রামসির উপপাদ্যটির বিস্তৃতি: একরঙা তবে বৈচিত্র্যময়

আমার পূর্ববর্তী প্রশ্নটির অনুসরণ হিসাবে , যা সিসিয়ান-চিহ চ্যাং সমাধান করেছিলেন, এখানে রামসির উপপাদ্যটির যথাযথ সাধারণীকরণের জন্য আরও একটি প্রচেষ্টা করা হয়েছে। (আপনার আগের প্রশ্নটি পড়ার দরকার নেই; এই পোস্টটি স্বয়ংসম্পূর্ণ)

পরামিতি: পূর্ণসংখ্যা $1 \ll d \ll k \ll n$ দেওয়া হয়, এবং তারপর $N$ যথেষ্ট পরিমাণে বড় হতে বেছে নেওয়া হয়। পরিভাষা: এ $m$ -সুবসেট হ'ল আকারের একটি উপসেট $m$ ।

দিন $B = \{1,2,...,N\}$ । প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $k$ -subset $S \subset B$ , একটি রঙ নির্ধারণ করুন $f(S) \in \{0,1\}$ ।

সজ্ঞা:

$X \subset B$ হয় একরঙা যদি $f(S) = f(S')$ সবার জন্য $k$ -subsets $S \subset X$ এবং $S' \subset X$ ।
$X \subset B$ হয় বিচিত্র যদি $X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$ যেমন যে $x_i < x_{i+1}$ এবং $x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$ সবার জন্য । $i$

উদাহরণস্বরূপ, যদি , তবে বিবিধ তবে but not নয়। নোট করুন যে বিবিধ সেটগুলির একটি উপসেট অগত্যা বিচিত্র নয়। $d = 10$ $\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$ $\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$

এখন রামসির উপপাদ্য বলছে যে আমরা কীভাবে বেছে নিই না কেন , একটি একরঙা সাবসেট । এবং স্পষ্টতই এটি একটি বিবিধ সাবসেট খুঁজে পাওয়া তুচ্ছ । $f$ $n$ $X \subset B$ $n$ $X \subset B$

প্রশ্ন: সর্বদা বিবিধ এবং একরঙা সাবসেট ? $n$ $X \subset B$

সম্পাদনা: Hsien-Chhh চ্যাং দাবী একটি প্রধান জন্য মিথ্যা যে দেখায় , কিন্তু যৌগিক সম্পর্কে কি ? আমার অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে, এর সঠিক মানগুলি বেছে নেওয়ার ক্ষেত্রে আমার অনেক বেশি স্বাধীনতা থাকবে , যতক্ষণ না আমি এগুলি নির্বিচারে বড় করতে পারি। এগুলি প্রাইমসের ক্ষমতা, মৌলিক সংখ্যার পণ্য বা দাবি সত্য করার জন্য যা প্রয়োজন তা হতে পারে। $d$ $d$ $d \ll k \ll n$

reference-request co.combinatorics ramsey-theory

— জুক্কা সুমেলা
সূত্র

উত্তর:

প্রথমে আমাকে বলতে হবে: এই সমস্যাটি আসলেই আকর্ষণীয় !! এবং এখানে আমি সংক্ষেপে আমার পূর্ববর্তী পদ্ধতির ব্যর্থতা কেন বর্ণনা করেছি , যেমন ভুল উত্তর সম্পর্কে এই মেটা পোস্টে পরামর্শ দেওয়া হয়েছে ।

