ক্যালকুলাস অফ কনস্ট্রাকশনস: এর ক্ষুদ্রতম আকারে প্রকাশকে সংকোচিত করুন

11

আমি জানি যে ক্যালকুলাস অফ কন্সট্রাকশন দৃ strongly়ভাবে স্বাভাবিক হচ্ছে, যার অর্থ প্রতিটি অভিব্যক্তির একটি স্বাভাবিক কারণ এটি বিটা হতে পারে না এবং আরও হ্রাস করা যায়। সুতরাং বাস্তবে এটি সর্বাধিক দক্ষ অভিব্যক্তি যা মূল এক্সপ্রেশন হিসাবে একই মান গণনা করে।

তবে কিছু ক্ষেত্রে, স্বাভাবিকীকরণ একটি ছোট ভাবকে বিশাল আকারের (আকারের দিক দিয়ে) হ্রাস করতে পারে।

ভাবের ক্ষুদ্রতম রূপ রয়েছে? এমন একটি ফর্ম যা সবচেয়ে ছোট আকারের সাথে একই মান গণনা করে।

অন্য কথায়, সময়-দক্ষ স্বাভাবিক-ফর্মের পরিবর্তে, একটি স্থান-দক্ষ একটি।

— user47376
সূত্র

8

আমরা "একই মান" হিসাবে বিবেচনা করি তাতে কিছুটা স্বাধীনতা আছে। আমাকে দেখাতে দিন যে "একই মান" এর অর্থ "পর্যবেক্ষণের সমতুল্য" হলে এরকম কোনও অ্যালগরিদম নেই। আমি নির্মাণের ক্যালকুলাসের একটি টুকরো ব্যবহার করব, যথা গডেলের সিস্টেম টি (কেবল টাইপ করা -ক্যালকুলাস, প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং তাদের উপর আদিম পুনরাবৃত্তি), সুতরাং যুক্তিটি ইতিমধ্যে অনেক দুর্বল ক্যালকুলাসের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। $\lambda$

একটি নম্বর দেওয়া যাক সংশ্লিষ্ট সংখ্যা এটা প্রতিনিধিত্বমূলক, অর্থাত্ হও, অ্যাপ্লিকেশন করতে । প্রদত্ত টুরিং mahcine যাক হতে সংখ্যা এনকোডিং কিছু যুক্তিসংগত উপায়। $n$ $\overline{n}$ $n$ $\mathtt{succ}$ $0$ $M$ $\lceil M \rceil$ $M$

বলে যে দুই বদ্ধ পদ করছে সমতুল্য , লিখিত , যখন সবার জন্য , $t, u : \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$ $t \simeq u$ $n \in \mathbb{N}$ এবং $t \, \overline{n}$ উভয়ই একই অঙ্কে স্বাভাবিক হয় (তারা একটি সংখ্যায় স্বাভাবিক হয় কারণ আমরা দৃ strongly়ভাবে স্বাভাবিককরণের ক্যালকুলাসে আছি)। $s \, \overline{n}$

মনে করুন আমাদের কাছে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে, যা টাইপ বদ্ধ শব্দ দিয়েছে ন্যূনতম সমতুল্য পদ গণনা করে। তারপরে আমরা নীচে হ্যালটিং ওরাকলটি সমাধান করতে পারি। $\mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$

একটা শব্দ যেমন যে, সব জন্য এবং সমস্ত টুরিং মেশিন , থেকে normalizes যদি মধ্যে স্থগিত পদক্ষেপ , এবং এটি অন্যথায় স্বাভাবিক হয় । এই ভাল পরিচিত, পদক্ষেপ একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার জন্য একটি টুরিং মেশিন সিমুলেশন থেকে আদিম রিকার্সিভ হয়। $S : \mathtt{nat} \times \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$ $n \in \mathbb{N}$ $M$ $S (\lceil M \rceil, \overline{n})$ $\overline{1}$ $T$ $n$ $\overline{0}$ $n$

চূড়ান্তভাবে অনেক বন্ধ শর্তাদি যা ন্যূনতম পদগুলি সমান $Z_1, \ldots, Z_k$ । আমাদের কম অ্যালগরিদম তাদের মধ্যে একজন ফেরৎ যখন আমরা এটা দিতে $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ , এবং এটি এমনও হতে পারে যে $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ আসলে এই জাতীয় ন্যূনতম শব্দ। সকল এই ব্যাপার না, বিষয় finitely অনেক সংক্ষিপ্ত পদগুলি সমতুল্য হয় আছে শুধুমাত্র জিনিস যে $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ । $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$

