সত্যিকারের এলোমেলোতা (সম্ভবত) আরপি-র জন্য কোলমোগোরভ এলোমেলো করে প্রতিস্থাপন করা যাবে?

কোলমোগোরভ এলোমেলোভাবে আরপি-র জন্য যথেষ্ট হবে তা দেখানোর কোনও প্রচেষ্টা আছে কি ? "যদি সঠিক উত্তরটি হ্যাঁ হয় তবে এই (সম্ভাব্য টিউরিং মেশিন) সম্ভাব্যতার সাথে হ্যাঁ প্রত্যাবর্তন করবে ..." বিবৃতিতে ব্যবহৃত সম্ভাব্যতা কি এই ক্ষেত্রে সর্বদা ভালভাবে সংজ্ঞায়িত হবে? বা সম্ভাব্যতার জন্য কি কেবল উপরের এবং নিম্ন সীমাগুলি থাকবে? বা সেখানে কি সবসময়ই কিছু সম্ভাব্য ট্যুরিং মেশিন থাকত, যার জন্য সম্ভাব্যতাগুলি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হবে (বা কমপক্ষে নীচের গণ্ডিটি যা 1/2 এর চেয়ে বড় হওয়া উচিত)?

এখানে শ্রেণি আরপি তুলনামূলকভাবে স্বেচ্ছাসেবী এবং কোলমোগোরভ এলোমেলোতার চেয়ে দুর্বল ধারণা (সিউডো-) এর জন্য দু'জনেই এই প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারে। তবে কোলমোগোরভ এলোমেলোভাবে মনে হচ্ছে একটি ভাল সূচনা পয়েন্ট।

"সম্ভাব্যতা" শব্দের অনুধাবন করা কোলমোগোরভ এলোমেলোভাবে আরপির পক্ষে কাজ করে তা দেখানোর চেষ্টার অংশ হবে। যাইহোক, আমি এর একটি সম্ভাব্য পদ্ধতির বর্ণনা দেওয়ার চেষ্টা করি, এটির অর্থ কী হতে পারে তা ব্যাখ্যা করতে এবং কেন আমি উচ্চ এবং নিম্ন সীমানা সম্পর্কে কথা বললাম:

যাক একটি (Kolmogorov র্যান্ডম) স্ট্রিং হতে। যাক একটি প্রদত্ত সম্ভাব্য টুরিং মেশিন আরপি থেকে একটি ভাষা সংশ্লিষ্ট হও। চালান সঙ্গে র্যান্ডম বিট জন্য উৎস হিসেবে বার থেকে পূর্বে অনষ্টীকৃত বিট গ্রাস অব্যাহত একের পর এক। $s$ $A$ $A$ $s$ $n$ $s$

জন্য যাক এবং । লক্ষ করুন যে এবং কোনও প্রদত্ত স্ট্রিংয়ের জন্য ভালভাবে সংজ্ঞায়িত , এমনকি এটি এলোমেলো না হলেও। কিন্তু এক আশ্চর্য হতে পারেন কিনা ক্ষেত্রে Kolmogorov র্যান্ডম হয়, অথবা কিনা জন্য দুটি নির্বিচারে Kolmogorov র্যান্ডম স্ট্রিং এবং । বা কোনও কোলমোগোরভ এলোমেলো স্ট্রিংয়ের জন্য such এর মতো রয়েছে কিনা $p_n^s:=\frac{\text{#YES result in first $n$ runs of $A$ on $s$}}{n}$ $p_+^s:=\limsup_{n\to\infty}p_n^s$ $p_-^s:=\liminf_{n\to\infty}p_n^s$ $p_+^s$ $p_-^s$ $s$ $p_+^s=p_-^s$ $s$ $p_-^{s_1}=p_-^{s_2}$ $s_1$ $s_2$ $p\geq 1/2$ $p\leq p_-^s$ $s$ ।

randomized-algorithms randomness pseudorandomness

— টমাস ক্লিম্পেল
সূত্র

আমি প্রশ্নটি বুঝতে পারি না। "জটিলতার শ্রেণি>" এর জন্য "<< এলোমেলো ধারণা" যথেষ্ট বলে আপনি কী বোঝায়? কোলমোগোরভ এলোমেলো স্ট্রিংয়ের জন্য ওরাকলের সাহায্যে আরপি বহুবর্ষীয় সময়ে ড্যারানডমাইজড হতে পারে, যদি আপনি এটিই জিজ্ঞাসা করছেন।

