রাজবোরভের আনুমানিক পদ্ধতির পদ্ধতির উচ্চ-স্তরের ওভারভিউ

Question

রাজবোরভের আনুমানিক পদ্ধতি কী? কেউ কি এর পিছনে একটি উচ্চ স্তরের ওভারভিউ এবং অন্তর্দৃষ্টি দিতে পারে?

Comments

আপনি যদি এই বিষয়ে একটি বক্তৃতা দেখতে চান, টিম গাওয়ার্স তার জটিলতা তত্ত্বের বক্তৃতাগুলিতে এটি কভার করেছেন: sms.cam.ac.uk/collection/545358

— রবিন কোঠারি

Answer 1

যাক উপর একটি বুলিয়ান ফাংশন হবে -bits। Let । যাক এন বিট উপর এবং আকার সার্কিট হতে ও দরজা । সর্বশেষ গেট হিসাবে সাথে দ্বারা গণনা করা বিটগুলিতে ফাংশনটিও বোঝায় । প্রথম দরজা ইনপুট জন্য হয় । লক্ষ্য যে দেখানোর জন্য আকারের পারবনা কম্পিউট । থেকে প্রাপ্ত ইনপুটগুলিতে সমস্ত গণনা বিবেচনা করুন$f$$n$$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$$C$$m$$g_1, \ldots, g_m$$g_i$$n$$g_i$$n$$x_1, \ldots, x_n$$C$$m$$f$$C$$Z$। একটি গণনা গেটের আউটপুটগুলিকে মান নির্ধারণ করে। যাক এর বুলিয়ান বীজগণিত হতে ।$B$$P(Z)$

ধারণা কোনো ফাংশন জন্য বিবেচনা করা হয় উপর -bits কত ভাল এটা পরিমাপক উপর । যাক ।$g$$n$$f$$Z$$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$

একটি আল্ট্রাফিল্টার আমরা এর থেকে দ্বারা একটি নতুন গণনা সংজ্ঞায়িত করতে পারি: iff । কারণ একটি আল্ট্রাফিল্টার মূলত 0 টি মানগুলির জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ গণনার একটি সেট, ফলে একটি বৈধ গণনা comp এটি । আমরা বিদ্যমানগুলি থেকে একটি নতুন গণনা তৈরি করেছি। যেহেতু সীমাবদ্ধ সেটগুলিতে সমস্ত মূল । কোন বর্তনী জন্য এই কাজ, আমরা যে সার্কিট আকারের হয় শোষিত নি ।$F \subseteq B$$c(g_i) = 0$$||g_i|| \not\in F$$c$$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$$c_1,\ldots,c_n \in Z$$m$

পরবর্তী ধারণাটি এখন এবং বাইরে একটি নতুন ইনপুট নির্মাণের জন্য সার্কিটের সুনির্দিষ্টতাটি কাজে লাগাতে হবে তবে সার্কিটটি তার সীমিত আকারের কারণে লক্ষ্য করা যায় না এবং তাই এখনও ফলাফল আউটপুট হয় 0 গণনা ।$Z$$f(w) \neq 0$$f$

আমাদের আল্ট্রাফিল্টার সংজ্ঞা শিথিল করতে হবে যাতে আমরা বাইরে একটি ইনপুট পেতে পারি । Ultrafilters স্থানে আমরা উর্ধ্বগামী-বদ্ধ এর সাব-সেট নির্বাচন ব্যবহার ( এবং বোঝা যে সংরক্ষণ পূরণ করে () বোঝা )।$Z$$B$$a \in F$$a \subseteq b$$b \in F$$a,b \in F$$a \cap b \in F$

যাক । হ'ল সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ইনপুটগুলির সেট । তাহলে প্রধান (হয় বোঝা বা ) এবং nonfull ( প্রত্যেকের জন্য) তাহলে , পারেন রয়েছে বাএবং -এ কেবল একটি একক ইনপুট থাকে।$W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$$W_F$$F$$F$$a \cup b \in F$$a \in F$$b \in F$$\emptyset \not\in F$$i$$F$$||x_i||$$||\lnot x_i||$$W_F$

আমরা মিলন সংরক্ষণ শিথিল করতে যাচ্ছি। বুলিয়ান বীজগণিতের সমস্ত মিলনের জায়গায় আমরা তাদের একটি সংখ্যক সংরক্ষণ করব। যাকহতে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা এর পূরণ করে যেমন যে সব উর্ধ্বগামী-বন্ধ জন্য, nonfull, -preserving , ।$|f|$$k$$M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$$M$$F$$W_F \subseteq Z$

যাক সার্কিট জটিলতা হতে । রাজবরোভ প্রমাণ করেছেন যে ।$m$$f$$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$

