পিপিএডি কি সত্যিই অন্য ভারসাম্যহীন শীর্ষস্থানটি আবিষ্কারের ধারণাটি ক্যাপচার করে?

জটিল ক্লাসের পিপিএডি আবিষ্কার করেছিলেন ক্রিস্টোস পাপাদিমিট্রিয়ো তার ১৯৯৪ সালের গবেষণাপত্রে । শ্রেণিটি অনুসন্ধান সমস্যার জটিলতা ক্যাপচার করার জন্য তৈরি করা হয়েছে যেখানে "নির্দেশিত গ্রাফগুলিতে প্যারিটি আর্গুমেন্ট" দ্বারা কোনও সমাধানের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেওয়া হয়: যদি নির্দেশিত গ্রাফে ভারসাম্যহীন ভার্টেক্স থাকে তবে অবশ্যই অন্য একটি উপস্থিত থাকতে হবে। তবে সাধারণত শ্রেণিটি আনুষ্ঠানিকভাবে ( ) সমস্যার ক্ষেত্রে শর্তে সংজ্ঞায়িত করা হয় , যেখানে যুক্তি কেবলমাত্র ইন-এবং আউটগ্রিরিউশন উভয়ই গ্রাফগুলিতে প্রয়োগ করা হয় । আমার প্রশ্ন: এই ধারণাগুলি সমতুল্য কেন? $\mathsf{ANOTHER\ END\ OF\ THE\ LINE}$ $\mathsf{AEOL}$ $\le 1$

এই পয়েন্ট অবধি এটি এই প্রশ্নের সদৃশ । এখন আমি সমস্যাটি আনুষ্ঠানিকভাবে বলতে চাই এবং সেখানে উত্তর দিয়ে কেন সন্তুষ্ট নছি তা স্পষ্ট করে বলতে চাই।

অনুসন্ধান সমস্যা ( ): আমাদের দুটি বহুপদী আকারের সার্কিট এবং যা এবং এর একটি বহুবর্ষীয় তালিকা ফিরে আসে elements অন্যান্য উপাদান । এই সার্কিটগুলি নির্দেশিত গ্রাফ সংজ্ঞায়িত করে যেখানে এবং। প্রদত্ত: অনুসন্ধান সমস্যা নিম্নোক্ত , এবং যেমন যে , একই সম্পত্তি সঙ্গে অন্য প্রান্তবিন্দু পাবেন। $\mathsf{ANOTHER\ UNBALANCED\ VERTEX}$ $\mathsf{AUV}$ $S$ $P$ $x\in\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$ $G=(V,E)$ $V=\{0,1\}^n$ $(x,y)\in E\Leftrightarrow (y\in S(x)\land x\in P(y))$ $S$ $P$ $z\in V$ $indegree(z)\ne outdegree(z)$

অনুসন্ধানের সমস্যা : সমান, তবে এবং উভয়ই খালি তালিকা বা একটি উপাদান ফেরত দেয়। $\mathsf{AEOL}$ $S$ $P$

Reducibility ধারণা (রিকি এর পরামর্শ অনুযায়ী সংশোধন): মোট অনুসন্ধান সমস্যা মোট অনুসন্ধান সমস্যার রূপান্তরযোগ্য হয় বহুপদী ফাংশন মাধ্যমে এবং যদি একটি সমাধান সমস্যা অর্থ হয় একটি সমাধান সমস্যা । $A$ $B$ $f$ $g$ $y$ $f(x)$ $B$ $g(x,y)$ $x$ $A$

আনুষ্ঠানিক প্রশ্ন : কেন থেকে রূপান্তরযোগ্য ? বা আমাদের হ্রাসের অন্য ধারণাটি ব্যবহার করা উচিত? $\mathsf{AUV}$ $\mathsf{AEOL}$

