এলপিগুলির সর্বনিম্ন সর্বাধিক সমাধান

লিনিয়ার প্রোগ্রামিং অবশ্যই আজকাল খুব ভাল বোঝা গেছে। আমাদের প্রচুর কাজ রয়েছে যা সম্ভাব্য সমাধানগুলির কাঠামো এবং সর্বোত্তম সমাধানগুলির কাঠামোকে চিহ্নিত করে। আমাদের দৃ strong় দ্বৈততা, বহু-কালীন অ্যালগরিদম ইত্যাদি রয়েছে

তবে এলপিগুলির ন্যূনতম সর্বাধিক সমাধান সম্পর্কে কী জানা যায় ? বা, সমতুল্য, সর্বাধিক ন্যূনতম সমাধান?

(এটি আসলে কোনও গবেষণামূলক প্রশ্ন নয়, তবে সম্ভবত ছুটির দিনে আমাদের কিছু কম প্রযুক্তিগত থাকতে পারে I'm আমি কেবল কৌতূহলী হয়েছি এবং কিছুটা গুগল করার পরে আমি অনুভূতি পেয়েছিলাম যে আমি অবশ্যই সঠিক কীওয়ার্ডগুলি অনুপস্থিত। এটি একটি স্পষ্ট মনে হয়েছে অধ্যয়ন করতে সমস্যা, তবে আমি কেবল কিছু ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকা কাগজপত্র পেয়েছি যা সমস্যার উল্লেখ করেছে)

জিনিসগুলি সহজ রাখতে, আসুন এলপিকে প্যাকিং এবং আচ্ছাদন করার দিকে নজর দিন । একটি প্যাকিং এলপিতে আমাদের একটি অ-নেতিবাচক ম্যাট্রিক্স । একটি ভেক্টর হয় সম্ভবপর যদি এবং । আমরা যে হয় সর্বোচ্চ যদি এটা সম্ভবপর এবং আমরা সাগ্রহে কোন উপাদান বৃদ্ধি করতে পারবে না। অর্থাৎ, যদি এবং , তবে সম্ভাব্য নয়। এবং পরিশেষে, একটি হয় $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ সর্বনিম্ন সর্বাধিক সমাধান, যদি এটি সর্বাধিক সমাধানের মধ্যে উদ্দেশ্য ফাংশন হ্রাস করে । $\sum_i x_i$

(আপনি একটি আচ্ছাদন এলপির সর্বাধিক ন্যূনতম সমাধানটি সাদৃশ্যপূর্ণভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারেন ))

সর্বনিম্ন সর্বাধিক সমাধানগুলির স্থানটি দেখতে কেমন? কীভাবে আমরা এরকম সমাধান খুঁজে পাব? এই জাতীয় সমাধানগুলি খুঁজে পাওয়া কতটা কঠিন? আমরা কীভাবে এ জাতীয় সমাধানগুলি আনুমানিক করতে পারি? কে এই জাতীয় বিষয়গুলি অধ্যয়ন করে এবং এর জন্য সঠিক শব্দটি কী?

এই প্রশ্নগুলি মূলত প্রান্তীয় প্রভাবশালী সেট এবং সর্বনিম্ন সর্বাধিক ম্যাচিং দ্বারা প্রেরণা পেয়েছিল । এটি সর্বজনবিদিত (এবং দেখতে মোটামুটি সহজ) যে সর্বনিম্ন সর্বোচ্চ সর্বাধিক মিলটি একটি ন্যূনতম প্রান্তের আধিপত্য বিস্তারকারী সেট; বিপরীতভাবে, একটি সর্বনিম্ন প্রান্তকে প্রাধান্য দেওয়া সেট দেওয়া, সর্বনিম্ন সর্বাধিক মিলটি তৈরি করা সহজ।

সুতরাং তারা, সংক্ষেপে, একই সমস্যা। উভয় সমস্যা হ'ল এনপি-হার্ড এবং এপিএক্স-হার্ড। একটি তুচ্ছ 2-আনুমানিক অ্যালগরিদম রয়েছে: যে কোনও সর্বাধিক মিল।