আমার প্রথম প্রয়াসটি কে-সাবসেটের যোগসূত্রের সাথে সম্পর্কিত একটি রঙিন নির্মাণের চেষ্টা করছিল যা সমস্ত এন-সাবসেটকে অ-একরঙা করে তোলে। লেমা 1 এখনও পাওয়া যায়; তবে লেমা 2 টি ভুল বলে পর্যবেক্ষণ করে যে, যদি কে এবং ডি সম্পর্কিত হয়, তবে পরামর্শ অনুসারে মডিউল ডি -র একটি এন-সাবসেট a a এটির পাল্টা উদাহরণ। $\{1,3,1,3, \ldots\}$
দ্বিতীয় চেষ্টাটি উপপাদ্যের পক্ষে প্রমাণ ছিল; বিচিত্র এবং একরঙা সাবসেটের অনুপাত গণনা করে আমরা আশা করি একরঙা জাতীয় সংখ্যা অ-বিবিধের তুলনায় ছাড়িয়ে যাবে। তবে আমার গণনাগুলিতে এটি একটি ত্রুটি, @ ডমোটরপ দ্বারা পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে: অবিচ্ছিন্ন হওয়ার অনুপাত শূন্যের কাছে পৌঁছাবে না; এটি সম্পর্কে-র দিকে এগোয় , যা চেয়ে পরিষ্কারভাবে বড় । $n$ $n/d$ $R(n,n;k)^{-n}$
তৃতীয়টি প্রথম পদ্ধতিতে ফিরে যায় এবং এটি দেখায় যে একটি উবার-দুর্বল প্যারামিটার সেট ( এবং ) এর জন্য, উপপাদটি মিথ্যা। আমরা অ্যাডেটিভ কম্বিনেটেরিক্সে একটি বিখ্যাত লেমা ব্যবহার করেছি: ইজিজেড-উপপাদ্য। $n > k+d-1$ $d \mid k$

চতুর্থ চেষ্টাটি @ মডার্পের উত্তরের কারণে হয়েছে ; এটি উভয় চতুর এবং অনুপ্রেরণামূলক এবং আমি সমস্ত পরামিতিগুলি মোকাবেলা করার জন্য তার প্রমাণটি সংশোধন করার চেষ্টা করব। তবে এখনও তার পদ্ধতিটি মার্জিত এবং আমি এই সহজ পদ্ধতির সম্পূর্ণ প্রশংসা করি।

বিচিত্র এন-সেটে কমপক্ষে একটি কে-সাবসেট রয়েছে কমপক্ষে "মোড ক্লাসগুলির মধ্যে স্যুইচগুলি" সহ; অবিকল, কে বিচিত্র এন-সেট হতে দিন এবং , যদি একটি স্যুইচ সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে এবং different বিভিন্ন মোড- রয়েছে ক্লাস। জন্য আমাদের কাছে কে -1 সুইচ রয়েছে । $k-1$ $X = x_1,\ldots,x_n$ $S^* = x_1,\ldots,x_k$ $x_i$ $x_{i+1}$ $S^*$

একটি K-উপসেট যাক করা লাল যদি সবচেয়ে K-2 সুইচ এ আছে; অন্যথায় এটি নীল । পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে আমরা ইতিমধ্যে একটি নীল রঙ পেয়েছি, এখন আমরা প্রমাণ করি যে জন্য যে কোনও এন-সেট একটি লাল রয়েছে । যেহেতু , দুই নম্বর আছে একই গেলিক ভাষার-D ক্লাসে এবং ; এবং যেহেতু , সেখানে অন্তত K-2 উপাদান থাকে মধ্যে সঙ্গে বা । এবং আমরা দিয়ে একটি কে-সাবসেট করতে পারি $S$ $S$ $n > k+d+1$ $S$ $X$ $n > d$ $x_i,x_j$ $j-i \leq d-1$ $n > k+d+1$ $x_k$ $X$ $k<i$ $k>j$ $S$ $x_i$ পাশে , যা শুধুমাত্র সবচেয়ে K-2 মাঝে মাঝে পরিবর্তন করা হয়। সুতরাং একটি লাল কে-সাবসেট। $x_j$ $S$

— হিসিয়েন-চিহ চাং 張顯之
সূত্র

আমি চক্রীয় গোষ্ঠীগুলিতে জেনারেলাইজড ইএইচসিতে সাহিত্যের অনুরোধের জন্য এমও-তে একটি প্রশ্ন উত্থাপন করেছি ।