ক্রিস্টোজ পাপাদিমিট্রিও পিপিএ (উপপাদ্য 1, পৃষ্ঠা 505) সম্পর্কে উপমা প্রমানটি প্রমাণ করে তবে যুক্তিটি পিপিএডের জন্য কাজ করে না বলে মনে হয় । কারণ ডিগ্রী ভারসাম্য সঙ্গে একটি প্রান্তবিন্দু হয় রূপান্তরিত হবে ডিগ্রী ভারসাম্য সঙ্গে ছেদচিহ্ন । তারপরে জন্য অ্যালগরিদম এই একটি পেতে এবং অন্যটি ফিরে আসতে পারে। এই জন্য একটি নতুন প্রান্তবিন্দু উত্পাদ না । $\pm k$ $k$ $\pm1$ $\mathsf{AEOL}$ $\mathsf{AUV}$

বিষয়গুলি আরও খারাপ হচ্ছে কারণ তে সর্বদা ভারসাম্যহীন সংখ্যা থাকে তবে in মধ্যে একটি সংখ্যা থাকতে পারে। এই জন্যই এক এই দুটি সেট এবং এর মধ্যে একটি bijection গড়ে তুলতে না পারেন, সবসময় সমান হতে পারে না । যদি তবে আমরা কমপক্ষে কয়েকটি দৃষ্টান্তের জন্য বহুবর্ষীয় সময়ে সমাধানের জন্য একটি পদ্ধতি । তাহলে উপর নির্ভর করে না এবং জন্য তারপর জন্য একটি উত্তর হিসাবে ফিরে যেতে পারে । এটির জন্য কোনও সমাধান দেবে না $\mathsf{AEOL}$ $\mathsf{AUV}$ $g$ $f^{-1}$ $g(x,f(x))\ne x$ $\mathsf{AUV}$ $g$ $x$ $g(y_1)=g(y_2)$ $y_1\ne y_2$ $y_2$ $y_1$ $\mathsf{AUV}$ ।

চূড়ান্ত প্রশ্ন : উপরে তালিকাবদ্ধ বাধাগুলি কি কোনওভাবে অতিক্রম করা যাবে? এক সম্ভাব্য নির্ভরতা চাকরী যাবে উপর ? $g$ $x$

— ড্যানিল মুসাতভ
সূত্র

"এই ধারণাগুলি সমতুল্য কেন?" ক্রিস্টোস পাপাদিমিট্রিয়ো দ্বারা 505 পৃষ্ঠায় তত্ত্বের 1 এর প্রমাণে দেওয়া কারণগুলির জন্য। (অন্যথায়, কি আপনি কি মনে করেন একটি হল সমতা উদাহরণস্বরূপ, আপনার সংজ্ঞার আওতায়, সমাধান সেট বিস্তৃত মোট অনুসন্ধান সমস্যা কঠোরভাবে কঠিন করতে পারি - reducibility আপনার সংজ্ঞা বেশী শক্তিশালী বলে মনে হয় অভ সবার সম্পূর্ণতা জন্য যুক্তি?)।

+1 এবং -1 এর সমতা রয়েছে। (এই সমতাটি "বিজোড়"))

$\hspace{3.09 in}$ ডানটির "ইঙ্গিত

"পরিবর্তে" iff

g (x, y)

$g(x,\hspace{-0.03 in}y)$

"।

g (y)

$g(\hspace{.04 in}y)$

এখন, আমরা কি না আছে, আমি এটা UnbalancedInOtherDirectionVertex ডাকবো, যে সমস্যার হ্রাস PPADS , যেহেতু এক প্রয়োজনে প্রান্ত টুসকি করতে দেওয়া করতে প্রান্তবিন্দু ইন-ডিগ্রী তার চেয়ে অনেক বেশী আউট-ডিগ্রী আছে, এবং তারপর

মোট -১০ ডিগ্রি -১ উল্লম্ব প্রদত্ত ভার্টেক্সটি রূপান্তরিত হয়ে ডুবে যাওয়ার পরিবর্তে সমস্ত উত্স হবে। আপনার সমস্যা থেকে এইওএল যাওয়ার কোনও অনুরূপ উপায় আমি দেখতে পাচ্ছি না।

k

$k$

কমপক্ষে হ্রাসটি দেখায় যে এওভি তার ক্ষেত্রে সমান যেখানে সম্ভাব্য প্রদত্ত ভারটেক্স জেড ব্যতীত সমস্ত ভার্টিক্সের অনিয়মিত এবং সীমাবদ্ধতা বেশি রয়েছে, যার অ g g g রয়েছে, তবে এর পরিমাণ আরও বড় হতে পারে।

