থামানো সমস্যার সত্য ছকগুলির কোলমোগোরভ জটিলতা asyptotically হিসাবে পরিচিত?

Question

দিন $HALT_n$ দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং বোঝায় $2^n$ দৈর্ঘ্যের ইনপুটগুলির জন্য থামানো সমস্যার সত্য সারণীর সাথে সম্পর্কিত $n$।

যদি কোলমোগোরভ জটিলতার ক্রম হয় $K(HALT_n)$ ছিল $O(1)$, তারপরে পরামর্শের একটি স্ট্রিং অসম্পূর্ণভাবে প্রায়শই ব্যবহৃত হবে এবং সেই স্ট্রিংটির হার্ড-কোডেড একটি টিএম সমাধান করতে সক্ষম হবে $HALT$ অভিন্ন অসীম প্রায়শই, যা আমরা জানি এটি ক্ষেত্রে নয় isn't

তির্যক যুক্তির একটি নিবিড় পরিদর্শন আসলে এটি দেখায় $K(HALT_n)$ অন্ততপক্ষে $n - \omega (1)$, তাই তুচ্ছ উপরের আবদ্ধ সঙ্গে একসাথে, আমাদের আছে:

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

এই নিম্ন সীমাটি ফোর্টনউ এবং সান্থানাম ` paper ইউনিফর্ম কমপ্লেক্সিটি ক্লাসের জন্য নতুন অ-ইউনিফর্ম লোয়ার বাউন্ডস '' এর সাম্প্রতিক গবেষণাপত্রে পরিচিতি পেয়েছে এবং তারা এটিকে লোককাহিনীর সাথে যুক্ত করে ute মূলত, যদি পরামর্শের স্ট্রিংটি ইনপুট দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম হয়, তবে আমরা এখনও মেশিনগুলির বিরুদ্ধে তত বেশি পরিমাণ পরামর্শের সাথে তির্যক করতে পারি।

(সম্পাদনা করুন: আসলে, কাগজের একটি পূর্ববর্তী সংস্করণে তারা এটিকে লোককাহিনীকে দায়ী করেছেন, আমার ধারণা এখন তারা কেবল এটি হার্টম্যানিস এবং স্টার্নসের রূপান্তরকে বলেছে।)

প্রকৃতপক্ষে, সেই কাগজে তারা টাইম-হায়ারার্কি উপপাদ্যগুলির সাথে সম্পর্কিত এবং তারা কোনও সংস্থান সংস্থার সাথে সম্পর্কিত জিনিসগুলি বলে $t$অনির্দিষ্টকৃত কলমোগোরভ জটিলতার চেয়ে সময়ের পদক্ষেপগুলি। তবে, অনিয়ন্ত্রিত ক্ষেত্রে `` লোককাহিনী '' ফলাফলের প্রমাণ একই।

---

তারা পরামর্শকে নিম্ন সীমা সম্পর্কে যত্নশীল করার একটি কারণ হ'ল এটি 'সার্বজনীনতা বনাম এলোমেলোতা' 'দৃষ্টান্তের সাথে সার্কিট নিম্ন সীমানা এবং ডেরানডমাইজেশনের সাথে যুক্ত। উদাহরণস্বরূপ, যদি ক্যানোনিকাল সমস্যাটি সময়মতো সমাধানযোগ্য হয়$2^n$ সত্যের সারণী রয়েছে যার জন্য পরামর্শ প্রয়োজন $2^{\epsilon n}$ যাতে সময় গণনা করা যায় $2^{\epsilon n}$, তবে সেই সত্যের টেবিলগুলির আকারের সার্কিট নেই $2^{\epsilon n}$ হয়, তাই $P = BPP$ ইম্পাগলিয়াজো এবং উইগডারসনের একটি উদযাপন ফলাফল দ্বারা।

সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা $K(HALT_n)$পরিবর্তে এ জাতীয় কোনও অ্যাপ্লিকেশন আফাইক নেই, তবে এটি সমাধান করা সহজ হতে পারে। সময় নির্ধারিত প্যারামিটারের উপর কোনও নির্ভরতা না থাকা, এটি বলা সহজ easier এটি একটি বরং প্রাকৃতিক সমস্যা যা ইতিমধ্যে অধ্যয়ন করা হতে পারে।

আরও ভাল নিম্ন বা উপরের সীমানা আছে? $K(HALT_n)$`` লোককাহিনী '' ফলাফল ছাড়াও পরিচিত? নীচের বা উপরের সীমানাগুলির কোনওটি কি শক্ত?

---

দ্রষ্টব্য: থামার সমস্যার সার্কিট জটিলতা সম্পর্কে আরও একটি সুন্দর পোস্ট রয়েছে , যা এখানে এমিল জেরাবাকের আঁকা যুক্তি দ্বারা প্রায় সর্বাধিক দেখা যায়: /mathpro/115275/non-uniform-complexity -of-বিরাম-সমস্যা

মূলত, এটি এমন একটি কৌশল ব্যবহার করে যেখানে আমরা ক্লাসের মধ্যে (বৃহত্তর) সার্কিট জটিলতার লেসিকোগ্রাফিকভাবে প্রথম সত্য সারণীটি গণনা করতে পারি (এলোমেলো অ্যাক্সেস সহ) $E^{NP^{NP}}$। এবং আমরা এই সমস্যাটি থামিয়ে সমস্যার জন্য একটি প্রশ্নের কাছে হ্রাস করতে পারি এবং এই হ্রাসের কম সার্কিট জটিলতা রয়েছে। সুতরাং,$HALT$ অবশ্যই বড় সার্কিট জটিলতা থাকতে হবে - যদি তা না হয় তবে এই ফাংশনেও কম জটিলতা থাকবে।

