আমরা দ্রুত পুরোপুরি অভিন্ন মডেল 3 তৈরি করতে পারি বা এনপি সমস্যার সমাধান করতে পারি?

Question

সত্যি বলতে কী, এলোমেলো সংখ্যা কীভাবে উত্পন্ন হয় সে সম্পর্কে আমি তেমন কিছুই জানি না (মন্তব্যগুলি স্বাগত!) তবে আসুন নীচের তাত্ত্বিক মডেলটি ধরে নিই: আমরা থেকে অভিন্ন র্যান্ডমটি পেতে পারি এবং আমাদের লক্ষ্যটি হ'ল একটি পূর্ণসংখ্যা আউটপুট থেকে [1,3] একরকম এলোমেলোভাবে।$[1,2^n]$

একটি সহজ সমাধান যার প্রত্যাশিত চলমান সময়টি বহুপদী the বাতিল করুন (এবং সম্ভবত এছাড়াও ) থেকে যাতে অবশিষ্ট পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয় তাই আমরা নিতে পারেন উত্পন্ন পূর্ণসংখ্যা হয়। আমরা যদি একটি ফেলে দেওয়া নম্বর পাই তবে আমরা অন্য নম্বরটি উত্পন্ন করি, যতক্ষণ না আমরা একটি অব্যাহত নম্বর না পাই।2 এন 2 এন - 1 [ 1 , 2 এন ] 3 মড $2^n$$2^n-1$$[1,2^n]$$3$$\bmod 3$

তবে আমরা যদি বহুপক্ষীয় সময়ে অবশ্যই শেষ করতে চাই? বিভাজনীয় সমস্যার কারণে সমস্যাটি অলসযোগ্য হয়ে ওঠে। তবে আমি অবাক হয়েছি যে আমরা যদি নিম্নলিখিতগুলি সমাধান করতে পারি।

ধরা যাক আমরা [1,2 ^ n] থেকে অভিন্নভাবে পূর্ণসংখ্যার জেনার তৈরি করতে পারি $[1,2^n]$এবং আমাদের একটি গণনামূলকভাবে কঠিন সমস্যা দেওয়া হয়েছে। আমাদের লক্ষ্য হ'ল [১,৩] থেকে কোনও পূর্ণসংখ্যাকে সমানভাবে এলোমেলোভাবে আউটপুট দেওয়া বা কঠিন সমস্যার সমাধান করা।

এখানে কঠিন সমস্যাটি একটি পূর্ণসংখ্যা ফ্যাক্টরিং, একটি স্যাট উদাহরণ বা অনুরূপ কিছু সমাধান করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা নিম্নরূপে একটি একমুখী ক্রমান্বয়ে f ডিকোড করতে পারি $f$, যদি আমাদের কিছু $f(x)$ (এবং ধরুন এন সমান $n$হয়): যদি আমাদের এলোমেলো স্ট্রিং $f(r)<f(x)$ তবে $f(r) \bmod 3$ , যদি $f(r)>f(x)$ , তারপর নিতে $f(r)-1\bmod 3$ । অবশেষে, যদি $f(r)=f(x)$ , তবে আমরা r = x হিসাবে সম্পন্ন করেছি $r=x$। (যদি $n$ বিজোড় হয় তবে অনুরূপ কিছু কাজ করে, কেবল আমাদেরও চেক করতে হবে $f(r+1)=f(x)$ এবং 2 বিয়োগ করতে $2$হলে $f(r)>f(x)$ )

উত্তরের সংক্ষিপ্তসার। এমিল জ্যাবেক দেখিয়েছেন যে আমরা যতক্ষণ না পুরোপুরি সমানভাবে উত্পাদন করতে পারি, ততক্ষণে আমরা টিএফএনপি এবং পিপিএ -3 থেকে যে কোনও একক-মূল্যবান অনুসন্ধান সমস্যার সমাধান করতে পারি। অন্যদিকে, ড্যানিয়েলো দেখিয়েছেন যে এনপি = সহ-এনপি না থাকলে আমরা উপরের উপায়ে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি সমাধান করতে পারি না।

Comments

@Tayfun তাহলে এমনকি আমরা প্রয়োজন হয় দ্বারা বিভাজ্য হবে , যদি বিজোড় হয়, যে যখন আমরা প্রয়োজন দ্বারা বিভাজ্য হবে । আমি কোন অংশ সম্পর্কে আমার আরও সুনির্দিষ্ট হওয়া উচিত সে সম্পর্কে যদি আপনি আরও সুনির্দিষ্ট হন তবে আমি খুশি হব। এন 2 এন - 1 3 এন 2 এন - 2 $n$$2^n-1$$3$$n$$2^n-2$$3$

— ডোমোটরপ

(1) আপনি টিএফএনপিতে (একক মূল্যবান) ফাংশন সমাধানের একমুখী অনুমতি দিয়ে উদাহরণটি সাধারণ করতে পারেন। (২) আপনি নির্বিচারে পিপিএ -3 অনুসন্ধান সমস্যার সমাধান করতে পারেন।

— এমিল জেব্যাক

@ এমিল (1): কিভাবে? (২): আমি এটিও ভেবেছিলাম যে এটি সঠিক জটিলতা বর্গ হতে পারে তবে আমরা কেন এইরকম সমস্যা সমাধান করতে পারি তা দেখছি না।

— ডমোটরপ

আমি পরে উত্তর হিসাবে এটি লেখার চেষ্টা করব। বিটিডব্লিউ, প্রশ্নটি আকর্ষণীয়, আমি জানি না যে সমস্ত নিম্নবিত্তদের সাথে কী চুক্তি হয়েছিল।

— এমিল জেব্যাক

ডাউনভোটগুলি উদ্ভট। এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন! এবং আমি এটি সম্পর্কে অস্পষ্ট কিছুই দেখতে পাচ্ছি।

