সুষম সুষম ম্যাট্রিক্স

Question

with এর সাথে প্রতিটি less এর চেয়ে কম থাকে এমন একটি পরিষ্কার -matrix তৈরি করা সম্ভব ?$N \times N$ $0/1$$N^{1.5}$$N^{0.499} \times N^{0.499}$$N^{0.501}$

অথবা সম্ভবত এই জাতীয় সম্পত্তির জন্য একটি সুস্পষ্ট হিটিং সেট তৈরি করা সম্ভব।

এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে এলোমেলোভাবে কাছাকাছি সম্ভাব্যতার সাথে এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের এই সম্পত্তি রয়েছে $1$। এছাড়াও, বিস্তৃত মিশ্রিত লেমমা এই সম্পত্তিটি অর্জন করার জন্য যথেষ্ট নয়।

আমি অনুমান করি যে সিউডোরোডম জেনারেটরগুলি বোকা সংযুক্ত আয়তক্ষেত্রগুলি এখানে সহায়তা করতে পারে তবে তারা ইউনিফর্ম বিতরণের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে এবং আমার এখানে মূলত $B(N^2, N^{-0.5})$ ।

Comments

এটি একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন: যদিও আমি অনুপ্রেরণা সম্পর্কে আগ্রহী।

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ এটি পারস্পরিক তথ্যের পরিমাণগত অ-নিষ্কাশনযোগ্যতা থেকে আসে। আপনি যদি আগ্রহী হন তবে আমি বিশদভাবে বলতে পারি।

— ইলিয়ারাজ

আমি আসলে আপনি যদি ইমেল করতে পারেন ([e-mail]) যদি সেভাবে আরও সহজ হয়।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 1

আপনি যা খুঁজছেন তা দুটি স্বতন্ত্র উত্সের জন্য এক বিট এক্সট্র্যাক্টর: একটি ফাংশন , যেমন, এক্স, ওয়াই ন্যূনতম এনট্রপি 0.499 * এর সাথে এলোমেলো পরিবর্তনশীল are লগ (এন), ই (এক্স, ওয়াই) প্রায় ভারসাম্যযুক্ত।$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

এটি একটি কুখ্যাত হার্ড সমস্যা। আপনি যে প্যারামিটারগুলি চান তার জন্য, আমি বিশ্বাস করি এটি বারোগাইন সমাধান করেছেন। এখানে দেখুন: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

Comments

Bourgain পক্ষপাত দেয় কিছু α > 0 । আমি নিশ্চিত বিশ্লেষণ দিতে পারে α = 1 / 2 । আমি যদি আপনি থাকতাম তবে আমি এটি অধ্যয়ন করতাম এবং পরীক্ষা করতাম। আপনি অনুপ রাও, জিভ ডিভির, আভি উইগডারসন, বা এই সমস্যা নিয়ে কাজ করেছেন এমন অন্য কোনও ব্যক্তিকেও জিজ্ঞাসা করতে পারেন। $p=N^{-\alpha}$$\alpha>0$$\alpha = 1/2$

— ডানা মোশকভিত্জ

@ ইলিয়ারাজ: আপনি (বা যে কেউ) যখন জানতে পারেন যে বোরগাইনের নির্মাণ পছন্দসই ম্যাট্রিক্স দেয় বা না দেয় তবে দয়া করে ভাগ করুন (যদি আপনি কিছু মনে করেন না)!

— Tsuyoshi Ito

এটি একটি খুব আকর্ষণীয় প্রশ্নোত্তর হয়েছে। আমি স্যুইশির অনুরোধটি দ্বিতীয় করব

— সুরেশ ভেঙ্কট

প্রশ্ন এবং উত্তরটি পুনরায় পড়া (এটি কিছুক্ষণ আগে হয়ে গেছে ..), আমি মনে করি যে আমি প্রশ্নকারীর নজরে আসেনি কেবল N ^ {1.5} যা কেবল সম্ভাব্য N 1 1 এর সাথে কিছুটা বের করার সাথে মিলেছে ভারসাম্যহীন বিটের চেয়ে 0 -0.5।। তবুও, আমি মনে করি যে দ্বি-উত্সের এক্সট্রাক্টরগুলির রেফারেন্স সহায়ক। আমি ভাবতে পারি যে অনুরূপ কৌশলগুলি প্রশ্নের সেটিংয়ের জন্য কার্যকর হবে।

— ডানা মোশকভিত্জ

1) যদি কোনও এক্সট্রাক্টর কে প্রায় অভিন্ন বিট আউটপুট দেয়, তবে বিশেষত, আপনি একটি বিট পেতে পারেন যা সম্ভাব্যতা 1/2 ^ k সহ 1 হয়। 2) এটি বেশ অপব্যয়কর এবং এ জাতীয় বিট উত্পন্ন করার জন্য আরও দক্ষ উপায় খুঁজতে আমার কাছে একটি দুর্দান্ত গবেষণা প্রশ্নের মতো মনে হচ্ছে।