— এমিল জেব্যাক

আরপি "কাজ করবে" বলার দ্বারা আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন তা আমি বুঝতে পারি না এবং আমি আপনার শেষ মন্তব্যটি বুঝতে পারি না (আরপি মেশিনগুলি সর্বদা বহুবিধ পদক্ষেপের পরে থেমে থাকে, হয় সংজ্ঞা অনুসারে, বা কোনও অসুবিধাগুলি ব্যবহার করে যদি সাধারণতা হারাতে না পারে) সংজ্ঞা)।

— এমিল জেব্যাক

প্রশ্নে নিজেই, আমি কলমোগোরভ এলোমেলো স্ট্রিং সম্পর্কে কথা বলার সময় "সম্ভাব্যতা" বলতে কী বোঝায় তাও আমি বুঝতে পারি না। সাধারণ "এলোমেলো স্ট্রিংগুলি" থেকে পৃথক, যা এলোমেলো বিতরণ থেকে আঁকা, কোলমোগোরভ এলোমেলো হওয়া প্রকৃত হ্যাঁ a কোনও সম্পত্তি যা প্রদত্ত স্ট্রিংটি করে না বা রাখে না। সুতরাং, এই জাতীয় স্ট্রিং কোনও অ্যালগরিদমকে গ্রহণ করে কিনা তা এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয় এবং এর মতো সম্ভাবনা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা অর্থহীন।

— এমিল জেবেক

এর একটি যুক্তিসঙ্গত পন্থা হল আলগোরিদিম-এলোমেলো স্ট্রিংগুলির "গঠনমূলক মার্টিংসলেস" দৃষ্টিভঙ্গি গ্রহণ করা। বিশেষ করে, এক আশা হতে পারে যদি মূর্খ ব্যর্থ হয় , তারপর এই জন্য একটি "পরবর্তী বিট predictor" অনুবাদ করতে হবে একটি পণ কৌশল প্রদর্শক মধ্যে, এবং তারপর যে র্যান্ডম নয়। আমি জানি না যে এই পদ্ধতিটি এমনকি যদি এটি কার্যকর হয় তবে এবং জন্য অর্থবহ রূপান্তর হার প্রদান করবে ; যাইহোক, স্পষ্টতই জটিলতা ক্লাসগুলি অধ্যয়ন করার জন্য একটি পুরানো পদ্ধতির রয়েছে (কীওয়ার্ড: "রিসোর্স-বন্ডেড মাপ") যা এই ধারণাটি ব্যবহার করে, তাই কিছু আশা আছে।

s

$s$

A

$A$

s

$s$

s

$s$

p_{+}

$p_+$

p_{-}

$p_-$

— অ্যান্ড্রু মরগান

আমার পূর্ববর্তী মন্তব্যের জন্য প্রাসঙ্গিক উইকিপিডিয়া লিঙ্কগুলি (যার আরও রেফারেন্স রয়েছে): গঠনমূলক মার্টিংসলেস (তৃতীয় সংজ্ঞা দেখুন), এবং সংস্থান-সীমাবদ্ধ পরিমাপ

— অ্যান্ড্রু মরগান

আমি মনে করি যে প্রশ্নটি এখানে জিজ্ঞাসা করা হচ্ছে মোটামুটি " সেখানে কি এমন কোনও ধারণা রয়েছে যার মধ্যে আমরা সঠিকভাবে দীর্ঘ কোলমোগোরভ এলোমেলো স্ট্রিং থেকে নির্ধারিত বিটগুলির সাথে একটি অ্যালগরিদমে র্যান্ডম বিটের ক্রমটি প্রতিস্থাপন করতে পারি? " এটি অন্তত আমি যে প্রশ্নটি করার চেষ্টা করব উত্তর! (সংক্ষিপ্ত উত্তরটি হ'ল "হ্যাঁ, তবে আপনি যদি প্রথমে ত্রুটির সম্ভাবনাটি প্রশস্ত করেন")

হ্যাঁ...