— সাশো নিকোলভ

Answer 1

ডমোটরপের উত্তরের অনুসরণ হিসাবে, আমি বিশ্বাস করি যে নীচের বিধিনিষেধকে সন্তুষ্ট করে আমরা এনপি অনুসন্ধান সমস্যার সমাধান করতে পারি:

1. সমাধানের সংখ্যা জানা যায়, এবং দ্বারা বিভাজ্য নয় ; বা,$3$

2. সমাধানের সংখ্যাটি বহুপদীভাবে আবদ্ধ (তবে আগে থেকে জানা যায় না)।

১. এর জন্য, আমরা নিম্নোক্ত ক্ষেত্রে হ্রাস করতে সাধারণ প্যাডিং ব্যবহার করতে পারি:

• সমাধানগুলি , যেখানে ।[ 0 , 2 মি - 1 ) $[0,2^{m-1})$$m$

• সমাধান সংখ্যার সন্তুষ্ট ।s s ≡ $s$$s\equiv1\pmod3$

• যে কোনও দুটি সমাধান কমপক্ষে পৃথক। (বলুন, তারা সব বিভাজ্য হয় ।)4 $4$$4$

লক্ষ্য করুন যে । সুতরাং, আমরা এলোমেলো বেছে নিয়ে এবং আমার উত্তর হিসাবে একটি অনুরূপ প্রোটোকল ব্যবহার করে অনন্য সমাধানের জন্য যদি মধ্যে একটি (( ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করতে পারি উপর এক সংক্ষিপ্ত প্রতিটি প্রতি সমাধান), এবং outputting যদি ।3 ∣ 2 মি - এস এ ∈ [ 0 , 2 মি ) এ ∈ [ 0 , 2 মি - সে ) { 0 , 1 , 2 } $3\mid 2^m-s$$a\in[0,2^m)$$a\in[0,2^m-s)$$\{0,1,2\}$$0$এস 0 এ ∈ [ 2 মি - এস , 2 মি$s$$0$$a\in[2^m-s,2^m)$

2., প্রথম অনুমান সমাধান সংখ্যার হয় পরিচিত । মতই /cstheory//a/37546 যাক সর্ববৃহৎ শক্তি হতে যে ভাগ , যাতে । অনুসন্ধান সমস্যার কথা বিবেচনা করুন যার সমাধানগুলি সিকোয়েন্সগুলি যেমন , এবং প্রতিটি মূল সমস্যার সমাধান। একদিকে, আসল সমস্যাটি নতুনকে হ্রাস করে। অন্যদিকে, নতুন সমস্যার সমাধানের সংখ্যা হ'ল , অর্থাৎ দ্বারা বিভাজ্য নয়$s\le p(n)$$3^k$$3$$s$3 ∤ ( গুলি)3 কে )y0,…,y3কে-1y0<y1<⋯<y3কে-1yআমি($3\nmid\binom s{3^k}$$y_0,\dots,y_{3^k-1}$$y_0<y_1<\dots<y_{3^k-1}$$y_i$3 কে )$\binom s{3^k}$$3$, এবং পরিচিত। সুতরাং, আমরা 1 দ্বারা সম্পন্ন করা হয়।

এখন, যদি সমাধানগুলির সংখ্যা দ্বারা আবদ্ধ হয় , তবে জানা না যায়, তবে আমরা প্রতিটি সম্ভাব্য পছন্দ of এর সমান্তরালভাবে টাইম ( ) এর উপরে প্রোটোকলটি চালাই , এবং:p ( n ) 2 ℓ 2 ℓ ≥ p ( n ) 1 ≤ s ≤ 2 $p(n)$$2^\ell$$2^\ell\ge p(n)$$1\le s\le2^\ell$

• কোনও থ্রেড যদি মূল সমস্যার সমাধান দেয় তবে আমরা এরকম একটি আউটপুটে পাস করি;

• যদি সমস্ত থ্রেড উপাদানগুলি , , আমরা আউটপুট ।R 1 , ... , দ 2 ℓ ∈ { 0 , 1 , 2 } ( দ 1 + + R 2 + + ⋯ + + R 2 ℓ ) mod $r_1,\dots,r_{2^\ell}\in\{0,1,2\}$$(r_1+r_2+\dots+r_{2^\ell})\bmod3$

দ্বিতীয় ইভেন্টে নিয়ন্ত্রিত, অবিশেষে মধ্যে বিতরণ করা হয় জন্য মূল সমস্যা সমাধান প্রকৃত সংখ্যা হচ্ছে যখন অন্যান্য থেকে স্বাধীন , অত পুরো সমষ্টি এছাড়াও অবিশেষে বিতরণ করা হয় ।r s { 0 , 1 , 2 } s r i r $r_s$$\{0,1,2\}$$s$$r_i$$r_s$

Comments

1 এবং 2 এর সাধারণ সাধারণীকরণ হ'ল সমাধানের সংখ্যাটি বহু-কালীন গণনার সংখ্যার তালিকা থেকে আসে, যেমন টির মধ্যে যে কোনওটির বিভাজনকারী বৃহত্তম শক্তি বহুবর্ষীয়ভাবে আবদ্ধ। $3$

— এমিল জেব্যাক

বিটিডব্লিউ, আপনি কি এমন কোনও অ- সংমিশ্রিত সমস্যা জানেন যেখানে সমাধানের সংখ্যাটি কিছু অতিপরিচয় বিদ্যুত দ্বারা বিভাজ্য প্রমাণিত হতে পারে ? সংমিশ্রণ বলতে আমি বোঝাতে চাই এমন কিছু সমস্যার প্রত্যক্ষ পণ্য গ্রহণ করার মতো যেখানে সমাধানের সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য - যৌগিক সমস্যাগুলি উপরের উপায়ে সহজেই সমাধান করা যায়। 3 $3$$3$

— ডোমোটরপ

আমি মনে করি যে এটি প্রমাণ করা সম্ভব যে এমন একটি ওরাকল রয়েছে যার অধীনে 3 সমস্যার কিছু অতিশক্তিগত শক্তি উপরের উপায়ে সমাধান করা যায় না।

