কোলমোগোরভ জটিলতার অদ্বিতীয়তা কি লভেরের ফিক্সড পয়েন্ট উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে?

Question

অনেকগুলি উপপাদ্য এবং "প্যারাডোক্স" - ক্যান্টরের তির্যককরণ, হোলিংয়ের অনস্বীকার্যতা, কোলমোগোরভ জটিলতার অনস্বীকার্যতা, গডেল ইনম্পম্প্লেটনেস, চাইটিন অসম্পূর্ণতা, রাসেলের প্যারাডক্স ইত্যাদির - মূলত তাত্ত্বিকতার দ্বারা একই প্রমাণ রয়েছে (দ্রষ্টব্য যে এটির চেয়ে আরও নির্দিষ্ট সবগুলি তির্যককরণের মাধ্যমে প্রমাণিত হয়; বরং এটি অনুভব করে যে এই সমস্ত তত্ত্বগুলি সত্যই একই তির্যক ব্যবহার করে ; আরও তথ্যের জন্য দেখুন, যেমন, ইয়ানোফস্কি , বা আরও সংক্ষিপ্ত এবং কম আনুষ্ঠানিক অ্যাকাউন্টের জন্য এই প্রশ্নের আমার উত্তর )।

উপরোক্ত প্রশ্নে একটি মন্তব্যে, সাশো নিকোলভ উল্লেখ করেছিলেন যে এর বেশিরভাগই লভেরের ফিক্সড পয়েন্ট থিওরেমের বিশেষ মামলা । যদি সেগুলি সমস্ত বিশেষ ক্ষেত্রে হয় তবে উপরের ধারণাটি ক্যাপচার করার জন্য এটি একটি ভাল উপায় হবে: সত্যিকারের একটি প্রমাণের সাথে একটি ফলাফল হবে (ল্যাভেরের) যা থেকে উপরের সমস্ত প্রত্যক্ষ প্রত্যয় হিসাবে অনুসরণ করেছে।

এখন, গুডেল অসম্পূর্ণতা এবং থামার সমস্যা এবং তাদের বন্ধুদের অনির্বাচিততার জন্য, এটি সুপরিচিত যে তারা লভেরের ফিক্সড পয়েন্ট থিওরেম (দেখুন, যেমন, এখানে , এখানে বা ইয়ানোফস্কি ) থেকে অনুসরণ করে follow অন্তর্নিহিত প্রমাণ যে কোনওভাবে "একই" এই সত্ত্বেও, কোলমোগোরভ জটিলতার অনিশ্চয়তার জন্য কীভাবে এটি করব তা আমি তাত্ক্ষণিকভাবে দেখতে পাচ্ছি না। তাই:

ললভেরের ফিক্সড পয়েন্ট উপপাদ্যের - কোনও অতিরিক্ত তির্যক প্রয়োজন নেই - কোলমোগোরভ জটিলতার অনিশ্চয়তা কি তাত্ক্ষণিকভাবে তাত্পর্যপূর্ণ?