নোট করুন যে এই অসমতা সমস্ত ফাংশনের জন্য ধারণ করে। সার্কিট সাইজের লোয়ার বাউন্ড প্রমাণ করতে সমস্ত মিট জন্য এমন একটি যা শর্ত পূরণ করে তবে তার মধ্যে থাকে না । তবুও যে কোনও শক্তিশালী সার্কিট নিম্ন সীমাটি দ্বিতীয় বৈষম্যের কারণে এই পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে।$m$$m$$M$$F$$W_F$$Z$

সার্কিট লোয়ার বাউন্ড প্রুফের আসল অংশটি দেখানো হয় যে প্রদত্ত জন্য, কোনও মিটের জন্য এ জাতীয় একটি । একঘেয়েমি সার্কিট সম্পর্কে অবস্থার যদি সহজসাধ্য করার তাই নিয়ে আসছে সহজ।$m$$m$$F$$W_F$$w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$$F$

আলেকজান্ডার রাজবরোভ, আনুমানিক পদ্ধতিতে অনুমান, 1989. পিডিএফ

সার্কিট আকারের জন্য 1995, নিম্ন সীমানা প্রমাণ করার জন্য, মরিসিও কারচমার।

টিম গাওয়ার্স, রাজবোরভের আনুমানিক পদ্ধতি, ২০০৯. পিডিএফ

Comments

কি? এটা কি ? $|f|$$k$

— এমিল জেবেক

Answer 2

দাবি অস্বীকার: এটি কেবলমাত্র একটি উচ্চ-স্তরের ওভারভিউ যা ব্লামের সাম্প্রতিক কাগজে ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলিকে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি দেওয়ার উদ্দেশ্যে।

আমি উল্লিখিত কাগজে যা ব্যবহার করা হয় তার কাছাকাছি চিহ্নিতকরণ ব্যবহার করার চেষ্টা করব।

যাক একটি বুলিয়ান ফাংশন হবে উপর ভেরিয়েবল । মনে করুন আমরা প্রমাণ করতে চাই যে কোনও বুলিয়ান নেটওয়ার্ক কম্পিউটিং এর আকার রয়েছে।$f$$n$$x_1,\dots,x_n$$f$

কিছু বুলিয়ান নেটওয়ার্কের দেওয়া কম্পিউটিং তার আউটপুট নোড এ, নিম্নলিখিত প্রক্রিয়া বিবেচনা।$\beta$$f$

1. কিছু টপোলজিকাল অর্ডার অনুযায়ী গেটগুলি অর্ডার করুন যেখানে শেষ নোড আউটপুট নোড।$\beta$$g_1,g_2,\dots,g_m$
2. প্রতিটি সময় পদক্ষেপ জন্য আমরা হবে আনুমানিক ফাংশন গেটে নির্ণিত একটি "সহজ" ফাংশন দ্বারা । এই নোডে গণনা করা ফাংশনগুলিকে পরিবর্তন করতে পারে (বিশেষত, আউটপুট নোড এ ফাংশন পরিবর্তিত হতে পারে)।$t=1,\dots,m$$g_t$$f_{g_t}$$g_t$$g_m$

এই প্রক্রিয়া শেষে, আমরা ফাংশন নির্ণিত আনুমানিক হবে একটি সহজ ফাংশন দ্বারা ।$g_m$$f_{g_m}$

এরপরে টেস্ট ইনপুটগুলির একটি গোষ্ঠী তৈরি করুন ।$T\subseteq \{0,1\}^n$

মনে করুন আমরা নিম্নলিখিত বিবৃতি প্রমাণ করতে পারি:

• প্রতিটি পৃথক নোডের আনুমানিকতা ভাল (যেমন, প্রতিটি আনুমানিক পদক্ষেপে থেকে ইনপুটগুলিতে সর্বাধিক ভুলগুলি প্রবর্তন করা হয় )।$e$$T$
• কোন সহজ ফাংশন পরিমাপক ভাল (অর্থাত, কোন সহজ ফাংশন জন্য , আমরা একটি চেয়ে আরো বিষয়ে এর -fraction )।$f$$f_{g_m}$$f_{g_m}\neq f$$d$$T$

তারপরে কেবল ত্রুটির সংখ্যা গণনা করে আমরা পাই যে অবশ্যই কমপক্ষে gates থাকতে হবে।$\beta$$\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$

যদি এই আনুমানিক স্কীমটি কোনও নেটওয়ার্কের জন্য কাজ করতে দেখানো যায় ফাংশনটি গণনা করছে , তবে আমরা এর সার্কিট জটিলতার জন্য একটি নিম্ন সীমানায় ।$\beta$$f$$f$

Comments

আমি মনে করি না যে এটি প্রশ্নের উত্তর দেয়, প্রশ্নটি সেই খসড়াটির বিষয়ে কিছু জিজ্ঞাসা করে না।

— কাভেহ

পছন্দ করুন প্রশ্নটির সময়কালের কারণে আমি ভুলভাবে অনুমান করেছি যে এটি কাগজের সাথে সম্পর্কিত এই কৌশল সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিল।

— alw