— ডোমোটরপ

@ ডমোটরপ এটি আকর্ষণীয়, আমি সম্ভাবনাটি ভোগ করছিলাম যে একরকম বীরত্বপূর্ণ – বাজিরানী যুক্তিটি স্বেচ্ছাসেবী টিএফএনপি সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। যাইহোক, চরিত্রায়ন এখনও অসম্পূর্ণ। এই উত্তরের সীমাবদ্ধতা সম্পর্কে আমি বিশেষত অসন্তুষ্ট যে সমাধানের সংখ্যাটি জানা গেছে, বা কমপক্ষে একটি বহু-কালীন গঠনমূলক তালিকা থেকে এসেছে। একটি বিষয় হিসাবে, এই ধরনের সমস্যার শ্রেণিটি আমার অন্য উত্তর থেকে স্পষ্টতই পিপিএ -3 এর সাথে অতুলনীয়, সুতরাং উভয়কে সাধারণীকরণের মতো নির্মাণ করা ভাল হবে। আফিক্সের একমাত্র উপরের সীমানাটি হ'ল যে কোনও সমস্যা সমাধানযোগ্য ...

— এমিল জ্যাব্যাক

... উপরের উপায়ে কোনও টিএফএনপি সমস্যার হ্রাসযোগ্য যার সমাধানগুলির সংখ্যা মডুলো (তবে জানা নেই)। এটি সঠিক শ্রেণি, বা সর্বোপরি কিছু অতিরিক্ত বিধিনিষেধের প্রয়োজন কিনা তা আশা করা উচিত কিনা তা আমার কাছে স্পষ্ট নয়। 1 $1$$3$

— এমিল জেব্যাক

Answer 2

আমি সংখ্যাটি পরিবর্তে থেকে শুরু করব , কারণ আমি এটি আরও প্রাকৃতিক বলে মনে করি।0 $0$$1$

এখানে আমরা এখানে দুটি শ্রেণীর সমস্যাগুলি সমাধান করতে পারি:

1. কার্যাবলী TFNP মধ্যে (অর্থাত, একক মূল্যবান মোট দ্বারা NP অনুসন্ধান সমস্যার)

   (এটি সাথে উদাহরণকে সাধারণীকরণ করে It এটি from থেকে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে সিদ্ধান্তের সমস্যা হিসাবে অন্তর্ভুক্ত ))$\mathrm{UP\cap coUP}$

   সেটআপ আমরা বহুপদী টাইম সম্পৃক্ত আছে , এবং একটি বহুপদী এমন প্রত্যেকটি যে দৈর্ঘ্যের , একটি অনন্য বিদ্যমান দৈর্ঘ্যের যেমন যে ধরে গণনার টাস্কটি দেওয়া হল, খুঁজে বের করুন ।আর ( এক্স , ই ) পি ( এন ) এক্স এন ওয়াই এম এম = পি ( এন ) আর ( এক্স , ই ) এক্স $R(x,y)$$p(n)$$x$$n$$y$$m=p(n)$$R(x,y)$$x$$y$

   এখন, আমি ধরে নেব যে , তাই । অ্যালগরিদম হ'ল এবং আউটপুট অভিন্ন র্যান্ডম উত্পাদন করামি 2 মি ≡ $m$( মোড3 ) y ∈ [ 0 , 2 মি$2^m\equiv 1\pmod3$$y\in[0,2^m)$

   • y আর ( x , y $y$ (অনুসন্ধান সমস্যার সমাধান হিসাবে) যদি ;$R(x,y)$

   • y - y ′ { 0 , 1 , 2 } y - y ′ ∈ { 1 , 2 } R ( x , y ′$y-y'$ ( এর এলোমেলো উপাদান হিসাবে ) যদি , এবং ;$\{0,1,2\}$$y-y'\in\{1,2\}$$R(x,y')$

   • y Mod 3 { 0 , 1 , 2 } y ′ ∈ { y , y - 1 , y - 2 } R ( x , y ′$y\bmod3$ (এর একটি র্যান্ডম উপাদান হিসেবে ) যদি কোন সমাধান ।$\{0,1,2\}$$y'\in\{y,y-1,y-2\}$$R(x,y')$

   যদি অনুসন্ধান সমস্যার কোনও সমাধান না পাওয়া যায়, তবে র্যান্ডম পছন্দগুলি এবং বার এবং বার (আরও একটি) দেয়। যাইহোক, যদি অনুসন্ধান সমস্যার সমাধান করে, আমরা (যা তিনটি অবশিষ্ট অংশে আঘাত করে) উপাদানগুলির সাথে তাল মিলিয়েছি যাতে তারা কেবল এবং অবশেষ তৈরি করে , যা এর সুবিধাকে ছাড়ে । (আমি এখানে ধরে যাচ্ছি যে এই মিমি ।)2 মি 1 2 ( 2 মি - 1 ) / 3 0 ( 2 মি + + 2 ) / 3 Y Y , Y + + 1 , Y + + 2 1 2 0 Y < 2 মি - $2^m$$1$$2$ $(2^m-1)/3$$0$ $(2^m+2)/3$$y$$y,y+1,y+2$$1$$2$$0$$y<2^m-2$

2. পিপিএ অনুসন্ধান সমস্যা$3$

   পিপিএ সংজ্ঞায়নের একটি সুবিধাজনক উপায় হ'ল এনপি অনুসন্ধানের সমস্যাগুলি নিম্নোক্ত সমস্যার থেকে অনেকগুলি হ্রাসযোগ্য । আমরা একটি নির্দিষ্ট বহুপদী টাইম ফাংশন আছে , এবং একটি বহুপদী , এই ধরনের যে জন্য কোনো ইনপুট দৈর্ঘ্যের , প্ররোচক ম্যাপিং ইনপুট অবধি সীমিত দৈর্ঘ্যের একটি ফাংশন সন্তুষ্টিক প্রতি জন্য । কাজ দেওয়া , একটি fixpoint এটি এর : ।3 চ ( x , y ) পি ( এন ) এক্স $3$$f(x,y)$$p(n)$$x$$n$f x ( y ) = f ( x , y ) y m = p ( n ) f x : [ 0 , 2 মিটার ) → [ 0 , 2 মি ) f x ( f x ( f x ( y ) ) ) = y y x y f x f x ( y ) $f_x(y)=f(x,y)$$y$$m=p(n)$$f_x\colon[0,2^m)\to[0,2^m)$$f_x(f_x(f_x(y)))=y$$y$$x$$y$$f_x$$f_x(y)=y$