Comments

আমার বলা উচিত যে আমি এই বিষয় সম্পর্কে যা জানতাম তা আমি অন্রেজ বাউরের

— সাশো

@MaxNew: আসুন একটি গণনীয় ফাংশন, কিছু টি এম দ্বারা নির্ণিত হতে এম । যাক এম ট নিম্নলিখিত টি এম হতে: খালি ইনপুটের, এটা না হওয়া পর্যন্ত একটি খুঁজে বের করে একটি সময়ে স্ট্রিং এক মাধ্যমে চালু শুরু এক্স সঙ্গে চ ( এক্স ) ≥ | এক্স | > কে এবং আউটপুট এক্স । নোট করুন | এম কে | ≤ লগ ইন করুন 2 ( ট ) + + গ কিছু গ শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে | এম | । তারপরে যে কোনও কে এর জন্য$f$$M$$M_k$$x$$f(x) \geq |x| > k$$x$$|M_k| \leq \log_2(k) + c$$c$$|M|$$k$(যে কোন ভালোই বড় ট করতে হবে), নয়তো এমন নেই এক্স (যে ক্ষেত্রে চ ≠ সি বা) এম ট কিছু আউটপুট এক্স যেমন যে চ ( এক্স ) ≥ | এক্স | > ট (নির্মাণ দ্বারা), কিন্তু এটা সত্য যে এম ট আউটপুট এক্স যে বোঝা সি ( এক্স ) ≤ | এম কে | < কে , তাই$k > |M_k|$$k$$x$$f \neq C$$M_k$$x$$f(x) \geq |x| > k$$M_k$$x$$C(x) \leq |M_k| < k$ । $f(x) \neq C(x)$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ নিল ইউইং: অনুরূপ, তবে তারা আমার প্রশ্নের পুরোপুরি উত্তর দেয় না। থামার সমস্যা থেকে হ্রাস হোল্ডকে অসম্পৃক্ততার "উত্স" হতে এবং তারপরে হ্রাস ব্যবহার করে। তবে (উদাহরণস্বরূপ) উপরের মন্তব্যে আমি যে প্রমাণ দিয়েছি সেগুলি প্রমাণ করে যে আপনি কে-জটিলতাটিকে "অসম্পূর্ণযোগ্যতার উত্স" হিসাবেও নিতে পারেন, তবে এইচএএলটি-র সাথে এর খুব অনুরূপ প্রমাণ দ্বারা। অনুরূপ প্রমাণ আসলে হতে দেখানো যেতে পারে একই কিছু প্রযুক্তিগত অর্থে? ( এক্ষেত্রে , তারা লভেরের উপপাদ্যগুলির সমস্ত উদাহরণ যা দেখিয়ে আমি আমার কাছে বিভিন্ন ধরণের হ্রাসের চেয়ে শক্তিশালী বলে মনে করি)) আমি আসলে এটিই করছি।

— জোশুয়া গ্রাচো

@ নিল ইউইং: হ্যাঁ, এটি রজারের নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করে। তবে আপনি যদি এটি কেবলমাত্র রজারের উপপাদ্য হিসাবে মনে করেন তবে আপনি বিষয়টিটি হারিয়ে যাবেন; মুল বক্তব্যটি হ'ল লভেরেজ রজারের বাইরেও অনেকগুলি ভিন্ন প্রমাণের প্রমাণ কৌশল ক্যাপচার করার পক্ষে যথেষ্ট সাধারণ। প্রশ্নের সাথে যুক্ত ইয়োনোফস্কি কাগজটি লভেরের উপপাদ্যটি "শ্রেণি-মুক্ত" প্রকাশের উদ্দেশ্যে করা হয়েছে, এমন লোকেদের জন্য বন্ধুত্বপূর্ণ যারা লভেরের বিভাগের তত্ত্বটি ভয়ঙ্কর হতে পারে।

— জোশুয়া গ্রাচো

এছাড়াও দেখুন cstheory.stackexchange.com/a/2830

— আন্দ্রে সালামন

Answer 1

সম্পাদনা: রজারের নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্যটি ল্যাভেরের বিশেষ কোনও ক্ষেত্রে নাও হতে পারে সে সাবধানতা যুক্ত করা।

এখানে একটি প্রমাণ যা "কাছাকাছি" হতে পারে ... এটি লভেরের উপপাদ্যের পরিবর্তে রজারের নির্দিষ্ট পয়েন্ট উপপাদ্যটি ব্যবহার করে। (আরও আলোচনার জন্য নীচের মন্তব্য বিভাগ দেখুন।)

যাক এর স্ট্রিং Kolmogorov জটিলতা হতে এক্স । $K(x)$$x$

থিম । গণনাযোগ্য নয়$K$ ।

প্রুফ ।

1. ধরুন যে দ্বন্দ্বের জন্য গণনাযোগ্য।$K$

2. নির্ধারণ কোনো টুরিং মেশিন ন্যূনতম এনকোডিং দৈর্ঘ্য হতে এম সঙ্গে এল ( এম ) = { x এর } । $K'(x)$$M$$L(M) = \{x\}$

