DLogTime এবং NLogTime এর জন্য সার্কিট জটিলতা চ্যারিটারাইজেশন

এবং হ'ল আমাদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট জটিল দুটি শ্রেণি। (নোট করুন যে লোগারিথমিক টাইম হাইয়ারার্কি সমানএবং এগুলি এর প্রথম দুটি স্তর)। $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{NLogTime}$ $\mathsf{LH}$ $\mathsf{AC}^0$ $\mathsf{LH}$

এই পড়ার পর প্রশ্ন , আমি যদি এই দুটি ক্লাস মধ্যে বিচ্ছেদ পরিচিত হয় দেখতে আগ্রহী হয়ে উঠেছে, এবং এটি আসলে যেহেতু তাদেরকে পৃথক করা সহজ । (রবিন কোঠারি ধন্যবাদ আরও দেখুন পরিচিত $OR(x_1,...,x_n) \in \mathsf{NLogTime}-\mathsf{DLogTime}$ )। এখন আমি তাদের সম্পর্কিত সার্কিট জটিলতার বৈশিষ্ট্য জানতে আগ্রহী। আমি কিছুটা অনুসন্ধান করেছি এবং কয়েক জনকে জিজ্ঞাসা করেছি কিন্তু উত্তরটি খুঁজে পেতে সক্ষম হইনি।

আমাদের কি জটিলতা ক্লাস এবং জটিল সার্কিট জটিলতার বৈশিষ্ট্য রয়েছে ? $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{NLogTime}$

দ্রষ্টব্য: ছোট জটিলতার ক্লাসগুলির জন্য অভিন্নতা সংজ্ঞায়িত করতে অনেক কিছু দেখায়। মনে রাখবেন যে ছোট সময়সীমাবদ্ধ এই মেশিনগুলিকে পুরো ইনপুটটি পড়তে দেয় না, তারা কেবল ইনপুট থেকে বিট পড়তে পারে এবং ক্লাসগুলি এমন কোনও মেশিন ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা কিছুটা ঠিকানা লিখতে পারে এবং সেই বিটটি সরাসরি পড়তে পারে ( অর্থাৎ সেখানে পৌঁছানোর জন্য সমস্ত পূর্ববর্তী বিটগুলি অতিক্রম করার দরকার নেই)। $\mathsf{DLogTime}$ $\lg n$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Kaveh
সূত্র

এটি দুটি ক্লাস পৃথক করা সহজ। NLOGTIME OR ফাংশনটি গণনা করতে পারে, যেখানে DLOGTIME পারে না, কারণ এটি সম্পূর্ণ ইনপুটটি পড়তে পারে না। এই সত্যটি এমন একটি ভাষা তৈরিতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা স্ট্যান্ডার্ড ট্রিকস ব্যবহার করে দুটি পৃথক করে।

— রবিন কোঠারি

@ রবিন: সর্বদা ধন্যবাদ অনেক ধন্যবাদ :) অামি এটি মিস করেছি.

— কাভেহ

। ক্লাসগুলি সম্ভবত বহুতল আকারের ক্লজ / টার্ম / সিএনএফ / ডিএনএফ এর আশেপাশের কিছু।

A l t T i m e (O (1), O (\log n)) = A C^{0}

$\mathsf{AltTime}(O(1),O(\log n)) = \mathsf{AC^0}$

— কাভেহ

আপনি অবশেষে এই প্রশ্নের উত্তর খুঁজে পেয়েছেন? DLOGTIME এর জন্য একটি সার্কিট বৈশিষ্ট্যটির দুটি অংশ থাকবে, যে জাতীয় সার্কিট অনুমোদিত এবং একত্বে শর্ত তাদের উপর চাপিয়ে দেওয়া হবে। আপনি কি এর একটির উত্তর জানেন?

— রবিন কোঠারি

@ রবিন, না, আমি উত্তরটি জানি না, তবে আমার সন্দেহ হয় যে তারা সম্ভবত সুন্দর সার্কিট জটিলতার ক্লাসগুলির সাথে সামঞ্জস্য নয়।

— কাভেহ

-11

আমি মনে করি এটি আরও বেশি আকর্ষণীয় যে সিএস জটিলতা তত্ত্ব দ্বারা ব্যবহৃত সার্কিট জটিলতার ক্লাসগুলি ভিএলএসআই সম্প্রদায়ের তুলনায় বিভিন্ন পূর্বাভাস দেয় এবং বিভিন্ন মেট্রিক ব্যবহার করে। বুলিয়ান ফাংশনগুলির ভিএলএসআই জটিলতা থেকে :

এটি সুপরিচিত যে ভেরিয়েবলের সমস্ত বুলিয়ান ফাংশনগুলি একটি লজিক সার্কিট দ্বারা গেটস (লুপানভের উপপাদ্য) দিয়ে গণনা করা যেতে পারে এবং এন ভেরিয়েবলগুলির বুলিয়ান ফাংশন রয়েছে যার জন্য এই আকারের লজিক সার্কিটের প্রয়োজন হয় (শ্যাননের উপপাদ্য)। আমরা ভিএলএসআই চিপের থম্পসনের মডেলটি ব্যবহার করে, ভিএলএসআই সার্কিটগুলি দ্বারা গণনা করা বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য সংশ্লিষ্ট ফলাফল উপস্থাপন করি। আমরা প্রমাণ করি যে ভেরিয়েবলের সমস্ত বুলিয়ান ফাংশনগুলি অঞ্চল এবং সময়কাল 1 এর ভিএলএসআই সার্কিট দ্বারা গণনা করা যায় , এবং আমরা প্রমাণ করি যে সেখানে বুলিয়ান ফাংশন বিদ্যমান $n$ $O(2^n/n)$ $n$ $O(2^n)$ $n$ ভেরিয়েবল যার জন্য প্রতিটি (উত্তল) ভিএলএসআই চিপের অবশ্যই অঞ্চল থাকতে হবে। $\Omega(2^n)$

