খ b এটি এখনও এনপি-সম্পূর্ণ এবং প্রতিটি y এক্স, 0 বা x, 1 এর জন্য সাক্ষী। যদিও স্যাটের মতো সুন্দর নয়।

— কাভেঃ

@ কাভেঃ যেমন স্যাট দিয়ে আপনি কি তবে এটি পিতে রয়েছে এবং আপনি যদি ইউনিয়নটি নিয়ে এটি ঠিক করার চেষ্টা করেন, বি = { ( ϕ , বি ) : τ ∈ S A T ↔ b = 1 } , ইউনিয়ন A ∪ $$A = \{(\phi, b, \tau) : (\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1\}?$$ $B = \{(\phi, b) : \tau \in SAT \leftrightarrow b = 1\}$$A\cup B$উভয়ই এনপি-হার্ড এবং সহ-এনপি-হার্ড (সম্ভবত এনপি-তে নেই)। সম্পাদনা করুন: ওহ, আমি দেখতে, আপনি ইউনিয়ন নিতে চাওয়ার কথা বলছেন সঙ্গে, বলুন, সি = { ( φ , খ ) : ∃ τ । [ ( τ  সন্তুষ্টিগুলি  ϕ ) ↔ বি = 1 ] } ...$A$$C=\{(\phi, b) : \exists \tau.~[(\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1]\}$

— নিল ইয়ং

Answer 2

এই জাতীয় উদাহরণ সহকারে কেন আসতে অসুবিধা হতে পারে তার একটি পরামর্শ এখানে রয়েছে, যদিও আমি কাভেহের এই মন্তব্যে একমত যে এটি না থাকলে এটি অবাকই হবে। [কোনও উত্তর নয়, তবে একটি মন্তব্যের জন্য খুব দীর্ঘ]

মনে করুন যে, কেউ বলুন, এমন একটি ভাষা । আমার কাছে L = n : = | প্রমাণ করার একটি প্রাকৃতিক উপায় এল ∩ { 0 , 1 } n | = 2 এন - 1 হ'ল এল ∩ { 0 , 1 } n এবং { 0 , 1 } n ∖ L এর মধ্যে স্পষ্টত একটি দ্বিখণ্ডন তৈরি করা । যেহেতু আমি ব্যক্তিগতভাবে এন পি এর উদাহরণগুলি স্থির করতে পারছি না$L$$L^{=n} := |L \cap \{0,1\}^n| = 2^{n-1}$$L \cap \{0,1\}^n$$\{0,1\}^n \backslash L$$\mathsf{NP}$- সমস্যাগুলি, সর্বাধিক "সহজ" বাইজিকেশনগুলির সাথে আমি উপস্থিত হব ফর্মটি হবে " একটি দৈর্ঘ্য-সংরক্ষণকারী বাইজেকশন, এবং x ∈ এল যদি এবং কেবলমাত্র f ( x ) ∉ L। " তদুপরি, আমি সম্ভবত এমন একটি এফ নিয়ে আসব যা বহুগুণে গণনাযোগ্য। কিন্তু তারপর এন পি = গ ণ এন পি , জন্য চ একটি থেকে কমানো হয় এন $f\colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$$x \in L$$f(x) \notin L$$f$$\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$$f$$\mathsf{NP}$অসম্পূর্ণ একটি সেট ।$\mathsf{coNP}$

অবশ্যই, এই আপত্তিটি "সহজভাবে" দ্বারা লাভ করা যেতে পারে যে দ্বিপক্ষীয়টির তুলনায় এর চেয়ে আরও শক্ত করা কঠিন। যদি আপনার বাইজিকেশনটি তাত্পর্যপূর্ণ সময় নেয় - বলুন এবং এর বিপরীতমুখী উভয়ই -হার্ড হতে পারে - তবে আমি মনে করি আপনি বেশ নিরাপদ। তবে যদি এটি কেবলমাত্র বাহ্যিক বহুপদী সময় নেয়, তবে নোট করুন যে আপনি এখনও ফলাফল পেয়েছেন c o N P ⊆ N T I M E ( 2 ( লগ এন ) ও ( 1 ) ) = : এন কি পি , যেখান থেকে আমি বিশ্বাস করি এটি প্যাডিং আর্গুমেন্টের সাথে একটি সরল অন্তর্ভুক্তি অনুসরণ করে$\mathsf{EXP}$$\mathsf{coNP} \subseteq \mathsf{NTIME}(2^{(\log n)^{O(1)}}) =: \mathsf{NQP}$ । এখন, আপনি যদি বিশ্বাস করেন যে পূর্ববর্তী পাতাগুলি কেবল মিথ্যা, তবে এই জাতীয় কোনও পরিমাণ-পলি-টাইম গণনাযোগ্য বাইজেকশন আপনাকে বাঁচাতে পারে না। তবে আপনি যদি বিশ্বাস করেনও এটি সত্য হতে পারে তবে তারপরে এমন একটি দ্বিপাক্ষিকতা নিয়ে এসে আপনি পি এইচ ⊆ এন কিউ পি প্রমান করেযা বর্তমান জ্ঞানের বাইরে বলে মনে হচ্ছে ...$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$

আপত্তিটি কেবল এই জাতীয় সক্ষমতা না পেয়েও পাওয়া যায়, তবে কীভাবে প্রমাণ করা যায় যে এর প্রথম স্থানে রয়েছে পছন্দসই সম্পত্তি ... এবং বাস্তবে, এমনকি যদি আপনার প্রমাণটি নাও হয় হস্তক্ষেপ, আপনার এটিকে এমন হওয়া দরকার যা এতো সহজে গণনাযোগ্য বাইজিকেশন এমনকি উপস্থিত না থাকে।$L$

অবশ্যই, এটি এমন এক ধরণের জিনিস যেখানে কেউ উদাহরণ সহ উপস্থিত হবে এবং আমরা সহজেই দেখতে পাব যে এটি কীভাবে এই আপত্তিটির চারপাশে যায়, তবে আমি কেবল এটিকে বাইরে ফেলে দিতে চেয়েছিলাম যাতে একটি সরল পর্যাপ্ত বাইজেকশন সহ যে কোনও কিছু কীভাবে পারে say 'কাজ করবেন না (যদি না ব্যাপকভাবে অনুষ্ঠিত বিশ্বাসগুলি মিথ্যা না হয়)।

(সম্পর্কিত প্রশ্ন: এমন কোনও ওরাকেলের সাথে কি এমন কোনও ?)$L$