বিভিন্ন ঘনত্বের ভাষার মধ্যে হ্রাস?

ঘনত্ব একটি ভাষার একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা ধরুন এবং কিছু সসীম বর্ণমালা টিরও বেশি ভাষাতে হয়, অনেক কিছু এক logspace করার হ্রাস , আর নয় । কার্যাবলী হয় polynomially সম্পর্কিত যদি polynomials হয় এবং যেমন যে সব জন্য , এবং $X$ $d_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

d_{X} (n) = | {x \in X ∣ | x | \leq n} | .

$d_X(n) = |\{x\in X \mid |x| \le n\}|.$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

L = DSPACE (\log n)

$\textsf{L} = \text{DSPACE}(\log n)$

f, g : N \to N

$f,g \colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

p

$p$

q

$q$

n \in N

$n\in \mathbb{N}$

f (n) \leq p (g (n))

$f(n) \le p(g(n))$

g (n) \leq q (f (n))

$g(n) \le q(f(n))$ ।

যদি এর ঘনত্ব বহিরাগতভাবে এর ঘনত্বের সাথে সম্পর্কিত না হয় তবে থেকে কোনও লগস্পেস হ্রাস হতে পারে ? $A$ $B$ $B$ $A$

পটভূমি

আমি উত্তরটি হ্যাঁ আশা করি তবে এটি বর্তমানে প্রদর্শন করতে পারে না।

স্পষ্টত, যদি হয় তারপর থেকে কোনো logspace কমানো থেকে । সুতরাং কিছু উদাহরণ রয়েছে যার জন্য একটি নির্দিষ্ট নেতিবাচক উত্তর সরবরাহ করা সম্ভব। $A$ $\mathsf{L}$ $B$ $A$

আমি প্রথম মনে ক্ষেত্রে যেখানে ছিল কিছু হার্ড ভাষা, এবং দোষ ফুঁ দ্বারা প্রাপ্ত হয় গ্রহণ করে , কিছু ফাঁক ভাষার জন্য যা দৈর্ঘ্যের সমস্ত শব্দ কিছু সেট (দেখুন 1985 এবং এছাড়াও রিগান এবং ভোলমার 1997 )। এটি থেকে তুচ্ছ হ্রাসের নিশ্চয়তা দেয় । গ্যাপ ভাষা সাধারণত এর আকারের মধ্যে ফাঁক বাড়িয়ে । এটি এবং এর ঘনত্বগুলি নিশ্চিত করে $B$ $A$ $B$ $A = B\cap G$ $G$ $n \in S_G$ $S_G \subseteq \mathbb{N}$ $A$ $B$ $G$ $S_G$ $A$ $B$ বহুপদীভাবে সম্পর্কিত নয়। যাইহোক, কোনও গ্যারান্টি নেই যে কোনও ভাষায় ছিদ্রগুলি বয়ে যাওয়া সর্বদা এমন ভাষার জন্ম দেয় যা খুব কম কাঠামোর সাথে থেকে হ্রাসের লক্ষ্য হতে পারে । (মেয়াদ গর্ত ফুঁ থেকে ডৌনী এবং Fortnow 2003 ।) ঘনত্বের পার্থক্য এই গ্যারান্টি যথেষ্ট হতে পারে, কিন্তু আমি অবিলম্বে কিভাবে দেখতে পাচ্ছি না। $B$

আরেকটি উদাহরণ হ'ল যখন একটি হার্ড ভাষার এবং মিশ্রণ হয় । প্রথমে একটি গ্যাপি ভাষা কে কিছু ভাষার কে ফাঁক করে একটি ফাঁক ভাষা তৈরি করুন । এর মধ্যে কেবলমাত্র আকারের উদাহরণ থাকবে যা ব্যবধানের ভাষা নির্ধারণের মাপের ব্যবধানের ব্যবধানে থাকে। এখনই তৈরি মিশিয়ে কিছু হার্ড ভাষা সঙ্গে শূন্যস্থান, ইউনিয়ন গ্রহণ করে এবং ছেদ সম্পূরক সঙ্গে । যদি $B$ $A$ $A\not\in\mathsf{L}$ $C \not\in \textsf{L}$ $G$ $A$ $S_G$ $B$ $A$ $D$ $A$ $D$ $G$ $D$ হার্ড যথেষ্ট সাথে তুলনা করা হয় , যেমন হচ্ছে -hard যখন , তারপর স্পেস অনুক্রমের দ্বারা উপপাদ্য সেখান থেকে কোন logspace হ্রাস হতে পারে করতে । এরপরে থেকে কোনও লগস্পেস হ্রাস নেই তা দেখানোর জন্য এটি প্রসারিত করা সম্ভব বলে মনে হচ্ছে । $C$ $D$ $\textsf{2EXPSPACE}$ $C \in \textsf{PSPACE} \setminus \textsf{L}$ $D$ $A$ $B$ $A$

