বাইনারি গুণণের সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ বিট সিদ্ধান্ত নেওয়া

আমি নিম্নলিখিত সিদ্ধান্ত সমস্যার জটিলতা নির্ধারণ করতে আগ্রহী: দুটি পূর্ণসংখ্যা এবং (প্রতিটি সর্বাধিক মিটার বিট সহ প্রতিটি) দেওয়া, স্থির করুন 2 এর সর্বাধিক উল্লেখযোগ্য বিট 1 (যেখানে ফলাফলটি মুদ্রিত হয়েছে) সম্ভবত 0 টির সাথে 2 মি বিট)? $l_1$ $l_2$ $l_1 \cdot l_2$

সমস্যার কিছু পটভূমি: স্পষ্টতই, এই সমস্যাটি বাইনারি একটি বিশেষ ঘটনা যা জিজ্ঞাসা করে যে -th বিট হয় কিনা তাদের কাগজে, বিভাগ এবং পুনরাবৃত্ত জন্য অভিন্ন ধ্রুবক-গভীরতার প্রান্তিক সার্কিট , হেসি, অ্যালেন্ডার এবং ব্যারিংটন প্রমাণ করেছেন যে পুনরাবৃত্ত (এবং এইভাবে বাইনারি) - অভিন্ন । তদুপরি, এটি সুপরিচিত বলে মনে হচ্ছে যে বাইনারি গুণটি ইতিমধ্যে - অভিন্ন $i$ $l_1 \cdot l_2$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ -hard। যাইহোক, আমি এই কঠোরতার ফলাফলটি প্রমাণ করে কোনও নির্দিষ্ট উত্স খুঁজে পেতে সক্ষম হইনি। সার্কিট জটিলতায় অ-বিশেষজ্ঞ হিসাবে, আমি এই সাধারণ কঠোরতার ফলাফলের জন্য একটি পয়েন্টারকেও প্রশংসা করব। অবশেষে, যে বাইনারি গুণ অভিমানী হয় - অভিন্ন আছে এটা থাকা: -hard, আমার প্রশ্ন এছাড়াও পড়া যায় যেমন - অভিন্ন -hard যদি আমরা কেবল বাইনারি গুণনের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য বিট স্থির করতে চাই? $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$

আপডেট: কাভের জবাব বাইনারি গুণকে কেন হার্ট (COUNT থেকে হ্রাস) বলে স্পষ্ট করে । বাইনারি গুণনের সর্বাধিক উল্লেখযোগ্য বিট সিদ্ধান্ত নেওয়ার সুনির্দিষ্ট জটিলতা উন্মুক্ত রয়ে গেছে (এবং অনুগ্রহটি এই প্রশ্নের জন্য)। $\mathsf{TC}^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— হেই হেই হেই
সূত্র

বর্ণনামূলক জটিলতার বইয়ের আইর্কে একটি প্রমাণ রয়েছে। আপনি সর্বাধিক তাৎপর্যপূর্ণ বিট এক হওয়ার অর্থ কী তা নিশ্চিত নন, এটি সর্বদা সংজ্ঞা অনুসারে এক হয়।

— কাভেহ

এটি আপনার শিক্ষকের একটি রসিকতা: বিটগুলি 0 বা 1 হয় এবং সর্বাধিক উল্লেখযোগ্য বিটটি হয় উচ্চ পদে অ -0 বিট। এটি সংজ্ঞা অনুসারে 1 সমান (যদি না

এবং

ফ্যাক্টরের একটি শূন্য হয়)।

l_{1}

$l_1$

l_{2}

$l_2$

— গামো

@ কাভাহ রেফারেন্সের জন্য ধন্যবাদ: আমি এটি পরীক্ষা করে দেখব। সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য বিট সংক্রান্ত বিভ্রান্তির জন্য দুঃখিত। আমি স্পষ্টতই ধরে নিচ্ছি যে ফলাফলটি 2 মি -1 বিটগুলিতে মুদ্রিত হয়েছে এবং প্রয়োজনে নেতৃস্থানীয় 0 এর সাথে মুদ্রিত হয়েছে।