— এমিল জ্যাবেক

আমি ফ্রেডেরিক মুনিয়েরের কাছ থেকে শুনেছি যে তিনি পাঁচ বছর আগেও এই সমস্যাটি পর্যবেক্ষণ করেছেন এবং পাপাদিমিট্রিও সম্মত হয়েছেন।

— ডমোটরপ

উত্তর:

সমস্যাগুলি সমতুল্য হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে (এবং এইভাবে পিপিএড-সম্পূর্ণ), দেখুন দ্য চুলচেরা বল সমস্যাটির ৮ নং বিভাগটি পল ডাব্লু গোল্ডবার্গ এবং আলেকজান্দ্রোস হলেন্ডার পিপিএডি-সম্পূর্ণ ।

— domotorp
সূত্র

ধন্যবাদ। দেখা গেছে যে প্রমাণটি একই লেখকদের আগের প্রযুক্তিগত প্রতিবেদনে প্রকাশিত হয়েছিল: সমাপ্তি-সমাপ্তির সমস্যাটির বহু-উত্সের বৈকল্পিকগুলির জটিলতা, এবং সংক্ষিপ্ত বিবর্ণ চেসবোর্ড

— ড্যানিল মুসাতভ

এটি একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন এবং আমি কেবল একটি আংশিক উত্তর দিতে পারি।

এটি সহজেই দেখা যায় যে পি-তে নির্মাণ কাজ। পাপাদিমিট্রিউ'র 505 টি কাগজ তার বিশেষ ক্ষেত্রে এটিউয়ের সমতুল্যতা দেখায়

লাইনের অনেক প্রান্ত (MEOL): একটি নির্দেশ গ্রাফ দেওয়া ইন-ডিগ্রী এবং আউট-ডিগ্রী ছাড়া সর্বাধিক (উপরে যেমন সার্কিট দ্বারা প্রতিনিধিত্ব), এবং একটি nonempty সেট এর উৎস , একটি বেসিনে বা একটি উৎস খুঁজে । $G$ $1$ $X$ $G$ $v\notin X$

একদিকে, আমি এমন গ্রাফগুলির এমন একটি রূপান্তরটি কল্পনা করতে অসুবিধা বোধ করি যা একটি বৃহত সংখ্যক উত্সকে হ্রাস করতে পারে।

তবে অন্যদিকে, এমওএল সম্ভবত পিপিএড ব্যতীত পিপিএড সমেত সমস্ত সাধারণভাবে অধ্যয়ন করা শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত :

প্রথমত, স্পষ্টতই,

MEOL হয় PPADS ।

আমি একটি যুক্তির নীচে স্কেচ করব

MEOL হয় পিপিএ

স্ট্যান্ডার্ড পিপিএ- কমপ্লিট সমস্যা ( AEOL এর পুনঃনির্দেশিত সংস্করণ ) হ্রাস দ্বারা । ধরা যাক এমওএল এর সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের এবং দেওয়া হয়েছে। $G=(V,E)$ $X$

যদি অদ্ভুত, আমরা কেবল গ্রাফটিকে পুনর্নির্দেশিত করে তুলতে পারি, থেকে এক শীর্ষবিন্দু ছাড়া সমস্তটির সাথে একটি মিলও অন্তর্ভুক্ত করতে পারি (পি 505 এর তর্ক হিসাবে) এবং থেকে পিপিএ ওরাকলটিতে অবশিষ্ট উত্সের সাথে ফলাফলটি পাস করতে পারি । $|X|$ $X$ $X$