তবে, তাদের "প্রাকৃতিক" এলপি শিথিলিগুলি খুব আলাদা দেখাচ্ছে look আপনি যদি প্রান্তের উপর নির্ভরশীল সেট সমস্যাটি গ্রহণ করেন এবং প্রাকৃতিক এলপি শিথিলতা তৈরি করেন তবে আপনি একটি আচ্ছাদন এলপি পাবেন। তবে, আপনি যদি সর্বনিম্ন সর্বাধিক মিলের সন্ধান করার সমস্যাটি গ্রহণ করেন এবং এলপি শিথিল করার চেষ্টা করেন, তবে আপনি কী পাবেন? ঠিক আছে, অবশ্যই ভগ্নাংশের মিলগুলি একটি প্যাকিং এলপির সম্ভাব্য সমাধান; তারপরে সর্বাধিক ভগ্নাংশের মিলগুলি হ'ল এই জাতীয় এলপিগুলির সর্বাধিক সমাধান এবং ন্যূনতম সর্বাধিক ভগ্নাংশের মিলগুলি এই জাতীয় এলপিগুলির ন্যূনতম সর্বাধিক সমাধান। :)

— জুক্কা সুমেলা
সূত্র

"আমরা লোভের সাথে কোনও উপাদান বাড়িয়ে তুলতে পারি না" হিসাবে আপনার সর্বাধিক সংজ্ঞা অনেকটা ন্যাশ ভারসাম্যের মতো শোনাচ্ছে। গেম তত্ত্বের সাথে এখানে কি কোনও গোপন সংযোগ রয়েছে?

— ডেরিক স্টোলি

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

A x = 1

$Ax = 1$

আপনি কি অলস রৈখিক লিনিয়ার প্রোগ্রামগুলির সাথে পরিচিত , যাতে মিনিম্যাক্স দিকটি সমস্ত উদ্দেশ্যমূলক কার্যক্রমে রয়েছে?

— মাইক স্পাইভে

সর্বাধিক এবং ন্যূনতমতা: এগুলি পেরেটো অনুকূলতার ধরণের।
জটিলতা: আমি মনে করি ন্যূনতমতম সর্বাধিক সমাধান সন্ধান করা এনপি-হার্ড। আমি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে স্বাধীনতা আধিপত্য সমস্যা (ওরফ ন্যূনতম সর্বাধিক স্বাধীন সেট সমস্যা) হ্রাস করব। এই সমস্যাটি (আরও সুনির্দিষ্টভাবে তার সিদ্ধান্ত সংস্করণ) এনপি-সম্পূর্ণ (ডিজি কর্নিল এবং ওয়াই পার্ল, নিখুঁত গ্রাফগুলিতে ক্লাস্টারিং এবং আধিপত্য হিসাবে পরিচিত Disc ডিসকাউন্ট প্রয়োগিত গণিত 9 (1984) 27-39)। যেহেতু দ্বিপক্ষীয় গ্রাফটি নিখুঁত, এর স্বতন্ত্র সেট পলিটোপটি চক্রের বৈষম্য দ্বারা নির্ধারিত হয়, এবং দ্বিদলীয় গ্রাফে চক্রের সংখ্যা বহুবর্ষীয়। অতএব, আমরা স্বতন্ত্র সেট পলিটপের জন্য অক্ষ </ 1, x> = 0 রৈখিক অসমতার একটি ব্যবস্থা স্পষ্টভাবে লিখতে পারি। চূড়ান্ত সমাধানগুলি স্বাধীন সেটগুলির সাথে সামঞ্জস্য করে, এবং চূড়ান্ত সর্বাধিক সমাধান সর্বাধিক স্বাধীন সেটগুলির সাথে সমান।

— ইয়োশিও ওকামোটো
সূত্র

$P$ $A(P)$ $P$

$STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

$P$ $A(P)$

দুঃখজনকভাবে এই জিনিসটির স্বচ্ছ ব্যাখ্যা খুঁজে পেতে আমার বেশ কষ্ট হয়েছে, তবে আমি পলিহেডারের কোনও বিশেষজ্ঞই হইনি। আশা করি আপনি এটি সমস্যার সাথে সম্পর্কিত হয়ে উঠবেন।

— অ্যান্ড্রু ডি কিং
সূত্র