যদিও এটি সম্পর্কিত বলে মনে হয়, তবে আমি মনে করি না যে এই যুক্তিটি কিছু দেয় gives $K(HALT_n)$। (এটি হতে পারে যে সময়সীমাবদ্ধ কলমোগোরভ জটিলতা$HALT$সার্কিট জটিলতার দ্বারা আবদ্ধ হিসাবে বৃহত্তর, তবে সময়ের সীমাবদ্ধতা শিথিল হওয়ার সাথে সাথে জটিলতা নাটকীয়ভাবে হ্রাস পাবে) লেসিকোগ্রাফিকভাবে প্রথম বিমোচনযোগ্য স্ট্রিংয়ের প্রশ্নগুলি। তবে, আমাদের অবশ্যই অভিযোজিত প্রশ্নের একটি সিরিজ তৈরি করতে হবে এবং এটিকে সরাসরি কমানো যায় না$HALT$যতদুর আমি জানি. এছাড়াও, ক্যোয়ারী স্ট্রিংগুলি অবশ্যই তাত্পর্যপূর্ণ আকারে বড় হওয়া উচিত, সুতরাং এটি কেবলমাত্র এটি প্রদর্শিত হবে$HALT_{2^n}$ অন্তত জটিলতা আছে $2^n$ আফিকা, এবং এটি `` লোককাহিনী '' যুক্তিটিকে পরাভূত করে না।

দুর্ভাগ্যক্রমে, কলমোগোরভ জটিলতায় আমার পটভূমি দুর্বল $K(HALT_n)$ইতিমধ্যে কিছু অন্য যুক্তি দ্বারা পরিচিত? সম্ভবত তথ্যের প্রতিসাম্য ব্যবহার করার কৌশল আছে?

বা, এর চেয়ে ভাল উচ্চতর কোন আবদ্ধ বাধা আছে যা আমি মিস করেছি?

অদ্ভুত বলে মনে হতে পারে এমন একটি জিনিস হ'ল, আবার ফিরে যাওয়া $DTIME$সেটিংয়ে, আমরা কেবলমাত্র নিচু অ্যালগরিদমের নীচের সময়টি কমিয়ে আনলে আমরা কেবলমাত্র একটি পরামর্শ কম আশা করি। আপনার যখন নিষ্পাপ অ্যালগরিদম চালানোর জন্য পর্যাপ্ত সময় থাকে, তবে অবশ্যই এটি সংকোচনের। এর ব্যাপারে$K(HALT_n)$, মোটেই সময় বেঁধে দেওয়া হয়নি, সুতরাং আমাদের কাছে vers as একই '' সময় শত্রুদের মতো সময় থাকতে পারে এবং এটি সর্বাধিক বেমানান হওয়ার আশা করা উচিত নয়। তবুও, অনিয়ন্ত্রিত সেটিংগুলিতেও তির্যকটি কাজ করে - মনে হয় যে কোনও মেশিনের জন্য, এমন একটি মেশিন রয়েছে যা সেই মেশিনের মতোই কাজ করে এবং পরে অন্য কিছু করে, তাই সর্বদা এমন কেউ আছেন যে আপনার চেয়ে বেশি সময় পান। সুতরাং সম্ভবত শত্রুদের সবসময় আমাদের চেয়ে বেশি সময় থাকে ...

Answer 1

হুম, দেখা যাচ্ছে আসলে একটি তুলনামূলকভাবে উপরের বাউন্ড খুব শক্ত নয়:

সত্যের ছক তৈরি করতে $HALT_n$ সীমাবদ্ধ পরিমাণে, কেবলমাত্র তথ্যের জন্য প্রয়োজনীয় তথ্যগুলি হ'ল সর্বাধিক বর্ণিত দৈর্ঘ্যের মেশিনগুলির সংখ্যা $n$যা বন্ধ এই সংখ্যাটি এর চেয়ে বেশি নয়$2^{n}$, তাই এটি প্রায় সঙ্গে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে $n$বিট। তারপরে আমরা সমান্তরালভাবে এই জাতীয় সমস্ত মেশিন শুরু করতে পারি এবং এগুলির মধ্যে বেশিরভাগটি বন্ধ না হওয়া পর্যন্ত এগুলি চালাতে পারি এবং বাকী বাকী অংশটি থামছে না বলে জানা যায়।

সুতরাং, আমি অনুমান করি যে এখানে লোককাহিনীটি যুক্তিটি শক্ত। আমাদের আছে

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

এবং $K(HALT_n)$ সংযোজক পর্যন্ত শুধুমাত্র ভাল সংজ্ঞায়িত $O(1)$ যাইহোক, সর্বজনীন টুরিং মেশিনের আমাদের পছন্দ উপর নির্ভর করে।

নোট: একটি বুদ্ধিমান বোনাস হিসাবে, এই প্রমাণটি দেখায় যে $n$সর্বাধিক বর্ণনা দৈর্ঘ্যের মেশিনের সংখ্যার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ-বিট স্ট্রিং $n$ কোনটি হল্টটি একটি সংকোচনের মতো স্ট্রিং - এটি সংকোচনযোগ্য হলে এখানে উপরের বাউন্ডটি আরও শক্ত হবে, নীচের গণ্ডির বিপরীতে।