   আমরা নিম্নলিখিতভাবে প্রশ্নের সমাধানে এটি সমাধান করতে পারি: প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের , আমরা দৈর্ঘ্যের এবং আউটপুট একটি এলোমেলো উত্পন্ন করিx এন y এম = পি ( এন $x$$n$$y$$m=p(n)$

   • y f $y$ যদি এটি f_x এর ;$f_x$

   • অন্যথায়, , , এবং পৃথক উপাদান। আমরা তাদের , এবং আউটপুট সহ যেমন ।y f x ( y ) f x ( f x ( y ) ) { y , f x ( y ) , f x ( f x ( y ) ) } = { y 0 , y 1 , y 2 } y 0 < y 1 < y 2 i ∈ { 0 , 1 , $y$$f_x(y)$$f_x(f_x(y))$$\{y,f_x(y),f_x(f_x(y))\}=\{y_0,y_1,y_2\}$$y_0<y_1<y_2$} y = y $i\in\{0,1,2\}$$y=y_i$

   এটা তোলে সংজ্ঞা থেকে স্পষ্ট যে এই একটি অভিন্ন বন্টন দেয় , অ-fixpoint যেমন এর triples আসা।{ 0 , 1 , 2 } $\{0,1,2\}$$y$

---

পিপিএ জন্য পাপাদিমিট্রিউর সম্পূর্ণ সমস্যার সাথে উপরের সমস্যার সমতুল্যতা আমাকে দেখান , কারণ এই শ্রেণিটি বেশিরভাগ সাহিত্যে অবহেলিত। সমস্যাটি বস, জনসনে উল্লেখ করা হয়েছে: "প্রস্তাবিত প্রমাণ এবং এনপি অনুসন্ধান সমস্যার মধ্যে হ্রাস", তবে তারা সমতা বলে না। পিপিএর জন্য, বিম, কুক, এডমন্ডস, ইম্পাগলিয়াজো এবং পিটাসিতে একই ধরণের সমস্যা (একাকী) দেওয়া হয়েছে: "এনপি অনুসন্ধান সমস্যার আপেক্ষিক জটিলতা"। সম্পর্কে বিশেষ কিছু নেই , নীচের যুক্তিটি কোনও বিজোড় প্রধানের জন্য মিউট্যাটিস মিউট্যান্ডিসকে কাজ করে।3 $3$$3$

প্রস্তাব: নীচের এনপি অনুসন্ধানের সমস্যাগুলি বহু-সময় একে অপরের কাছে হ্রাসযোগ্য:

1. একটি দ্বিপক্ষীয় পুনর্নির্দেশিত গ্রাফ উপস্থাপন করে এমন একটি সার্কিট দেওয়া হয়েছে এবং একটি ভার্টেক্স whose যার ডিগ্রি দ্বারা বিভাজ্য নয় , এমন অন্য একটি শীর্ষবিন্দু সন্ধান করুন।( A ∪ B , E ) u ∈ A ∪ B $(A\cup B,E)$$u\in A\cup B$$3$

2. একটি নির্দেশিত গ্রাফ এবং একটি অনুভূমিক represent উপস্থাপনকারী একটি সার্কিট দেওয়া হয়েছে যার ডিগ্রি ব্যালেন্স (অর্থাত্, আউট-ডিগ্রি মাইনাস ইন-ডিগ্রি) দ্বারা বিভাজ্য নয় , এই জাতীয় অন্য একটি শিখুনটি সন্ধান করুন।( ভি , ই ) ইউ ∈ ভি $(V,E)$$u\in V$$3$

3. একটি function function থেকে ফাংশন গণনা করে এমন একটি সার্কিট দেওয়া হয়েছে যেমন , একটি নির্দিষ্ট অবস্থান সন্ধান করুন ।f : [ 0 , 2 n ) → [ 0 , 2 n ) f 3 = i d$f\colon[0,2^n)\to[0,2^n)$$f^3=\mathrm{id}$$f$

প্রমাণ:

$1\le_p2$ সুস্পষ্ট, কেননা এটি বাম থেকে ডানদিকে প্রান্তগুলি পরিচালনা করতে যথেষ্ট।

2 ≤ পি 1 এ বি ভি এ = { এক্স এ : x ∈ ভি } বি = { এক্স বি : এক্স ∈ ভি } এক্স → ই { এক্স এ , ওয়াই বি } 1 { এক্স বি , ওয়াই এ } - 1 ডিগ্রি ( এক্স) ক ) = - ডিগ্রি ( এক্স বি ) এক্স $2\le_p1$ : প্রথমে আসুন একটি ভারী দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ তৈরি করুন। যাক এবং কপি হতে : , । প্রতিটি মূল প্রান্ত জন্য , আমরা একটি প্রান্ত রাখা ওজন , এবং একটি প্রান্ত ওজন । এটি graph মূল গ্রাফের ডিগ্রী ব্যালেন্সের সমান করে । যদি ভারসাম্য দেওয়া প্রান্তবিন্দু হয় , আমরা একটি অতিরিক্ত প্রান্ত যোগ ওজন$A$$B$$V$$A=\{x^A:x\in V\}$$B=\{x^B:x\in V\}$$x\to y$$\{x^A,y^B\}$$1$$\{x^B,y^A\}$$-1$$\deg(x^A)=-\deg(x^B)$$x$$u$খ ≢ 0( মোড3 ) { u এ , ইউ বি } বি ডিগ্রি ( ইউ এ ) = 2 বি ≢ $b\not\equiv0\pmod3$$\{u^A,u^B\}$$b$, যাতে , এবং । হবে আমাদের নির্বাচিত শীর্ষবিন্দু।( মোড3 ) ডিগ্রি ( ইউ বি ) = 0 ইউ $\deg(u^A)=2b\not\equiv0\pmod3$$\deg(u^B)=0$$u^A$

