অর্ধে ভরা ম্যাজিক স্কোয়ার সমস্যাটি কি এনপি-সম্পূর্ণ?

Question

সমস্যাটি এখানে:

আমাদের কয়েকটি কোষে 1..N থেকে কিছু সংখ্যার সাথে একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। এটি কোনও ম্যাজিক স্কোয়ারে সম্পূর্ণ করা যায় কিনা তা নির্ধারণ করা দরকার।

উদাহরণ:

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

এই সমস্যাটি কি এনপি-সম্পূর্ণ? যদি হ্যাঁ, আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করতে পারি?

এমএসে ক্রসপোস্ট

Comments

না, সাহায্য চাওয়া খারাপ জিনিস নয়। তবে আপনার প্রশ্নটি আপনি যে সাইটের জিজ্ঞাসা করেছেন তার সুযোগের মধ্যে থাকতে হবে। আমি মনে করি ম্যাথ এসই এই প্রশ্নের জন্য উপযুক্ত, এবং টিসিএস এসই নয়।

— Hsien-Chhh চ্যাং 之 之

আমরা এনপি-কঠোরতা প্রমাণ করার বিষয়ে প্রশ্নগুলি গ্রহণ করি বিশেষত যখন সমস্যাটি শক্ত হয়। উদাহরণস্বরূপ, এখানে উত্তর হিসাবে তালিকাভুক্ত তিনটি উদাহরণ বিবেচনা করুন: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/784/…

— সুরেশ ভেঙ্কট

যদি এটি হোম ওয়ার্ক হয় তবে আমরা এটি অনৈতিক না হোক না কেন এটির অনুমতি দিই না।

— পিটার Shor

@ ল্যাভানোভড: এটি স্ট্যাকওভারফ্লো নয়। এই সম্প্রদায়ের হোমওয়ার্ক প্রশ্ন নিষিদ্ধ করার একটি সুস্পষ্ট নীতি রয়েছে। স্ট্যাকওভারফ্লোতে আলাদা নীতি রয়েছে তা এখানে গুরুত্বপূর্ণ নয়।

— জেফ

আমি কোনও সমাধান জানি না এবং আমি মনে করি না যে এটি হোমওয়ার্কের স্তরে রয়েছে। তবে, আমি কিছু সাধারণ মিস করছি। সুতরাং যদি কেউ একটি সম্পূর্ণ সমাধান জানেন এবং এই প্রশ্নটি হোমওয়ার্ক স্তরের বলে মনে করেন তবে দয়া করে কেবল তাই বলুন। ইতিমধ্যে, আমি ধরে নেব যে এই প্রশ্নটি হোমওয়ার্ক নয় এবং [হোমওয়ার্ক] ট্যাগটি ম্যাথ এসই এবং লেভানোভডের আগের মন্তব্যটি কেবল ভুল ছিল।

— Tsuyoshi Ito

Answer 1

আংশিকভাবে পূর্ণ ল্যাটিন স্কোয়ারটি পূরণ করা হ'ল এনপি-সম্পূর্ণ। "আংশিক ল্যাটিন স্কোয়ারগুলি সমাপ্ত করার জটিলতা" চার্লস জে কলবর্ন। বিচ্ছিন্ন প্রয়োগিত গণিত, খণ্ড 8, সংখ্যা 1, এপ্রিল 1984, পৃষ্ঠা 25-30 http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

লাতিন বর্গ সমস্যাটি কি মডুলার পাটিগণিতের মাধ্যমে যাদুবিদ্যার সমস্যাতে পরিণত করা যেতে পারে? আমার স্বজ্ঞাত হ্যাঁ বলে, তবে আমার মস্তিষ্কের বাকী অংশগুলি "গ্রেডিংয়ে ফিরে যাও!"

Comments

এটিকে কঠোর যুক্তিতে পরিণত করা ভাল লাগবে। আমার কাছে এটি মোটেও পরিষ্কার নয় যে মডিউলার পাটিগণিত কীভাবে ল্যাটিন স্কয়ার কমপ্লিটেশনকে ম্যাজিক স্কয়ার কমপ্লিটেশন বা তার বিপরীতে হ্রাস করতে সত্যিই সহায়তা করবে। এটি কাজের জন্য তৈরি করা যেতে পারে তবে এটি বরং সুন্দর হবে।

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 2

এই প্রশ্নের দুটি অংশ রয়েছে: প্রথমত, এনপিতে সমস্যাটি এবং দ্বিতীয়টি, এটি এনপি-হার্ড?

প্রথম অংশের জন্য, আমার কাছে একটি অস্পষ্ট প্রমাণ সহ একটি ইতিবাচক উত্তর রয়েছে। (পূর্ববর্তী ত্রুটিটি নির্দেশ করার জন্য সুরেশকে ধন্যবাদ।)

---

সিদ্ধান্তটিকে সমস্যা হিসাবে প্রশ্নটিকে আনুষ্ঠানিক করার জন্য নিম্নলিখিত উপায়টি বিবেচনা করুন:

$n$$n$$n$

$1,2,\dots,n^2$

$n$$n$$n$$n$$n$

$n^2$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$\sqrt{5}^{n-1}$

এটি এর মধ্যে উপপাদ্য 4.7 হিসাবে উপস্থিত হয়েছিল:

• অ্যাপোলোনিউজ টাইজকা, আরথ এবং সি , গণিতে গাণিতিক বিষয়ে দুটি অনুমান । লগিন। মধ্যে Quart। 56 175-184, 2010।

$2^n$$2^{n-1}$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$2^n$

$2^{n-1}$

এটি নিম্নলিখিত ফলন করে:

$N$$2^{O(N^2)}$

$O(N^4)$$O(N^8)$$n^2 + 2(n+1)(n-2)+1 = 3n^2-2n-3$$n-2$$m$$O(m^2)$

$n$

---

ইন্টিগের লাইনয়ার প্রোগ্রামিংয়ের উদাহরণগুলির সমাধানগুলিতে পাপাদিমিট্রিউয়ের আবদ্ধ ব্যবহার করে, এটিও দেখাতে পারে যে সংখ্যাটি সমস্ত অ-নেতিবাচক হওয়া আবশ্যক সংস্করণটি এনপি-তেও রয়েছে।

$A$$r \times s$$b$$r$$\{-a, -a+1, \dots, a-1, a\}$$Ax = b$$\{0,1,\dots,s(ra)^{2r+1}\}$

$a=1$$s=n^2+1$$r=2n+2$

• ক্রিস্টোস এইচ। পাপাদিমিট্রিউ, পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিংয়ের জটিলতায়, জ্যাকএএম 28 765–768, 1981. ( লিঙ্ক )

Comments

আমার ধারণা আমি বিভ্রান্ত উত্তরগুলির আকারের উপর যদি একটি পলি বাঁধা থাকে, তবে আমাদের কাছে এমন একটি অনুমানের নিশ্চয়তা দেওয়া হয় যা বহুবারের মধ্যে পড়ে এবং যাচাই করা যায়।

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ: ত্রুটির জন্য ক্ষমা চেয়েছি, এই উত্তরটি আমার প্রত্যাশার চেয়ে কিছুটা বেশি শক্ত লেখা হয়েছিল।

— অ্যান্ড্রেস সালামন