— ডানা মোশকভিত্জ

Answer 2

এই উত্তরটি উপরের তার উত্তর ডানার ধারণা ভিত্তিক।

আমি মনে করি আপনি দ্বি-উত্স লসী কনডেন্সার ব্যবহার করে এই জাতীয় ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে পারেন। ফিক্স এবং বলে এন = 2 এন । ধরুন আপনি একটি সুনির্দিষ্ট ফাংশন আছে চ ( এক্স , Y ) যে কোনো দুটি স্বাধীন র্যান্ডম সূত্র লাগে ( এক্স , ওয়াই ) , দৈর্ঘ্য প্রতিটি এন অন্তত এবং থাকার মিনিট-এনট্রপি ট = ঢ ( 1 / 2 - δ ) এবং আউটপুট একটি ক্রম এর এন ' = ঢ /$\delta = 0.001$$N=2^n$$f(x,y)$$(X, Y)$$n$$k = n(1/2 - \delta)$$n' = n/2$বিট যে অন্তত মিনিট-এনট্রপি সঙ্গে একটি বিতরণের -close ট ' = ঢ ( 1 / 2 - 3 δ ) । আমার মনে হয় আপনি মান সম্ভাব্য আর্গুমেন্ট ব্যবহার দেখানোর জন্য করতে পারে একটি র্যান্ডম ফাংশন সন্তুষ্ট এই বৈশিষ্ট্য (অপ্রতিরোধ্য সম্ভাব্যতা সহ) যদি 2 ট > ট ' + + লগ ( 1 / ε ) + + হে ( 1 ) । সম্ভাব্যতার পক্ষে যুক্তিটি হ্রাসহীন কনডেন্সার এবং আরও সাধারণ কন্ডাক্টরের জন্য নিম্নলিখিত কাগজে যেমন ব্যবহার করা হয়েছিল তার সমান হওয়া উচিত:$\epsilon$$k'=n(1/2-3\delta)$$2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

এম ক্যাপাল্বো, ও। রিইনগোল্ড, এস বধন, এ। উইগডারসন। এলোমেলো কন্ডাক্টর এবং ডিগ্রি / 2 বাধা ছাড়িয়ে ধ্রুবক-ডিগ্রি প্রসার

আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা সেট , তাই আমরা ফাংশন যা আমরা প্রয়োজন অস্তিত্ব সম্পর্কে নিশ্চিত হয়। এখন, একটি গড় যুক্তি শো আছে যে এন ' -বিট স্ট্রিং z- র যেমন যে সংখ্যা ( এক্স , Y ) সঙ্গে চ ( এক্স , Y ) = z- র অন্তত হয় 2 1.5 এন । মনে করুন আপনি এই জাতীয় একটি জেড জানেন এবং এটি ঠিক করুন (আপনি যেকোন স্বেচ্ছাসেবী জেড বাছাই করতে পারেন$\epsilon = 2^{-k'}$$n'$$z$$(x,y)$$f(x,y)=z$$2^{1.5 n}$$z$$z$যদি আপনি অতিরিক্ত জানেন তাঁরা আপনার ফাংশন একটি বন্টন যে সম্পূর্ণরূপে সমবন্টন ম্যাপের অভিন্ন করার -close)। এখন আপনার এন্ট্রি চিহ্নিত এন × এন সম্ভাবনার দ্বারা ম্যাট্রিক্স ( এক্স , Y ) এবং করা 1 অবস্থানে ( এক্স , Y ) iff চ ( এক্স , Y ) = z- র । আমাদের জেড পছন্দ করে , এই ম্যাট্রিক্স কমপক্ষে 2 1.5 $O(2^{-n/2})$$N \times N$$(x,y)$$1$$(x,y)$$f(x,y)=z$$z$$2^{1.5n}$ বেশী।

এখন কোনো নেওয়া submatrix দিন এক্স , ওয়াই , বাছাই করা সারি এবং কলাম উপর অভিন্ন ডিস্ট্রিবিউশন হতে যথাক্রমে। এর পছন্দ দ্বারা চ , আমরা জানি যে চ ( এক্স , ওয়াই ) হয় ε মিনিট-এনট্রপি থাকার -close ট ' । অতএব, আমরা যদি সাবম্যাট্রিক্সের অভিন্ন র্যান্ডম এন্ট্রি বেছে নিই, তবে 1 থাকার সম্ভাবনা সর্বাধিক 2 - কে ′ + ϵ ≤ 2 - কে ′ + $2^k \times 2^k$$X, Y$$f$$f(X,Y)$$\epsilon$$k'$$1$$2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$। এর অর্থ এই যে আপনি সবচেয়ে আছে submatrix মধ্যে বেশী, যেমন ইচ্ছা।$2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

অবশ্যই কাঙ্ক্ষিত প্যারামিটারগুলির সাথে একটি স্পষ্টভাবে করা (বিশেষত, প্রায় অনুকূল আউটপুট দৈর্ঘ্য) খুব চ্যালেঞ্জিং কাজ এবং এখনও অবধি এইরকম কোনও ফাংশন জানা নেই।$f$