গ্রাফটিকে একটি সরল অপ্রত্যাশিত অপরিবর্তিত গ্রাফ তৈরি করার জন্য, আমরা প্রথমে সমস্ত ওজন মডিউল হ্রাস করি এবং ওজনের সমস্ত প্রান্ত ছাড়িয়েছি । এটি কেবল এবং এর ওজনের কিনারা ফেলে । পরেরটি উপযুক্ত গ্যাজেটগুলির সাথে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এর পরিবর্তে একটি weight- এর প্রান্ত , আমরা নতুন ছেদচিহ্ন অন্তর্ভুক্ত , জন্য , ধার সম্বলিত , , , , : এটি3 0 1 2 2 { এক্স একজন , Y বি } W একটি আমি z- র বি আমি আমি = 0 , ... , 3 { এক্স একজন , Y বি } { এক্স একজন , z- র বি আমি } { W একটি আমি , Y বি } { W এ আই , জেড বি আমি } { ডব্লিউ এ $3$$0$$1$$2$$2$$\{x^A,y^B\}$$w_i^A$$z_i^B$$i=0,\dots,3$$\{x^A,y^B\}$$\{x^A,z^B_i\}$$\{w^A_i,y^B\}$$\{w^A_i,z^B_i\}$, z বি ( i + 1 ) মোড 4 } ডিগ্রি ( ডাব্লু এ আই ) = ডিগ্রি ( জেড বি আই ) = 3 5 ≡ $\{w^A_i,z^B_{(i+1)\bmod4}\}$$\deg(w_i^A)=\deg(z_i^B)=3$, এবং কে এবং অবদান রাখে ।( মোড3 ) এক্স এ ওয় $5\equiv2\pmod3$$x^A$$y^B$

3 ≤ পি 2 এন 2 এন ≡ $3\le_p2$ : আমাকে ধরে নেওয়া যাক সরলতার জন্য এমনকি এমন যে । আমরা উপরে একটি নির্দেশিত গ্রাফ তৈরি করেছি :$n$( মোড3 ) ভি = [ 0 , 2 এন$2^n\equiv1\pmod3$$V=[0,2^n)$

• আমরা প্রতি জন্য এবং প্রান্তগুলি অন্তর্ভুক্ত করি ।3 x + 1 → 3 x 3 x + 2 → 3 x x < 2 এন / 3 - $3x+1\to3x$$3x+2\to3x$$x<2^n/3-1$

• যদি -এর একটি অ-স্থির কক্ষপথ হয় তবে আমরা এবং প্রান্তগুলি অন্তর্ভুক্ত করি ।x 0 < x 1 < x 2 f x 0 → x 1 x 0 → x $x_0<x_1<x_2$$f$$x_0\to x_1$$x_0\to x_2$

নির্বাচিত ভারটিেক্সটি হবে । প্রথম অনুচ্ছেদে প্রতিটি to জন্য বা ব্যালেন্স অবদান রাখে । তেমনি, দ্বিতীয় ধারাটি ভারসাম্য বা অবদান রাখে । সুতরাং, ধরে নিচ্ছি যে ইতিমধ্যে একটি ফিক্সপয়েন্ট নয়, এটি প্রকৃতপক্ষে ভারসাম্যহীন মডুলো , এবং অন্য কোনও ভার্টেক্স ভারসাম্যহীন মডুলো একটি ফিক্সপয়েন্ট ।u = 2 n - 1 1 - 2 ≡ $u=2^n-1$$1$( মোড3 ) ≠ u - 1 2 ≡ - $-2\equiv1\pmod3$$\ne u$$-1$( মোড3 ) u 3 3 $2\equiv-1\pmod3$$u$$3$$3$$f$

1 ≤ পি 3 এ = বি = [ 0 , 2 এন ) এন ইউ ∈ এ ≡ $1\le_p3$ : আমরা ধরে নিতে পারি যে সাথে , এবং প্রদত্ত ডিগ্রি ।$A=B=[0,2^n)$$n$$u\in A$$\equiv2\pmod3$

আমরা দক্ষতার সাথে প্রান্তের ঘটনাটিকে হিসাবে হিসাবে লেবেল করতে পারি , যেখানে । এইভাবে, উপসেট হয়ে যায় , যা আমরা । আমরা একটি ফাংশন নির্ধারণ উপর নিম্নরূপ।y ∈ B ( y , j ) j < ডিগ ( y ) E [ 0 , 2 এন ) × [ 0 , 2 এন ) [ 0 , 2 2 এন ) এফ [ 0 , 2 এন ) × [ 0 , 2 এন$y\in B$$(y,j)$$j<\deg(y)$$E$$[0,2^n)\times[0,2^n)$$[0,2^{2n})$$f$$[0,2^n)\times[0,2^n)$

• এর পরিপূরক হিসাবে : প্রতিটি for এর জন্য , এবং মতো , আমরা , , । এছাড়াও, , , জন্য । এটি বিন্দু , এবং পয়েন্ট প্রতিটি for যার ডিগ্রি দ্বারা বিভাজ্য নয় ।ই y ∈ বি জে ডিগ্রি ( y ) ≤ 3 জ < 2 এন - 1 ফ ( y , 3 জে ) = ( y , 3 জে + 1 ) ফ ( y , 3 জে + 1 ) = ( y , 3 জে + 2 ) f ( y , 3 j + 2 ) $E$$y\in B$$j$$\deg(y)\le 3j<2^n-1$$f(y,3j)=(y,3j+1)$$f(y,3j+1)=(y,3j+2)$( y , 3 j ) f ( 3 i , 2 n - 1 ) = ( 3 i + 1 , 2 n - 1 ) f ( 3 i + 1 , 2 n - 1 ) = ( 3 আই + 2 , 2 এন - 1 ) চ ( 3 আই + 2 , 2 $f(y,3j+2)=(y,3j)$$f(3i,2^n-1)=(3i+1,2^n-1)$$f(3i+1,2^n-1)=(3i+2,2^n-1)$- 1 ) = ( 3 আই , 2 এন - 1 ) 3 আই < 2 এন - 1 ( 2 এন - 1 , 2 এন - 1 ) 3 - ( ডিগ্রি ( y ) মোড 3 ) ( y , i ) y ∈ B $f(3i+2,2^n-1)=(3i,2^n-1)$$3i<2^n-1$$(2^n-1,2^n-1)$$3-(\deg(y)\bmod 3)$$(y,i)$$y\in B$$3$