সাধারণভাবে, আসুন এবং সর্ববৃহৎ শক্তি হতে যে ভাগ । আমরা একটি নতুন গ্রাফ সংজ্ঞায়িত যার ছেদচিহ্ন হয় এর -element সাব-সেট নির্বাচন । যদি এমন সেট, আমরা প্রান্ত করা মধ্যে যদি আমরা যেমন সেট গনা করতে $s=|X|$ $2^k$ $2$ $s$ $G'=(V',E')$ $2^k$ $V$ $A,B\in V'$ $(A,B)$ $E'$ , এমনভাবে যে প্রত্যেকের জন্য । $A=\{a_0,\dots,a_{2^k-1}\}$ $B=\{b_0,\dots,b_{2^k-1}\}$ $(a_i,b_i)\in E$ $i<2^k$

স্পষ্টত, ইন-ডিগ্রী এবং আউট-ডিগ্রী সর্বাধিক সঙ্গে একটি নির্দেশ গ্রাফ হয় । একটি একটি উৎস (বেসিনে) iff এটি একটি উৎস (বেসিনে, রেস্প।) রয়েছে । (অর্থাৎ, এটি উভয় রয়েছে, এটি একটি বিচ্ছিন্ন প্রান্তবিন্দু হয়,।) সুতরাং, এই ধরনের যে কোনও প্রান্তবিন্দু একটি সমাধান হতে হবে MEOL , উদাহরণস্বরূপ, যদি না একটি "নামে পরিচিত উৎস" is: যে, । আমরা গ্রাফটিকে পুনর্নির্দেশিত করার পরিকল্পনা করি এবং এটিকে এমনভাবে হেরফের করি যাতে জ্ঞাত উত্সের সংখ্যা বাকী একটিতে মিলে অন্তর্ভুক্ত করে তে কমে যায় । $G'$ $1$ $A\in V'$ $G$ $A$ $A\cap X\ne\varnothing$ $1$

সুতরাং, যদি একটি পরিচিত উত্স হয়, যাক , যা সন্তুষ্ট করে । যদি তারপরে, কেবলমাত্র । এই জাতীয় সেটগুলির সংখ্যা $A$ $t=|A\cap X|$ $0<t\le2^k$ $t=2^k=|A|$ $A\subseteq X$ । পুনরাহ্বান যে একটি মৌলিক সংখ্যাধিক্যমধ্যে $\binom{s}{2^k}$ $p$ সংখ্যা ছাড়াও বহন করে সমানবেস সঞ্চালিত। এর পছন্দ অনুসারেএটি অনুসরণ করে $\binom ab$ $b+(a-b)=a$ $p$ $k$ বিজোড়। অধিকন্তু, তার মাঝে বহুপদী টাইম bijections হয় $\binom{s}{2^k}$ , এবংএরএলিমেট সাবসেটগুলি। এটি ব্যবহার করে, আমরাএরএলিমেন্ট সাবসেটের ব্যতীতসকলের সাথে বহু-কালীন মিলের সংজ্ঞা দিতে পারি। আমরা এটিকে গ্রাফটিতে অন্তর্ভুক্ত করি, যাথেকেহিসাবে পরিচিত উত্সের সংখ্যা হ্রাস করে। $[0,\binom ab)$ $b$ $[0,a)$ $2^k$ $X$ $t=2^k$ $1$

জন্য , হ্যান্ড কাউন্টিং সূত্র অনুষ্ঠান $0<t<2^k$ । আবার, আমরাএলিমেন্ট উপগ্রহেএকটি স্পষ্ট মিল খুঁজে পেতে পারি। আমরা এটা পরিচিত সূত্র প্রসারিতসঙ্গেথেকে ম্যাচিং প্রয়োগের দ্বারা, এবং ছাড়ারস্থির করেছি। $\binom st$ $t$ $X$ $A$ $|A\cap X|=t$ $A\cap X$ $A\smallsetminus X$

এইভাবে, আমরা একটি পরিচিত পাতার শীর্ষবিন্দু সহ একটি অপরিবর্তিত গ্রাফ উত্পাদন করি। আমরা অন্য পাতার জন্য পিপিএ ওরাকলকে জিজ্ঞাসা করি এবং নির্মাণের মাধ্যমে আমরা এটি থেকে এমওএল উদাহরণের জন্য একটি উত্তর বের করতে পারি ।