এখনও অবস্থা যেখানে ছেড়ে তুলনায় কঠিন কিন্তু "না অত্যধিক" উদাহরণস্বরূপ নিতে জন্য SAT অ্যান্ড হতে STCON হতে, বা QBF-SAT অ্যান্ড হতে স্যাট যাবে। ফলাফল পেতে, একজনকে STCON / SAT এর জন্য or বা স্যাট / কিউবিএফ-স্যাট এর জন্য ধরে নিতে হতে পারে , তবে তা নয় এই অনুমানগুলি কীভাবে ব্যবহার করবেন তা আমার সাথে সাথে পরিষ্কার হয়ে গেল। $D$ $C$ $D$ $C$ $D$ $C$ $\mathsf{L} \ne \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP} \ne \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory reductions structural-complexity

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

কি

ঘনত্ব কোন ভাষা

এবং

সব স্ট্রিং যার শেষ প্রান্তে 0, ইউনিয়ন সব স্ট্রিং যার শেষ প্রান্তে 1 এবং প্রথম নিয়ে গঠিত

'এ বিট একটি স্ট্রিং?

A

$A$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

B

$B$

n - 1

$n-1$

— ড্যানিয়েলো

আমি মনে করি ড্যানিয়েলোর মন্তব্য প্রশ্নের উত্তর দিয়েছে। সাধারণভাবে, বহু-একক হ্রাস আপনাকে ঘনত্ব সম্পর্কে খুব সামান্যই বলে দেয়, আপনার উভয় দিক থেকে একাধিক হ্রাস থাকলেও। 1-1 হ্রাস, এবং উভয় দিকের 1-1 হ্রাস (বা আরও শক্তিশালী, পি-আইসোমর্ফিজমগুলি) ঘনত্বের মধ্যে সম্পর্ক দেয় (যেমন: বার্মান-হার্টম্যানিস আইসোমরফিজম কনজেকচারটি মহানয়ের উপপাদ্যকে অনুপ্রাণিত করে; বাস্তবে, আমি মনে করি বিএইচ আইসোমর্ফিজম হতে পারে প্রথমে ঘনত্ব দেখার জন্য প্রধান প্রেরণা ...)

— জোশুয়া গ্রাচো

এমন কোনও ভাষা হতে দিন যা না , যেমন এর ঘনত্ব এবং এখানে সংমিশ্রণ হয়। ভাষা ঘনত্ব আছে $A$ $L$ $A$ $2^{o(n)}$

B = {s \circ 1 | s \in {0, 1}^{*}} \cup {s \circ 0 | s \in A} .

$B = \{s \circ 1 | s \in \{0,1\}^*\} \cup \{s \circ 0 | s \in A\}.$

\circ

$\circ$

B

$B$

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$ , যা

অতিপরিবর্তনীয় । অন্যদিকে,

এবং

লগ-স্পেস একে অপরের (কমাতে

থেকে

concatenating দ্বারা

, এবং

থেকে

শেষ হওয়া সব স্ট্রিং কমিয়ে

সব স্ট্রিং থেকে ক্ষুদ্রতম হ্যাঁ উদাহরণস্বরূপ, এবং মুছে ফেলার শেষ প্রান্তে

শেষ হচ্ছে )। সুতরাং

পাশাপাশি।

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

0

$0$

B

$B$

A

$A$

1

$1$

0

$0$

B \notin L

$B \notin L$

— daniello
সূত্র

B \notin L

$B \not\in \textsf{L}$

A

$A$

A

$A$

@ আন্ড্রেস সালামন, মন্তব্যটি ক্যাপচার করার জন্য উত্তরটি সম্পাদনা করে এটিকে নির্দেশ করার জন্য ধন্যবাদ।

— ড্যানিয়েলো