• উপর : প্রত্যেকের জন্য , আমরা তার ঘটনা প্রান্ত একজন দক্ষ শুমার ঠিক , যেখানে । আমরা , , জন্য । যার ডিগ্রি দ্বারা বিভাজ্য নয় এমন প্রতিটি জন্য পয়েন্ট ছেড়ে যায় ।ই x ∈ এ ( y 0 , জে 0 ) , … , ( y ডি - 1 , জে ডি - 1 ) ডি = ডিগ্রি ( এক্স ) ফ ( ওয়াই 3 আই , জে 3 আই ) = ( y 3 আমি + 1 , জে 3 i + 1 ) f ( y 3 i $E$$x\in A$$(y_0,j_0),\dots,(y_{d-1},j_{d-1})$$d=\deg(x)$$f(y_{3i},j_{3i})=(y_{3i+1},j_{3i+1})$1 , জে 3 আই + 1 )=( y 3 আই + 2 , জে 3 আই + 2 )চ( ওয়াই 3 আই + 2 , জে 3 আই + 2 )=( y 3 আই , জে 3 আই )আই<⌊ডি / 3⌋ডিগ্রি(এক্স)মোড3এক্স$f(y_{3i+1},j_{3i+1})=(y_{3i+2},j_{3i+2})$$f(y_{3i+2},j_{3i+2})=(y_{3i},j_{3i})$$i<\lfloor d/3\rfloor$$\deg(x)\bmod3$এ $x\in A$$3$

যেহেতু , তার ঘটনা প্রান্ত দুটি বাদ ছিল; আমরা তাদের এখনও অন্য পরিণত করতে ব্যবহার চক্র তৃতীয় পয়েন্ট হিসেবে। বাকি পয়েন্টগুলি ফিক্সপয়েন্টগুলি হিসাবে রেখে দেওয়া হয়েছে । নির্মাণ করে, তাদের মধ্যে যে কোনও একটি (1) এর সমাধানকে উত্থাপন করবে।ডিগ ( ইউ ) ≡ 2( মোড3 ) চ ( 2 এন - 1 , 2 এন - 1 ) $\deg(u)\equiv2\pmod3$$f$$(2^n-1,2^n-1)$$f$

Comments

উভয় সমাধান সঠিক, তবে আমার ক্লাসগুলির সংজ্ঞা নিয়ে সমস্যা আছে। টিএফএনপির সংজ্ঞা অনুসারে, সাধারণত কমপক্ষে একটি সমাধানের প্রয়োজন হয়, যখন আপনি ঠিক এটি চান, যা টিএফইপ হবে, আমার ধারণা। পিপিএ -3 মূলত ইনপুট দ্বারা দ্বিদলীয় গ্রাফ এবং প্রদত্ত একটি ভার্টেক্স যার ডিগ্রি 3 নয় এর সাথে সংজ্ঞায়িত হয় এবং আমাদের এরকম আরও একটি শীর্ষবিন্দু খুঁজে বের করতে হবে। সাথে আপনার উদাহরণটি অবশ্যই এই শ্রেণীর মধ্যে রয়েছে তবে এটি কেন এটির জন্য সম্পূর্ণ? (এটি সম্ভবত সুপরিচিত, তবে এটি আমার কাছে নতুন))$f$

— ডমোটরপ

(1) আমি খুব স্পষ্টভাবে জোর দিয়েছি যে ফলাফলটি স্বেচ্ছাসেবী টিএফএনপি অনুসন্ধান সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়, তবে কেবলমাত্র ফাংশনগুলিতে। আমি কীভাবে এটি আরও স্পষ্ট করে তুলতে জানি না। (২) হ্যাঁ, এটি পিপিএ -৩ এর সাধারণ সংজ্ঞার সমতুল্য। এটি দেখাতে অসুবিধা হওয়া উচিত নয়।

— এমিল জেবেক

(1) দুঃখিত, এখানে আমার বিভ্রান্তি কেবল ভাষাগত ছিল; আপনার মূল মন্তব্যে আপনি প্রকৃতপক্ষে একক মূল্যবানকে জোর দিয়েছিলেন, তবে আপনার উত্তরে আপনি কেবল টিএফএনপি ফাংশন লিখেছেন, এবং তারপরে বন্ধনীতে যুক্ত করেছেন "অর্থাত" যা আমি জানি যতদূর সমান করে তোলে। আমি মনে করি আপনি নিজের উত্তরে "একক-মূল্যবান টিএফএনপি ফাংশন" লিখলে বোঝা আরও সহজ হবে।

— ডোমোটরপ

(2) এই সমতা খুব অবাক করা হবে। আপনি (1) ব্যবহার করেছেন এমন একই কৌশল দ্বারা, এটি বোঝা যাবে যে ইউএসএটি পিপিএ -3 এ রয়েছে, তাই না? আমি এটি আরও সম্ভাব্য আশা করব যে আমার সমস্যাটি এমন কিছু টিএফএনপি সম্পর্কিত যার সমাধানগুলির সংখ্যা প্রতিটি জন্য 1 বা 2 মড 3 (এবং আমাদের এটি জানা দরকার)। বিটিডব্লিউ, (1) এর জন্য আপনার সমাধানটি ইতিমধ্যে বোঝায় যে ফুলফ্যাক্টরিং সমাধান করা যেতে পারে যা আমার আসল প্রেরণা ছিল। $n$