আমরা অবশ্যই এখানে কিছু বলতে পারি। যাক কিছু ভাষা হতে হবে এবং দিন একটি আলগোরিদিম যা ইনপুট নেয় হতে এবং একটি র্যান্ডম স্ট্রিং (ওভার সমবন্টন ) স্ট । অন্য কথায়, একটি অ্যালগরিদম যা সর্বাধিক সম্ভাব্যতার সাথে ভুল করে । $L$ $A$ $x$ $r\in U_{f(|x|)}$ $\{0,1\}^{f(|x|)}$ $\Pr[A(x,r)=L(x)]>1-\epsilon(x)$ $A$ $\epsilon(\cdot)$

এখন খেয়াল করুন যে যদি অর্থাত্, উপর ভুল উত্তর দেয় তবে এটি আমাদেরকে বর্ণনার কিছু উপায় দেয় , বিশেষত, আমরা এটিকে হিসাবে বর্ণনা করতে পারি -th স্ট্রিংটি ঘটায় উপর মাত্রই ভুলএটি করার জন্য, আমরা কেবলমাত্র এমন মেশিনটি তৈরি করি যা হার্ড-কোডেড , , , এবং একটি এবং কেবল ,, from থেকে পছন্দগুলি গণনা করে যতক্ষণ না এটি এর -th পছন্দ খুঁজে পায় যেমন । $A$ $(x,r)$ $A(x,r)\not=L(x)$ $r$ $i$ $A$ $x.$ $x$ $A$ $i$ $b=1\iff x\in L$ $r'$ $\{0,1\}^{f(|x|)}$ $i$ $r'$ $A(x,r')\not= b$

তাই এখন আমরা জানি যে আমরা একটি বিবরণ মধ্যে র্যান্ডম স্ট্রিং এর একটি খারাপ পছন্দ হচ্ছে লিভারেজ করতে, এর কিছু শর্ত যার আমাদের বর্ণনা বাঁক জন্য যথেষ্ট হয় পালন দিন একটি কম্প্রেশন মধ্যে। বর্ণনা করার , আমরা বর্ণনা করতে যথেষ্ট বিট প্রয়োজন , , , এবং তারপর আমাদের পদ্ধতি (কোড কোড এবং রুটিন আমরা হিসাবে বর্ণনা করেছে), দৈর্ঘ্য একটি বিবরণ হিসাবে দান $r$ $r$ $x$ $i$ $b$ $A$

| x | + | i | + O (1) = | x | + \log_{2} (2^{f (| x |)} ϵ (x)) + O (1) = | x | + f (| x |) - \log (1 / ϵ (x)) + O (1) .

$|x|+|i|+O(1)=|x|+\log_2(2^{f(|x|)}\epsilon(x))+O(1)=|x|+f(|x|)-\log(1/\epsilon(x))+O(1).$

পুনরাহ্বান যে দৈর্ঘ্য হল , তাই এই একটি কম্প্রেশন হয় যদি উদাহরণস্বরূপ, যখন । $r$ $f(|x|)$ $r$

\log (1 / ϵ (x)) = | x | + ω (1),

$\log(1/\epsilon(x)) = |x|+\omega(1),$

ϵ (x) = 1 / 2^{2 | x |}

$\epsilon(x)=1/2^{2|x|}$

অবশেষে, মান্য যে যদি একটি Kolmogorov র্যান্ডম স্ট্রিং ছিল, তারপর আমরা এমন কোন কম্প্রেশন তাই যতদিন ত্রুটির সম্ভাবনা যেমন থাকতে পারে, পর্যাপ্ত ছোট, র্যান্ডম বিট অনুক্রম স্থানে একটি Kolmogorov র্যান্ডম স্ট্রিং কারণ হবে উত্তর সঠিকভাবে! $r$ $A$ $A$