মজার বিষয় হল, ভিএলএসআই সার্কিট জটিলতার গভীরতাটিকে "অপ্রাসঙ্গিক" হিসাবে বিবেচনা করার প্রবণতা রয়েছে কারণ এখানে একটি এবং কেবল একটি "গভীরতা" গুরুত্বপূর্ণ: সমালোচনামূলক পথ। বেশিরভাগ ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে, একটি ইচ্ছামত জটিল সার্কিটকে প্রচ্ছন্নতা হিসাবে হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে । $O(1)$ $n$

$DLogTime$ $NLogTime$ $2^n/n$ $\le2$ $area^2$ একটি বাণিজ্যিক ভিএলএসআই স্ট্যান্ডার্ড সেল লাইব্রেরি থেকে 2 ইনপুট ন্যান্ড গেটের আকারে সাধারণকরণ করা হয়েছে:

        2 3 4 <- শালীনতা
এবং 1.14 1.28 1.41
নন্দ 1.00 1.14 1.28
বা 1.14 1.41 1.41
না 1.00 1.14 1.41
xor 1.62 2.44
xnor 1.62 2.44

বুফ 1.14
inv 0.80

aoi22 1.28
aoi222 1.62
aoi33 1.62
oai22 1.41
oai222 1.72
oai33 1.62

addf 2.64

বিশেষ করে, মনে রাখবেন aoi/ oaiগেটস যা হয় And Or Invert/ Or And Invertগঠিত arity মাপের প্রথম ফাংশন দ্বিতীয় ফাংশন, যেখানে সংখ্যা খাওয়ানোর প্রথম ফাংশন দরজা যতবার সমান arity প্রদর্শিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, aoi22"টু 2 ইনপুট এবং একটি উত্তর গেট খাওয়ানো গেটস" উপস্থাপন করে।

আমার বক্তব্যটি: আলাদাভাবে নেওয়া, oai222আন্তঃসংযোগের জন্য ব্যবহৃত কোনও অঞ্চল সহ মোট not 4.56 ডলারের জন্য তিনটি ইনপুট ওআর গেট এবং একটি 3 ইনপুট ন্যান্ড গেট ব্যবহার করে একটি ফাংশন তৈরি করা যেতে পারে। তবুও এই আদিমটি মাত্র 1.72 এর অঞ্চলে উপলব্ধি করা যেতে পারে, যার অর্থ একই বুলিয়ান ফাংশনটির একটি পৃথক প্রকাশটি 2.65 গুণ বেশি এলাকা ব্যয় করে।

$n$ $n\ge2$ $n$

আরও জটিল আদিমদের বংশবিস্তার বৈশিষ্ট্যগুলি পৃথক গেটগুলি ব্যবহার করে কী অর্জন করা হবে তার চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে ভাল।

$\mathcal{P}$ $\mathcal{NP}$

$\mathcal{P} \ne \mathcal{NP}$ $\mathcal{NP}$ $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f$ $2^n/n$ $\mathcal{NP}$ ।

$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $\mathcal{NP}$ $\{0,1\}^n$ $2^n/n$ $n$ $n$ $\mathcal{NP}$ $\mathcal{NP}$ $2^n/n$

ভিএলএসআই বাস্তবায়নের জটিলতার উপর এবং পূর্ণসংখ্যায় প্রয়োগের সাথে বুলিয়ান ফাংশনগুলির গ্রাফের প্রতিনিধিত্বগুলি প্রমাণ করে যে কোনও ওবিডিডি মডেল ব্যবহার করে সার্কিট জটিলতার পূর্বাভাস দেয় প্রকৃত সার্কিট জটিলতা:

$AT^2 = \Omega (n^2)$ $\Omega(c^n)$ $c<1$ $AT^2 = O(n^{1+c})$

$n$ $2n-1$ $i-1$ $2n-i-1$ $1\le i\le n$ $AT^2 = \Omega(i^2)$ $\Omega(1.09^i)$

— johne
সূত্র

-1: আমি দেখতে পাচ্ছি না এটি ওপি-র প্রশ্নের সাথে কীভাবে প্রাসঙ্গিক।

— রবিন কোঠারি

শ্যানন এবং কুক সম্পর্কে আপনার বিট কোনও অর্থবোধ করে না বলে মনে হচ্ছে। শ্যানন দেখিয়েছিল যে "বেশিরভাগ" ফাংশনের জন্য তাত্পর্যপূর্ণভাবে বড় সার্কিটের প্রয়োজন হয়। আমরা কীভাবে এই উপসংহারে পৌঁছতে পারি যে কোনও এনপি সমস্যার জন্য কেবল একটি রৈখিক আকারের পরিবার প্রয়োজন? এবং আপনি বুঝতে পেরেছেন যে আমরা সার্কিটের পরিবারগুলির সম্পর্কে কথা বলছি, তাই না?

— মার্ক রিটবল্যাট

জন: এটি কেবলমাত্র সিএস সম্প্রদায়ের সাথে ভিএলএসআই সম্প্রদায় সম্পর্কে অনুদান হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে তার পক্ষে উপযুক্ত ফোরাম নয়।

— সুরেশ ভেঙ্কট