— ডোমোটরপ

কার্যাবলী হয় একক মূল্যবান। এটি ফাংশন মানে কি। আমি পিপিএ -3 এ স্টাফগুলি সন্ধান করার চেষ্টা করব। তবে, আমি দেখতে পাচ্ছি না কীভাবে এটি ইউএসএটি অন্তর্ভুক্ত করবে। (1) এ নির্মাণে with দিয়ে একটি বহু-কালীন উৎপন্ন হয় না , বা কমপক্ষে আমি এটি দেখতে পাই না: সুস্পষ্ট নির্বাচনের জন্য, কেউ গণনা করতে পারে না) প্রথমে অনুসন্ধানের সমস্যা সমাধান না করে। f f 3 = i d f ( 2 মি - 1 $f$$f^3=\mathrm{id}$$f(2^m-1)$

— এমিল জেব্যাক

Answer 3

আপনি যদি পুরোপুরি Mod তৈরি করতে পারেন বা স্যাট সমাধান করতে পারেন (বা অন্য কোনও এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা, সে ক্ষেত্রে) তবে । বিশেষত, একটি স্যাট সূত্র সময় নিখুঁত জেনারেটর / সলভার বিবেচনা করুন ।3 এন পি = গ ণ এন পি $3$$NP = coNP$$\phi$

যাক আকারের ইনপুট উপর জেনারেটরের টানা র্যান্ডম বিট সর্বাধিক সংখ্যা হতে । যেহেতু জেনারেটর বহুপদী সময়ে চালিত হয়, তাই বহুবচনের। যেহেতু দ্বারা বিভাজ্য নয়, সেখানে সর্বাধিক কয়েন কিছু সিকোয়েন্স থাকতে হবে যা জেনারেটর আউটপুটটিকে জন্য একটি (সঠিক) উত্তর তৈরি করবে । সুতরাং, যদি অসন্তুষ্টিজনক হয় তবে এমন একটি কয়েন টসস রয়েছে যা জেনারেটরকে বলে যে অসন্তুষ্টযোগ্য। যদি সন্তুষ্টযোগ্য হয় তবে জেনারেটর কখনই ভুলভাবে দাবি করতে পারে নাℓ ( n ) n ℓ ( n ) 2 ℓ ( n ) 3 ℓ ( n ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ U N S A T N P N P = c o N $\ell(n)$$n$$\ell(n)$$2^{\ell(n)}$$3$$\ell(n)$$\phi$$\phi$$\phi$$\phi$$\phi$অসন্তুষ্টিজনক, মুদ্রাগুলি কী তা নয়। সুতরাং, আমরা দেখিয়েছি যে অসন্তুষ্টিজনক সূত্রগুলির ভাষা , বোঝায় । $UNSAT$$NP$$NP = coNP$

Comments

অন্য কথায়: আমরা এইভাবে যা কিছু সমাধান করতে পারি তা টিএফএনপি সমস্যার হ্রাসযোগ্য। সুতরাং, এনপি পরিবর্তে, আমরা টিএফএনপির সাবক্লাসের জন্য শুটিং করব।

— এমিল জেব্যাক

হ্যাঁ, যদিও আমি নিশ্চিত নই যে স্বতন্ত্রতা প্রয়োজনীয়, বা কেউ উল্লেখযোগ্যভাবে দুর্বল কিছু দিয়ে পালাতে পারেন।

— ড্যানিয়েলো

স্বতন্ত্রতা কি?

— এমিল জেব্যাক

"সেটআপ আমরা বহুপদী টাইম সম্পৃক্ত আছে , এবং একটি বহুপদী এমন প্রত্যেকটি যে দৈর্ঘ্যের , একটি বিদ্যমান অনন্য দৈর্ঘ্যের যেমন যে ধারণ করে The গণনামূলক টাস্কটি, দেওয়া হয়, খুঁজে বের করে । আমার অনুভূতি আছে যে দ্বারা এর সংখ্যা বিভাজ্য নয় যথেষ্ট হতে পারে। [সবেমাত্র ডমোটরপের নতুন উত্তর লক্ষ্য করা গেছে]আর ( এক্স , Y ) পি ( এন ) এক্স এন ওয়াই এম = P ( N ) আর ( এক্স , Y ) x Y Y $R(x,y)$$p(n)$$x$$n$ $y$$m=p(n)$$R(x,y)$$x$$y$$y$$3$

— ড্যানিয়েলো

ঠিক আছে, আমার উত্তরের প্রথম অংশটি অনন্য সমাধান সহ অনুসন্ধান সমস্যা সম্পর্কিত, তবে অবশ্যই এটি প্রয়োজনীয় নয়। ইতিমধ্যে আমার উত্তরের দ্বিতীয় অংশটি হ'ল সম্ভাব্য সমাধানগুলির সমাধান অনুসন্ধানগুলি। উপরে আমার মন্তব্যের দ্বারা আমি যা বোঝাতে চেয়েছি তা হল সরল পর্যবেক্ষণ হ'ল যদি একটি এলোমেলোভাবে বহু-কালীন অ্যালগরিদম হয় যা হয় , এর অভিন্ন র্যান্ডম উপাদান তৈরি করে বা সমস্যা সমাধান করে , তবে " প্রদত্ত , র্যান্ডম বিট একটি স্ট্রিং যে গনা সমাধান "একটি TFNP সমস্যা, আর এটি রূপান্তরযোগ্য নয়। কোন স্বতন্ত্রতা জড়িত। এ ( এক্স ) { 0 , 1 , 2 } এস এক্স এ এস $A(x)$$\{0,1,2\}$$S$$x$$A$$S$$S$