লক্ষ্য করুন যে আমরা সম্পর্কে কেবলমাত্র জিনিসটিই লাভ করি তা হ'ল এর ত্রুটির সম্ভাবনা কম। এর অত্যন্ত দীর্ঘ সময় আছে বা এর দু'পক্ষের ত্রুটি আছে কিনা তা আমরা যত্ন করি না । $A$ $A$ $A$

এটিকে (বা বা ) এর প্রশ্নে ফিরিয়ে বলা হয় যে যতক্ষণ আমরা আমাদের অ্যালগোরিদমের ত্রুটি সম্ভাবনাটি বাড়িয়ে ততক্ষণ আমরা তাদের এলোমেলো বিটের জায়গায় কলমোগোরভ এলোমেলো স্ট্রিং ব্যবহার করতে পারি। $RP$ $coRP$ $BPP$

... তবে কেবল যদি আমরা প্রথমে প্রসারিত করি।

একটি ফলোআপ প্রশ্ন হতে পারে "ত্রুটির সম্ভাবনা প্রশস্ত না করে আমি কি এটি করতে পারি?" নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম বিবেচনা করুন যা সিদ্ধান্ত নেয় এবং ত্রুটির সম্ভাবনা রয়েছে । $A$ $\{0,1\}^*$ $1/2^n$

ইনপুট : $x$

স্ট্রিং তৈরি করুন $r\in\{0,1\}^n$
যদি প্রত্যাখ্যান করুন। $r=x$
গ্রহণ করুন।

লক্ষ্য করুন প্রতিটি পছন্দ জন্য যে , সেখানে কিছু পছন্দ যেমন যে উপর ভুল , যথা পছন্দমত যে হয় , তাই আমরা দ্বারা ব্যবহৃত বিট র্যান্ডম ক্রম প্রতিস্থাপন করতে পারবেন না কয়েকগুণ বেড়ে ছাড়া একটি Kolmogorov র্যান্ডম স্ট্রিং সঙ্গে এটি ত্রুটি সম্ভাবনা! $r$ $x$ $A$ $x$ $r$ $x$ $A$

উত্স সম্পর্কে একটি নোট: আমি নিশ্চিত নই যে এর কোনওটিই উপন্যাস কিনা তা নয়, তবে আমি আমার যোগ্যতা পরীক্ষার জন্য আমার লেখার মধ্যে প্রথম যুক্তিটি অন্তর্ভুক্ত করেছি যা শেষ পর্যন্ত আমি এটি পুনর্বিবেচনা শেষ করার পরে অনলাইনে উপলব্ধ করব।

— ডিলান ম্যাকে
সূত্র

আমার বন্ধু প্রীতম মেশিন এনকোড করার এমিলিটি এবং সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় ইঙ্গিত করেছিলেন যখন আমরা পরিবর্তে কিছুটা এনকোড করতে পারি যা বলে যে কিনা । আমি এর প্রতিফলন করতে উত্তর সম্পাদনা করব।

M

$M$

M (x)

$M(x)$

x \in L

$x\in L$

— ডিলান ম্যাককে

মাইক সিপসর তার কুল পেপার সাইন্সডায়ারেক্ট / সাইন্স / পার্টিকেল / পিআইআই / ০০২০০০০০০৮৯৯০০359 এ অনুরূপ ধরণের সংক্ষেপণ যুক্তি ব্যবহার করেছেন (নোট করুন যে তাঁর যে বিস্তৃত গ্রাফগুলি প্রয়োজন তা অবশ্যই স্পষ্টভাবে dl.acm.org/citation.cfm?id=273915 নির্মিত হয়েছে? )

— রায়ান উইলিয়ামস 23