লেবেলযুক্ত ডিএজিগুলির জন্য দিলওয়ার্থের উপপাদ্যের সাধারণীকরণ

Question

একটি antichain একটি DAG একটি উপসেট একটি ⊆ ভী ছেদচিহ্ন যে pairwise পৌঁছানো যাবে না, যথা, কোন হয় বনাম ≠ বনাম ' ∈ একজন যেমন যে বনাম থেকে যোগাযোগ করা যাবে বনাম ' মধ্যে ই । আংশিক ক্রম তত্ত্বের ডিলওয়ার্থের উপপাদ্য থেকে , এটি জানা যায় যে যদি ডিএজি-র আকার k ∈ N এর কোনও অ্যান্টিচেইন না থাকে , তবে এটি সর্বাধিক কে - 1 বিচ্ছিন্ন শৃঙ্খলা, অর্থাৎ নির্দেশিত পথগুলির মিশ্রণে পচে যেতে পারে ।$(V, E)$$A \subseteq V$$v \neq v' \in A$$v$$v'$$E$$k \in \mathbb{N}$$k-1$

$v$$\lambda(v)$$\Sigma$$A \subseteq V$$\Sigma$$A$$\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$, আমি এর গঠন সম্পর্কে কী ধরে নিতে পারি? আমি কি এটি কোনও বিশেষ উপায়ে পচন করতে পারি? আমি already এর ক্ষেত্রে ইতিমধ্যে বিস্মিত হয়েছি , তবে সাধারণ সীমাবদ্ধ লেবেল সেটটির ক্ষেত্রেও আগ্রহী।$\Sigma = \{a, b\}$

এই দৃশ্য কল্পনা করতে এই বলে যে লেবেল আকার কোন antichain হয়েছে মানে কোন ধারণকারী অন্তত antichain নেই ছেদচিহ্ন লেবেল এবং ছেদচিহ্ন লেবেল ; এখানে যথেচ্ছভাবে বড় অ্যান্টিচেইন থাকতে পারে তবে সেগুলিতে কেবল উপাদান বা কেবল উপাদান থাকতে হবে, সর্বাধিক ব্যতিক্রম। দেখে মনে হচ্ছে যে বড় অ্যান্টেচাইনকে অস্বীকার করার ফলে ডিএজি প্রয়োজনীয়ভাবে লেবেলযুক্ত শীর্ষকোষের জন্য বৃহত প্রস্থের অংশগুলির মধ্যে এবং " " এর জন্য বৃহত্তর প্রস্থের মধ্যে "বিকল্প" প্রয়োগ করবে enforce$\Sigma = \{a, b\}$$G$$k$$k$$a$$k$$b$$a$$b$$k-1$$a$$b$লেবেলযুক্ত শীর্ষগুলি, তবে আমি এই স্বজ্ঞাতটিকে আনুষ্ঠানিক করতে সক্ষম হইনি। (অবশ্যই, একটি উপযুক্ত কাঠামোগত বৈশিষ্ট্যটি অবশ্যই ডিএজি আকারের পাশাপাশি শীর্ষের লেবেলগুলি সম্পর্কে কথা বলতে হবে, কারণ ইতিমধ্যে এবং for শর্তটি সম্পূর্ণ স্বেচ্ছাচারী ডিএজি দ্বারা সন্তুষ্ট যখনই সমস্ত উল্লম্ব একই লেবেল বহন করে।)$k \geq 1$$\{a, b\}$

Comments

@ সাeedদ, না এটি কাজ করে না। আপনার বিভ্রান্তি এ থেকে আসে যে যদি কোনও চিঠিটি অ্যান্টিচেইনে উপস্থিত না হয় তবে তার লেবেলযুক্ত আকার । উদাহরণস্বরূপ নিন সম্পূর্ণ দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ জি = (এ, বি, ই), A থেকে বি ভিত্তিক প্রত্যেক প্রান্ত সঙ্গে একটি প্রতিটি প্রান্তবিন্দু লেবেল এবং বি প্রতিটি প্রান্তবিন্দু । তারপরে প্রতিটি অ্যান্টিচেইন এর মধ্যে কমপক্ষে একটি রঙ থাকে এবং এটি লেবেলযুক্ত আকারের হয় তবে আপনি এটি বিচ্ছিন্ন শৃঙ্খলে আবরণ করতে পারবেন না । আপনি কেবল লেবেল সহ একটি লেভেল ডিএগের সাথে একই । $0$$a$$b$$0$$m(k-1)$$a$