— এমিল জেব্যাক

Answer 4

সুতরাং এখানে এমিলের যুক্তির একটি এক্সটেনশান যা দেখায় যে অনুসন্ধানের সমস্যাগুলি যেখানে সমাধানের সংখ্যা 1, 2 বা 4 (উপরের উপায়ে সমাধান করতে পারে আমাদের কোনটি জানা দরকার নেই)। আমি এটিকে একটি উত্তর হিসাবে পোস্ট করছি কারণ এটি একটি মন্তব্যের পক্ষে অনেক দীর্ঘ এবং আমি আশা করি যে আমার চেয়ে স্মার্ট কেউ প্রমাণ করতে পারে যে আসলে সমাধানগুলির সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য নয় এমন কিছু হতে পারে।

বলুন একটি র্যান্ডম স্ট্রিং, যাতে হয় ঘনিষ্ঠ একটি সমাধান করার জন্য (যেমন, থেকে , যার জন্য ঝুলিতে) যদি এক , , অথবা হোল্ড করে। (সরলতার জন্য, যে অনুমান এবং । সমাধান না) এমিল এর সমাধান, এটা একটি র্যান্ডম স্ট্রিং জেনারেট করতে যথেষ্ট ছিল এবং আউটপুট ব্যতীত যে আমরা স্থানীয়ভাবে বেহালার প্রায় সমাধান এ; আমি বিশদে যাই না, তার উত্তর দেখুন। আমাদের পক্ষে এটি যথেষ্ট যে যদি কোনও সমাধানের কাছাকাছি থাকে তবে আমরা একটি নির্বিচারে সংখ্যা মারতে পারিr y R ( x , y ) R ( x , r ) R ( x , r + 1 ) R ( x , r + 2 ) y = 0 y = 1 r r Mod 3 r Mod 3 r r Mod 3 Mod $r$$y$$R(x,y)$$R(x,r)$$R(x,r+1)$$R(x,r+2)$$y=0$$y=1$$r$$r\bmod 3$$r$$\bmod 3$একটি সমাধান আউটপুট করে সম্ভবত যাতে এর জন্য ফাংশনটি পুরোপুরি ইউনিফর্ম সংখ্যা ।$r$$r\bmod 3$$\bmod 3$

এখন, ধরা যাক যে কোনও জন্য সমাধানগুলির সংখ্যা 1 বা 2 । আমরা দৈর্ঘ্যের দুটি এলোমেলো স্ট্রিং উত্পন্ন করি : : এবং । যদি তাদের মধ্যে কমপক্ষে কোনও একটি সমাধানের কাছাকাছি না থাকে তবে আমরা আউটপুট করি । সরলতার জন্য, ধরুন যে এতটাই যে আমাদের যদি অতিরিক্ত এটি 0 করে থাকে তবে আমরা মনে করি যে এটির দুটি সমাধান থাকলে, তারা অনেক দূরে। যদি এবং উভয়ই একই সমাধানের খুব কাছাকাছি থাকে তবে আমরা চারপাশে করি যাতে আমরা একটি 0 কে মেরে যদি এবং বিভিন্ন সমাধানের কাছাকাছি থাকে, তবে , আমরা চারপাশে দিয়ে থাকি যাতে আমরা একটি 1 মেরে এবং যদিx n r 1 r 2 r 1 + r 2 Mod 3 n r 1 r $x$$n$$r_1$$r_2$$r_1+r_2\bmod 3$$n$$r_1$$r_2$r 1 r 2 r 1 < r 2 r 1 > r $r_1$$r_2$$r_1<r_2$$r_1>r_2$ , আমরা চারপাশে করি যাতে আমরা একটি ২ টি হত্যা করি This এইভাবে যদি কেবলমাত্র একটি সমাধান থাকে তবে আমরা ঠিক 0 টি মেরে থাকি, যখন দুটি সমাধান থাকে তবে আমরা দুটি 0 এর এবং একটি 1 এবং একটি 2 হত্যা করি।

এই যুক্তিটি 3 টি সমাধানে বাড়ানো যাবে না, তবে এটি 4 এর জন্য হতে পারে এবং এখান থেকে আমি খুব স্কেচি হয়ে যাব। চারটি এলোমেলো স্ট্রিং, এবং আউটপুট যতক্ষণ না সমাধানের কাছাকাছি না থাকে। আবার ধরুন যে অতিরিক্ত 0 আছে এবং সমাধানগুলি সর্বদা দূরে। যদি সমস্ত গুলি একই সমাধানের কাছাকাছি থাকে তবে আমরা 0 টি মেরে যদি তিনটি একই সমাধানের সাথে চতুর্থ এর কাছাকাছি যে সমাধানটির চেয়ে ছোট হয় তবে আমরা করি প্রায় 1. মেরে ফেলতে 1 যদি তিনটি একই সমাধানের সাথে চতুর্থ সমাধানের চেয়ে বড় হয় তবেr 1 , r 2 , r 3 , r 4 r 1 + r 2 + r 3 + r 4 mod 3 r i r i r i r i r i r $r_1,r_2,r_3,r_4$$r_1+r_2+r_3+r_4 \bmod 3$$r_i$$r_i$$r_i$$r_i$$r_i$পাসে, আমরা কাছাকাছি একটি 2. হত্যা করার সব যদি বেহালা এর একটি ভিন্ন সমাধান কাছাকাছি, আমরা তিনটি 0 এর বধ। এক এবং দুটি সমাধানের নির্ভুলতা পূর্ববর্তী কেসের মতো। চারটি সমাধানের জন্য, লক্ষ্য করুন যে আমরা চারটি + তিনটি 0, ছয়টি 1 এবং ছয় 2 গুলি হত্যা করি।$r_i$

আমি মনে করি যে শেষ অনুচ্ছেদের যুক্তিটি কোনও বীজগণিতের সাথে 3 দ্বারা বিভাজ্য নয় এমন কোনও সমাধানের সীমিত সংখ্যায় বাড়ানো যেতে পারে। আরও আকর্ষণীয় প্রশ্ন হ'ল এমন কোনও প্রোটোকল রয়েছে যা কোনও কোনও সমাধানের জন্য কাজ করে।