সংক্ষেপে Papadimitriou উল্লেখ হিসাবে, আমরা সাধারণের করতে পিপিএ ক্লাস পিপিএ - কোন মৌলিক জন্য । পিপিএ - সম্পূর্ণ সমস্যা হ'ল একটি উদাহরণ $p$ $p$ $p$

এওভি - : একটি নির্দেশিত গ্রাফ এবং একটি ডিগ্রি যার ডিগ্রি ব্যালেন্স Give $p$ $G$ ${}\not\equiv0\pmod p$

(দেখুন এই উত্তরটি এর সমানতা জন্য অভ সবার - এর Papadimitriou সংজ্ঞা সঙ্গে পিপিএ - ।) $p$ $p$

পিপিএ - কেবল পিপিএ । ক্লাস পিপিএ - যুগলতরূপে অতুলনীয় এবং পিপিএডএসের সাথে অতুলনীয় বলে ধরে নেওয়া হয় । এগুলির মধ্যে পিপিএডি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে । $2$ $p$

আমি উপরে উল্লিখিত আর্গুমেন্টে সম্পর্কে বিশেষভাবে কিছুই ছিল না এবং ফলন করার জন্য এটি সহজেই সংশোধন করা যেতে পারে $p=2$

MEOL হয় পিপিএ - প্রত্যেক মৌলিক জন্য । $p$ $p$

— এমিল জেবেক
সূত্র

আমি উত্তরটি খুব পছন্দ করি এবং এটি গ্রহণ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি (অবশ্যই আরও সম্পূর্ণ উত্তর এখনও স্বাগত)) আমি কেবলমাত্র মনে করি যে AUV - দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা বর্গকে পিপিএডি - বলা উচিত । পাপাদিমিট্রিউ ভারসাম্য নয়, অপ্রশিক্ষিত দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ এবং কেবলমাত্র ডিগ্রি সম্পর্কে লিখেছেন।

p

$p$

p

$p$

— ড্যানিল মুসাতভ

ক্লাসগুলি পিপিএডের সাধারণীকরণ নয়, পিপিএডি নয়, । Papadimitriou AUV- তুলনায় বিভিন্ন সম্পূর্ণ সমস্যা দেয় (নোট যে তার গ্রাফ দ্বিপাক্ষিক হয়), কিন্তু এটা আমার সংজ্ঞা দেওয়ার সমতুল্য। পুরো নামকরণের স্কিমটি মারাত্মক বিভ্রান্তিকর; নির্দিষ্ট বর্গের জন্য নির্দেশিত বনাম অচিন্তিত গ্রাফের ব্যবহার কেবল একটি দুর্ঘটনা, ক্লাসের অনেকেরই নির্দেশিত এবং পুনর্নির্দেশিত গ্রাফ (পিপিএ- ক্ষেত্রে ) উভয় সম্পর্কিত সম্পূর্ণ সমস্যা রয়েছে । এছাড়াও, তাদের নাম থাকা সত্ত্বেও, বেশিরভাগ ক্লাস সমতা যুক্তির ভিত্তিতে নয় , তবে অন্যান্য গণনা নীতিগুলির উপর ভিত্তি করে। কেবল পিপিএ সমতা সম্পর্কে।

p = 2

$p=2$

p

$p$

p

$p$

— এমিল জ্যাবেক

ধন্যবাদ, পেয়েছি এটি প্রকৃতপক্ষে একই বর্গ। আমি একটি জল্পনা শুনেছি যে পাপাদিমিট্রিও পিপিএডি নামটি বেছে নিয়েছে কারণ এটি তার নিজের উপামের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।

— ড্যানিল মুসাতভ

পিপিএডি পিপিএ-পি-তে থাকার জন্য আপনার কি কোনও রেফারেন্স রয়েছে?

— ডোমোটরপ

না একটি সুনির্দিষ্ট এক, কিন্তু উদাহরণস্বরূপ, সংজ্ঞা PPAD-সম্পূর্ণ সমস্যা আক্ষরিক AUV- একটি বিশেষ ক্ষেত্রে দেখা যায়

।

p

$p$

— এমিল জ্যাব্যাক