3. একটি ধ্রুবক বিদ্যমান যেমন যে | কে ( এক্স ) - কে ′ ( এক্স ) | সমস্ত স্ট্রিং x ≤ সি ।$c$$|K(x) - K'(x)|\le c$$x$

4. ফাংশন নির্ধারণ যেমন যে চ ( ⟨ এম ⟩ ) = ⟨ এম ' ⟩ যেখানে এল ( এম ' ) = { x এর } যেমন যে এক্স সর্বনিম্ন স্ট্রিং যেমন যে কে ( এক্স ) > | ⟨ এম ⟩ $f$$f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$$L(M') = \{x\}$$x$ । $K(x) > |\langle M\rangle| + c$

5. যেহেতু গণনাযোগ্য, তাই চ ।$K$$f$

6. দ্বারা রজার এর নির্দিষ্ট বিন্দু উপপাদ্য , অস্তিত্ব আছে একটি টুরিং মেশিন, একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট, যে হয়েছে এম 0 যেমন যে এল ( এম 0 ) = এল ( এম ' 0 ) যেখানে ⟨ এম ' 0 ⟩ = চ ( ⟨ এম 0 ⟩ ) ।$f$$M_0$$L(M_0) = L(M_0')$$\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$

7. 4 লাইনে এর সংজ্ঞা অনুসারে , আমরা L ( M 0 ) = { x } যেমন কে ( এক্স ) > | ⟨ এম 0 ⟩ | + গ ।$f$$L(M_0) = \{x\}$$K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$

8. লাইনস 3 এবং 7 পরোক্ষভাবে । $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$

9. কিন্তু সংজ্ঞা দ্বারা লাইন 2 এ, কে ' ( এক্স ) ≤ | ⟨ এম 0 ⟩ | , লাইন 8 বিপরীতে।$K'$$K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

Comments

আমি যতদূর জানি রজারের নির্দিষ্ট পয়েন্ট উপপাদ্য লভেরের স্থির-পয়েন্ট উপপাদকের উদাহরণ নয়। এটি একটি বৈকল্পিক, যদিও কার্যকর টোপগুলিতে এটি নিম্নরূপ পাঠ করা হয়: যদি একটি বিভাজনযুক্ত উদ্বোধন হয় তবে এ এর স্থির-বিন্দুর সম্পত্তি রয়েছে। (কার্যকর টোপোসের ক্ষেত্রে লভেরের উপপাদ্যটি হ'ল: যদি চ : বি → এ বি একটি অনুপাত হয় তবে এ এর নির্দিষ্ট পয়েন্ট সম্পত্তি থাকে))$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$$A$$f : B \to A^B$$A$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

আমার বেতন গ্রেডের উপরে, @ আন্দ্রেজবাউর - আমি বিভাগের তত্ত্ব জানি না। এটি এবং আপনার উত্তরটি এখানে পড়ার চেষ্টা করেছেন । তবুও পাবে না। তুমি কি আমাকে বলতে পারবেন রজার্স উপপাদ্য জন্য উপরে আপনার মন্তব্যে, কি ফাংশন জন্য গ্রহণ না করেন (টাইপ চ : এন → → একটি এন ), এবং কি একটি ? অথবা সম্ভবত একটি উপযুক্ত টিউটোরিয়াল প্রস্তাব? $f$$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$$A$

— নিল ইয়ং

Math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf- এর 45 এবং 46 স্লাইডগুলি (সুসংবাদটি হ'ল এখন সিন্থেটিক কম্পিউটেবিলিটি নিয়ে একটি বিস্তৃত কাগজ লেখার জন্য আমার একটি সুনির্দিষ্ট পরিকল্পনা এবং একটি সময়সীমা রয়েছে) )।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার