উচ্চ গাছের প্রস্থ এবং ধ্রুবক ডিগ্রি সহ উপগ্রাফগুলি সন্ধান করা

আমি একটি গ্রাফ দেয়া করছি সঙ্গে treewidth ও নির্বিচারে ডিগ্রী, এবং আমি একটি subgraph এটি চাই এর (অগত্যা একটি প্ররোচক subgraph) যেমন যে ধ্রুবক ডিগ্রী আছে এবং তার treewidth সম্ভব হিসাবে উচ্চ হয়। সাধারণভাবে আমার সমস্যাটি হ'ল: ডিগ্রি বেঁধে chosen chosen বেছে নিয়ে , "সেরা" ফাংশনটি কী যেমন, যে কোনও গ্রাফের সাথে treewidth , আমি জানতে পারেন (আশা দক্ষতার) একটি subgraph এর সর্বোচ্চ ডিগ্রী অর্জন এবং treewidth $G$ $k$ $H$ $G$ $H$ $d \in \mathbb{N}$ $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $G$ $k$ $H$ $G$ $\leq d$ $f(k)$ ।

একথাও ঠিক যে আমরা নিতে হবে সেখানে সর্বোচ্চ ডিগ্রী সঙ্গে কোন উচ্চ treewidth গ্রাফ হয়। জন্য আমি জানি তুমি গ্রহণ করতে পারেন যেমন যে বা তাই হয়, Chekuri এবং chuzhoy এর মর্মস্পর্শী দ্বারা গ্রিড ছোটখাট নিষ্কাশন ফলাফলের (এবং এটি ব্যবহার একটি উচ্চ বের করে আনতে -উচ্চোত্তর ডিগ্রি -3 গ্রাফ, উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রাচীর, টপোলজিকাল নাবালিকা হিসাবে) সহ উপগ্রহের গণনাটি সম্ভবযোগ্য (আরপিতে)। যাইহোক, এটি একটি বিস্তৃত প্রমাণ সহ একটি খুব শক্তিশালী ফলাফল, সুতরাং এটি একটি খুব সাধারণ সমস্যার মতো দেখায় এটির জন্য এটি ব্যবহার করা ভুল বলে মনে হয়: আমি কেবল কোনও খুঁজে পেতে চাই $d \geq 3$ $<3$ $d = 3$ $f$ $f(k) = \Omega(k^{1/100})$ ধ্রুবক-ডিগ্রি, উচ্চ-গাছের প্রস্থ, তাদের ফলাফলের মতো নির্দিষ্ট কোনও নয়। উপরন্তু, উপর বাউন্ড হিসাবে আমি আশা প্রকাশ করেন যেত ভাল হিসাবে নয়। অবশ্যই, এটি পরিচিত যে এটি তৈরি করা যেতে পারে (গণনার দক্ষতা ছেড়ে দেওয়া পর্যন্ত), তবে আমি মতো কিছু আশা করব । সুতরাং, এটা সম্ভব, যে দেখানোর জন্য গ্রাফ দেওয়া treewidth এর , সেখানে একটি subgraph হয় রৈখিক treewidth মধ্যে ধ্রুবক ডিগ্রী এবং ? $f$ $\Omega(k^{1/20})$ $\Omega(k)$ $G$ $k$ $G$ $k$

আমিও জন্য সঠিক একই প্রশ্ন আগ্রহী pathwidth বদলে treewidth। প্যাথউইথের জন্য আমি গ্রিড মাইনর এক্সট্রাকশনের কোনও অ্যানালগ জানি না, তাই সমস্যাটি আরও রহস্যজনক বলে মনে হচ্ছে ...

— a3nm
সূত্র

জুলিয়া চুজয় এবং আমি ট্রিভিডথ স্পারসিফায়ারে আমার নিজের কাগজটি দেখুন। আমরা দেখাই যে, এক একটি সবচেয়ে 3 treewidth এ ডিগ্রী subgraph পেতে পারেন যেখানে এর treewidth হয় । https://arxiv.org/abs/1410.1016 গ্রিড অপ্রাপ্তবয়স্কদের জন্য প্রমাণটি তার চেয়ে কম ছোট তবে এটি এখনও তেমন সহজ নয় এবং পূর্ববর্তী কয়েকটি সরঞ্জামগুলিতে তৈরি করে। $\Omega(k/polylog(k))$ $k$ $G$

ধরা যাক আপনি একটি সহজ লক্ষ্য - ডিগ্রি 4 এবং ট্রিউইথ তবে গ্রিডের মতো নাবালিকাগুলির উপর রিড এবং কাঠের ফলাফলের মাধ্যমে আপনি এটি আরও সহজেই পেতে পারেন। https://arxiv.org/abs/0809.0724 $\Omega(k^{1/4})$

আপনি যে আরও সহজ ফল পেতে পারেন তা হ'ল নিম্নলিখিতটি যা আরও কিছু জড়িত প্রমাণগুলির জন্য একটি সূচনা পয়েন্ট। আপনি ডিগ্রি এবং ট্রিউইথ একটি সাবগ্রাফ পেতে পারেন । এটি অর্জনের জন্য আপনি ট্রিউইথ স্পারসিফায়ার কাগজটি দেখতে পাচ্ছেন। $\log^2(k)$ $\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$