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之之

ধন্যবাদ, এটি জ্ঞানগর্ভ ছিল, কিন্তু আমি নিশ্চিত যদি এটা দেখাতে হবে যে দাবি একটি যৌগিক জন্য মিথ্যা বাড়ানো হতে পারে নই । উদাহরণস্বরূপ, যদি এবং বিজোড় হয়, তবে বিবিধ এমন উপাদান থাকতে পারে যা পর্যায়ক্রমে বা মোড , এবং কোনও সুবসেট শূন্য মোড ?

d

$d$

d = 4

$d = 4$

k

$k$

X

$X$

1

$1$

3

$3$

d

$d$

k

$k$

d

$d$

— Jukka Suomela

আসল সমস্যা সম্পর্কিত: এগুলি সমস্ত ফর্মের বিবৃতি প্রমাণের সাথে সম্পর্কিত "" এমন কোনও বিতর্কিত অ্যালগরিদম নেই যা এই গ্রাফ সমস্যাটিকে অনেকগুলি যোগাযোগের রাউন্ডের চেয়ে কম ক্ষেত্রে সমাধান করে "। রামসি তত্ত্বটি অনেক ক্ষেত্রে সফলভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে; উদাহরণস্বরূপ এখানে 4 বক্তৃতা দেখুন । তবে মাঝেমধ্যে আমার কাছে "নিছক" একরঙা সাবসেটের চেয়ে আরও শক্তিশালী কিছু দরকার। এটি একটি দীর্ঘ গল্প, এবং সবকিছু এই মুহুর্তে বিব্রতকরভাবে অস্পষ্ট, তবে এটি যদি কিছু কংক্রিটের দিকে নিয়ে যায় তবে আমি অবশ্যই এখানে একটি বিশদ ব্যাখ্যা লিখব!

— Jukka Suomela

@ যুক্কা: আপনার ধারণাগুলি ভাগ করে নেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, আমি আশা করি শীঘ্রই আপনি খুব সুন্দর কিছু নিয়ে আসবেন! ক্ষেত্রে যখন ডি সংমিশ্রিত হয়, সেগুলি পরিচালনা করার জন্য আমি কয়েকটি ধারণা পেয়েছিলাম তবে এটি এখনও কিছুটা অগোছালো, আমি এগুলি লেখার আগে আরও কয়েক ঘন্টা চিন্তা করব, যদি ধারণাটি পৃথক না হয়। ..

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之之

@ জুক্কা: আমার প্রমাণের মধ্যে আমি একটি অদ্ভুত ভুল পেয়েছি। লেমো 3-তে, চেয়ে ছোট বলে মনে করা উচিত নয় এভাবে চেয়ে ছোট ? অন্যথায় সমস্ত এর আলাদা হওয়া অসম্ভব । আমি ভুলটি ঠিক করার চেষ্টা করব। তবে বর্তমানে প্রমাণটি নষ্ট হয়েছে ...

k

$k$

| X |

$|X|$

d

$d$

x_{i}

$x_i$

— Hsien-Chhh चांग 張顯之

আমি আপনার প্রশ্নটি ভুল বুঝে থাকতে পারি, তবে তা না হলে আমি মনে করি এটি মিথ্যা। কে-সেটগুলি রঙ করুন যার সদস্যরা সবগুলি লাল রঙ দ্বারা মডিউল ডি, অন্য কে-সেট নীল করে। যদি এন> কেডি হয়, তবে যে কোনও এন-সেটে অবশ্যই একটি কে-সেট থাকতে হবে যার সদস্যরা সমস্ত সম্মিলিত মডুলো ডি এবং এইভাবে লাল। অন্যদিকে, কোনও কে-সেটে যদি বিবিধ এন-সেটের দুটি ধারাবাহিক উপাদান থাকে তবে তা নীল।

— domotorp
সূত্র

এই চালাক! এবং বাস্তবে আমাদের কেবল । আপনার উত্তর প্রায় সব ক্ষেত্রেই দেয় ... এখন একমাত্র সম্ভাবনা , যা খুব বেশি নয়।

n > (k - 1) d

$n > (k-1)d$

n \leq (k - 1) d

$n \leq (k-1)d$

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之之