— আরেহেহে

@ কাভেঃ বর্ণনামূলক জটিল বইতে কেবল উপরের সীমাটি উল্লেখ করা হয়েছে। যদিও বাইনারি গুণনের কঠোরতা সম্পর্কে আমি কিছু খুঁজে পাইনি।

— আরেহেহে

আপনি লিখুন: "তাছাড়া, এটা সুপরিচিত যে বাইনারি গুণ আগে থেকেই মনে করা হয়

- অভিন্ন

। -Hard" কেন এমন মনে হচ্ছে? আমি জানি যে বাইনারি গুণটি

এবং আমি বর্তমানে এটিই যত্নশীল।

D L o g T i m e

$\mathsf{DLogTime}$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— থমাস ক্লিম্পেল

গুণমান জন্য সম্পূর্ণ এবং এটি একটি ভাল ফলাফল। হ্রাস গণনা থেকে (বাইনারি সংখ্যায় 1 বিটের সংখ্যা)। বাইনারি সংখ্যার তুলনা তাই হ্রাসযোগ্য । $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{Majority}$ $\mathsf{Count}$

কমাতে থেকে নিম্নরূপ করুন: বিবেচনা ইনপুট । সন্নিবেশ মধ্যে 0 সেঃ s এবং সেটিতে কল । গুন এটা দিয়ে মত যা ছাড়া তাতে গুলি 1s দিয়ে প্রতিস্থাপিত করা হয়। চয়ন করুন । এর মধ্যবর্তী অংশটি নম্বর উত্তর। হ্রাস $\mathsf{Count}$ $\mathsf{Mult}$ $a_0a_1\ldots a_n$ $k$ $a_i$ $a$ $b$ $a$ $a_i$ $k>3n$ $ab$ $\mathsf{FO}$ এবং দেখায় যে । $\mathsf{Count} \in \mathsf{FO(Mult)}$

— Kaveh
সূত্র

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! হ্যাঁ, এটি যাচাই করে যে বাইনারি গুণটি টিসি 0-এর জন্য সম্পূর্ণ। সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য বিট হিসাবে, কিছু সমস্যা বাকি আছে remaining গুণটির সর্বাধিক উল্লেখযোগ্য বিট (111 x 111) = 110001 হল 1 এবং এটির জন্য (100 x 100) = 010000, এটি 0। দ্রষ্টব্য যে উভয় ক্ষেত্রেই বহুগুণের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য বিট একইরকম। অতএব, আমি মনে করি না যে, সাধারণভাবে এটি সর্বাধিক উল্লেখযোগ্য বিট যোগ করার জন্য যথেষ্ট। আমি কিছু অনুপস্থিত করছি?

— হেইহেহে

তাহলে

এবং

, তারপর MSB এর

0, এবং MSB

, 1, যদিও এমনকি

এবং

শুধুমাত্র ভিন্ন হতে পারে এক, কমপক্ষে তাৎপর্যপূর্ণ, বিট।

x = ⌊ 2^{n + 1 / 2} ⌋

$x=\lfloor2^{n+1/2}\rfloor$

y = ⌈ 2^{n + 1 / 2} ⌉

$y=\lceil2^{n+1/2}\rceil$

x^{2}

$x^2$

y^{2}

$y^2$

x

$x$

y

$y$

— এমিল জেইবেক

সম্পাদনাটি সঠিক নয়। যেহেতু আমরা মি সংখ্যা যুক্ত করছি, কেবল এক বিট বহন নাও করতে পারে, তবে লগ এম। এর কতটুকু প্রচার হয় তা সিদ্ধান্ত নেওয়া তখন আরও বেশি কঠিন।

— এমিল জেবেক

প্রকৃতপক্ষে, অন্য কিছুর উপেক্ষা করা: একক অবস্থানের বাহনকে গণনা করা (মাঝখানে কোথাও বলা) ইতিমধ্যে গণনার সমতুল্য, অতএব টিসি ^ 0-সম্পূর্ণ।

— এমিল জ্যাবেক

@ হেইহেহেহে, আমি যে সূত্রটি লিখেছি তা হ'ল এফও এবং তাই অভিন্ন AC0 এ।

— কাভেহ