"বাহ্যসীমাযুক্ত জেনাস" গ্রাফের কি ধ্রুবক বৃক্ষের প্রশস্ততা থাকে?

Question

যাক দ্বারা চিহ্নিত সব গ্রাফ যে মহাজাতি একটি পৃষ্ঠ এম্বেড করা যেতে পারে সেট যেমন যে সব ছেদচিহ্ন বাইরের মুখে অবস্থিত । উদাহরণস্বরূপ, হ'ল গ্রাফের সেট। গ্রাফের কোনও ক্রিয়াকলাপ দ্বারা উপরের করে আবদ্ধ করা পারে ?জি কে কে জি 0 জি কে$k\in\mathbb{N}$$G_k$$k$$G_0$$G_k$$k$

অন্যান্য দিক স্পষ্টত রাখা না, যেহেতু ধ্রুব treewidth এমনকি ধ্রুব মহাজাতি পরোক্ষভাবে না: আসুন ইউনিয়ন হতে এর অসংলগ্ন করা কপি । এইচ_এন এর ধ্রুবক, এর জেনাস অবশ্য । এন কে 3 , 3 এইচ এন$H_n$$n$$K_{3,3}$$H_n$$n$

Comments

নোড সহ স্কোয়ার গ্রিডের গাছের প্রস্থ ও ( √ ) থাকে $n$। অনেকগুলি সমস্যা রয়েছে যা প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে এনপি-হার্ড তবে পি তে সীমাবদ্ধ গাছের প্রস্থের গ্রাফের জন্য, যেমন সর্বোচ্চ স্বাধীন সেট। আমি অন্য কোন উপায়ে রাউন্ডের কোনও উদাহরণ দেখিনি$O(\sqrt{n})$

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

আমি দুঃখিত ... আমি উপরের প্রশ্নটি সম্পাদনা করতে বাধ্য করেছিলাম, আমি আসলে ভুল প্রশ্ন উত্থাপন করেছি।

— রাদু কার্টিকাপিয়ান

Answer 1

হ্যাঁ.

বাহ্যিক মুখের মধ্যবর্তী অংশে একটি শীর্ষবিন্দু যুক্ত করুন, বাইরের মুখের সমস্ত শীর্ষে সংযুক্ত; এটি জিনাস পরিবর্তন করে না, এবং গাছের প্রস্থকে হ্রাস করে না। এখন গ্রাফটিতে একটি নতুন শিখরে মূলের একটি খুব অগভীর প্রস্থের প্রথম অনুসন্ধান গাছ রয়েছে (সবকিছু এটি সংলগ্ন)।

দ্বৈত গ্রাফের একটি বিস্তৃত গাছ গঠন করুন যার দ্বৈত প্রান্তটি প্রস্থের প্রথম অনুসন্ধানের গাছের কিনারা থেকে বিরত রয়েছে। তারপরে ও (জেনাস) প্রান্তগুলির একটি সেট রয়েছে যা কোনও গাছের নয়। এই প্রান্তগুলির প্রতিটি প্রস্থে প্রথম ত্রি গাছের প্রস্থের সাথে একটি সংক্ষিপ্ত চক্র (একটি ত্রিভুজ) প্ররোচিত করে এবং এই চক্রের সাথে পৃষ্ঠটি কাটলে একটি প্ল্যানার পৃষ্ঠ তৈরি হয় (আমার কাগজটি "টপোলজিক্যাল এমবেডেড গ্রাফগুলির ডায়নামিক জেনারেটর" দেখুন)। এটি হ'ল, যদি জি 'ইনপুট গ্রাফের অনুচ্ছেদ হয় যা ও (জেনাস) কাটা প্রান্তের প্রান্তগুলি নয়, তবে জি' প্ল্যানার, এবং এর শিখরগুলি এর (জেনাস) মুখগুলি দ্বারা আবৃত করা যেতে পারে প্ল্যানার এম্বেডিং (যে মুখগুলি কাটা চক্রগুলি মূল বাইরের মুখটি কাটায়)

তবে একটি পরিকল্পনাকারী গ্রাফে যেখানে সমস্ত অনুভূমিকাগুলি কে মুখের সাথে সম্পর্কিত, একটি বহির্মুখী গ্রাফ পাওয়ার জন্য অন্য কোনও ও (কে) প্রান্তগুলি (মুখগুলির একটি বিস্তৃত গাছ) মুছে ফেলতে পারে। সুতরাং জি 'এর গাছপথটি হ'ল ও (জেনাস)। যদি কেউ এই প্রস্থের সাথে 'জি' এর গাছ-পচন গঠন করে এবং তারপরে প্রতিটি ব্যাগে কাটা চক্র প্রান্তের প্রান্তগুলি যে শীর্ষে যুক্ত হয়, ফলস্বরূপ বৃক্ষদ্বীপ ও (জেনাস) সহ মূল ইনপুট গ্রাফের একটি গাছের পচন।

সম্ভবত এটি কোথাও কোথাও সাহিত্যে থাকতে হবে বলে মনে হয় তবে কোথায় এবং কিছু দ্রুত অনুসন্ধানগুলি এই সুনির্দিষ্ট ফলাফলের স্পষ্ট বিবৃতি সন্ধান করতে সফল হয়নি। যাইহোক, আরও সাধারণ বিবৃতিটি আমার একটি ভিন্ন কাগজে রয়েছে: "ছোটখাটো-বদ্ধ গ্রাফ পরিবারগুলিতে ব্যাস এবং গাছের প্রস্থে" আমি অন্যান্য জিনিসের মধ্যেও প্রমাণ করি যে সীমানা ব্যাসের জেনাসের গ্রাফের গ্রাফগুলি বৃক্ষের প্রস্থকে আবদ্ধ করে। এই ক্ষেত্রে (বাহ্যিক মুখের মধ্যে অতিরিক্ত ভার্টেক্স যুক্ত করে) ব্যাসকে সর্বাধিক দুটি হতে নেওয়া যেতে পারে।