— চন্দ্র চেকুরী
সূত্র

অতিরিক্ত মন্তব্য. One ট্রিউইথ এবং ধ্রুবক ডিগ্রি সহ কেউ উপগ্রহ পেতে পারে কিনা তা খুব আকর্ষণীয় উন্মুক্ত সমস্যা। আমরা গাছের প্রস্থে স্পারসিফায়ার কাগজে এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করি তবে সঠিক উত্তরটির ভাল ধারণা নেই। একটি আকর্ষণীয় গ্রাফ যা বার্ট জানসেন জিজ্ঞাসা করেছিলেন তা হ'ল নোডের হাইপারকিউব যা গাছের প্রস্থ। থিতা এবং প্রাথমিক ডিগ্রি ।

Ω (k)

$\Omega(k)$

n

$n$

Θ (n / \log n)

$\Theta(n/\log n)$

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$

— চন্দ্র চেকুরি 21

রিড এবং উডের দিকে নির্দেশ করার জন্য ধন্যবাদ! আমি বিশদটি পূরণ করব। থিম 1.2 তাদের কাগজটি বলেছে যে গাছের প্রস্থ। সহ একটি গ্রাফ জি একটি গ্রিডের মতো- অর্ডার এল রয়েছে। এখন গ্রিডের মতো-নাবালক এম একটি দ্বিপক্ষীয় ছেদকৃত গ্রাফ এইচ সহ পাথের গঠিত জি এর একটি অনুচ্ছেদ, সুতরাং এম এর প্রতিটি শীর্ষবিন্দু এম এর প্রায় 2 টি পাথের অন্তর্গত (অন্যথায় এটি এইচ মধ্যে একটি ত্রিভুজ), সুতরাং এম সর্বোচ্চ ডিগ্রি অর্জন করে ৪. আরও, এম গাছের প্রস্থ রয়েছে : প্রকৃতপক্ষে M প্রস্থের যে কোনও বৃক্ষের ডেস্ক প্রস্থের H এর একটি গাছের ডেস ফলন দেয় <= 2 কে (প্রতিটি অনুভূমিকাকে তার সদস্যপথ দ্বারা প্রতিস্থাপন, সর্বাধিক 2), এবং এইচ রয়েছে হিসাবে

Ω (l^{4} p o l y l o g (l))

$\Omega(l^4 polylog(l))$

Ω (l)

$\Omega(l)$

K_{l}

$K_l$

— a3nm

আবার, এটি খুব সহায়ক, আপনাকে ধন্যবাদ। এটি আকর্ষণীয় যে লিনিয়ার ট্রিউইথের জন্য প্রশ্ন এখনও খোলা আছে। (এটি যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে, আপনার স্পারসিফায়ার পেপারে অনুমানের 1.2 একটি সামান্য ভিন্ন সমস্যা সম্পর্কিত: এটি সাবগ্রাফের কে-এর বহু-আকারের এইচ এর কিছু বিভাগের প্রয়োজন, যেখানে আমি এটি জিজ্ঞাসা করছি না এবং কেবল চাই ধ্রুবক ডিগ্রি অর্জনের জন্য সাবগ্রাফ।) একটি শেষ কথা: আপনি কি জানেন যে এই উন্মুক্ত সমস্যাটি সম্পর্কে বৃক্ষপাতের চেয়ে পাথউইথের চেয়ে কিছুই জানা আছে কিনা? আবার ধন্যবাদ!

— a3nm

@ a3nm লিনিয়ার ট্রিউইথের প্রশ্নটি উন্মুক্ত হওয়ার কারণে আপনি কেন অবাক? গাছের প্রস্থের জন্য আমাদের কাছে বর্তমানে ধ্রুবক ফ্যাক্টর সন্নিকট নেই। পাথউইথ সম্পর্কে, এখনই আনুমানিক পথচলার একমাত্র রাস্তাটি ট্রিউইথ এবং পাথউইথের মধ্যকার সম্পর্ক যা দ্বিগুণ টুই দেখায় । ট্রিউইথ স্পারসিফিকেশনের মাধ্যমে কেউও পাথউইথ স্পারসিফিকেশন পেতে পারে তবে আমরা একটি লগ এন ফ্যাক্টর হারাব। এটি কেবলমাত্র লগ পিডব্লু (জি) ফ্যাক্টর হলে ভাল হবে তবে আমি কীভাবে এটি করব তা নিশ্চিত নয় বা এটি জানা আছে কিনা I

t w (G) \leq p w (G) \leq O (\log n) t w (G)

$tw(G) \le pw(G) \le O(\log n) tw(G)$

— চন্দ্র চেকুরী

রৈখিক ত্রৈদশীর স্থিতি সম্পর্কে আপনার ব্যাখ্যা এবং প্যাথউইথ স্পারসিফিকেশন ব্যাখ্যার জন্য ধন্যবাদ। আপনি যে শেষ কথাটি উল্লেখ করেছিলেন তা হ'ল আমাদের ধরণের ফলাফলের প্রয়োজন; খুব খারাপ যে প্রশ্নটি এখনও খোলা আছে। যাই হোক না কেন, আপনার ব্যাখ্যার জন্য আবার অনেক ধন্যবাদ!

— a3nm