— হল্ফ

@ হোল্ফ, ঠিক আছে, আমি ভেবেছিলাম যে আমরা যে লেবেলগুলি এন্টিচেইনে প্রদর্শিত হবে তার চেয়ে বেশি গণনা করব, আমি খেয়াল করিনি যে সিগমার সমস্ত উপাদানই কম যায়। আমি মনে করি এটি কিছুটা অদ্ভুত সংজ্ঞা।

— Saeed

@ সাeedদ: মূল বিষয়টি হ'ল অ্যান্টিচেইনগুলি বিভিন্ন ধরণের প্রতীক সহ। এর স্বজ্ঞাততাটি হ'ল আমরা ডিএজিগুলিতে কোনও সমস্যার জটিলতা নিয়ে অধ্যয়ন করছি যা আপনার কাছে এত বড় এন্টিচাইন থাকে (অতুলনীয় প্রতীকগুলির যথেষ্ট পরিমাণে উপস্থিতি) থাকলে তা তুচ্ছ হয়ে যায়। সামগ্রিক ট্র্যাকটেবিলিটিটি প্রদর্শনের জন্য আমাদের কেবল ডিএজিগুলির কেস পরিচালনা করতে হবে যেখানে এই প্যাটার্নটি ঘটে না, তাই আমরা সনাক্ত করতে চাই যে তাদের জন্য ট্র্যাকটেবল অ্যালগরিদম ডিজাইন করার জন্য এই জাতীয় ডিজিগুলি কীভাবে পচে যেতে পারে। (শিরোনামহীন ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, চেইন পচা একটি গতিশীল অ্যালগরিদমের দিকে নিয়ে যায়))

— এনএম

Answer 1

সঙ্গে চার্লস খবরের কাগজের হকার আমরা বর্ণমালা দিয়ে লেবেল DAGs জন্য যেমন একটি ফলাফল প্রাপ্ত করতে সমর্থ হয়েছেন । মূলত, আমরা যে একটি DAG দেওয়া দেখাতে পারেন যে বৃহৎ antichains আছে -labeled উপাদান, বৃহৎ antichains উপাদান -labeled, কিন্তু কোন বৃহৎ উভয় অনেক ধারণকারী antichains -labeled এবং -labeled উপাদান, তারপর সেখানে একটি পচানি হয় একটি পার্টিশন হিসাবে , যেখানে:$\{a, b\}$$G$$a$$b$$a$$b$$G$$L_1, \ldots, L_n$

• পার্টিশনটিকেই আমরা "লেয়ারিং" বলি, অর্থাত: $L_1, ..., L_n$
  • প্রতিটি একটি উত্তল সেট, যেমন, যদি এবং তারপর$L_i$$x, y \in L_i$$x \leq z \leq y$$z \in L_i$
  • সমস্ত , কোনও এবং এমন যা$i < j$$x \in L_i$$y \in L_j$$y \leq x$
• কোনও অ্যান্টেচেইন জন্য , এমন কিছু কিছু আছে যা প্রায় "অন্তর্ভুক্ত" , অর্থাতএকটি ধ্রুবক চেয়ে কম$A$$G$$i$$A$$L_i$$|A \setminus L_i|$
• প্রতিটি জন্য, নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটি সত্য: $L_i$
  • $L_i$ বৃহৎ antichain রয়েছে -labeled উপাদান এবং কোন বৃহৎ antichain রয়েছে -labeled উপাদান$a$$b$
  • $L_i$ বৃহৎ antichain রয়েছে -labeled উপাদান কিন্তু কোন বড় antichain রয়েছে -labeled উপাদান$b$$a$

আরও, এই জাতীয় পার্টিশনটি পিটিটাইমে গণনা করা যায়।

আমি আমাদের বর্তমান প্রমাণ অনলাইনে পোস্ট করেছি । এটি অত্যন্ত রুক্ষ এবং মূলত প্রুফ্রেড নয় কারণ এখনকার ফলাফলের জন্য আমাদের কোনও ব্যবহার নেই, তবে আমি এখনও ভেবেছিলাম আমাদের বর্তমান অগ্রগতির সাথে এই সিএসথেরি প্রশ্নের উত্তর যুক্ত করা আরও পরিশ্রমী। আপনি যদি ফলাফলটিতে আগ্রহী হন তবে আমার সাথে যোগাযোগ করতে দ্বিধা করবেন না তবে প্রমাণটি বোঝাতে পারবেন না।