এখন, যে কোনও মেশিন দেওয়া হয়েছে , শব্দটি বিবেচনা করুন $M$ তাহলে চিরকাল তারপর রান করতে normalizes প্রত্যেক জন্য এবং সমতূল্য

u : = λ x : n a t . S (⌈ M ⌉, x)

$u \mathbin{{:}{=}} \lambda x : \mathtt{nat} .\, S (\lceil M \rceil, x)$

M

$M$

u \bar{n}

$u \overline{n}$

\bar{0}

$\overline{0}$

n

$n$

।

চিরকালের জন্য চালিত হয়কিনা তা স্থির করার জন্য, আমরা

আমাদের মিনিমাইজেশন অ্যালগরিদমগুলিতেফিড করবএবং পরীক্ষা করব যে অ্যালগরিদম

একটি পেয়েছে কিনা। যদি তা হয় তবে

চিরকালের জন্য চালায়। যদি তা না হয়, তবে এটি বন্ধ হয়ে যায়। (দ্রষ্টব্য: অ্যালগরিদমের

নিজেইগণনা করার দরকার নেই, এগুলিকে অ্যালগোরিদমে কঠোর কোড করা যেতে পারে))

λ x : n a t . 0

$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$

M

$M$

u

$u$

Z_{1}, \dots, Z_{k}

$Z_1, \ldots, Z_k$

M

$M$

Z_{1}, \dots, Z_{k}

$Z_1, \ldots, Z_k$

এটি চমৎকার হবে একটি আর্গুমেন্ট যে সমানতা একটি দুর্বল ধারণা সঙ্গে কাজ করে দৃষ্টান্ত ঠিক জানেন যে হবে -reducibility। $\beta$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

আপনি কীভাবে জেড 1, .. জেককে গণনা করবেন?

— ব্যবহারকারী47376

তোমার দরকার নেই। এটি হ'ল আমি যে অ্যালগরিদমটি বর্ণনা করছি সেগুলি এখানে রয়েছে এবং আমরা এটি সঠিকভাবে জানি না, তবে এটি অপ্রাসঙ্গিক। আমি আসলে অ্যালগরিদম চালানোর চেষ্টা করছি না, আপনার অ্যালগরিদমের অস্তিত্ব নেই তা দেখানোর জন্য আমার কেবল এর অস্তিত্ব প্রয়োজন।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

হ্যাঁ, তবে আপনার যুক্তিটি বলেছে যে যদি আমার অ্যালগরিদম উপস্থিত থাকে তবে আমরা থামার সমস্যাটি সমাধান করতে পারি। কোনও টিউরিং মেশিন এম আপনার অ্যালগরিদমটি আপনাকে স্বাভাবিক করে তোলে কিনা এবং এটি জেড 1 এর মধ্যে একটি কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন কিনা .. জেক। সুতরাং এগুলি গণনা করতে সক্ষম হওয়া দরকার, অন্যথায় এটি থামবে না।

— user47376

Z_{1}, \dots, Z_{k}

$Z_1,\ldots,Z_k$

k

$k$

Z

$Z$

k

$k$

Z [i]

$Z[i]$

7

(λ x : T . C x x) u \to_{β} C u u

$(\lambda x:T.C\ x\ x)\ u\rightarrow_\beta C\ u\ u$

u

$u$

এই অর্থে, এটি জানা যায় যে কীভাবে অপরিশোধিত শর্তগুলি একটি অনুকূল পদ্ধতিতে হ্রাস করা যায়, যতটা সম্ভব ভাগ করে নেওয়া হ্রাস করা যায়। এটি এখানে ব্যাখ্যা করা হয়েছে: https://stackoverflow.com/a/41737550/2059388 এবং সম্পর্কিত উদ্ধৃতিটি জে ল্যাম্পিংয়ের অনুকূল ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস হ্রাসের জন্য একটি অ্যালগরিদম । সন্দেহ নেই যে টাইপযুক্ত ক্যালকুলাসের উপপাদ্যটি সিআইসিতে বাড়ানো যেতে পারে।

অন্য একটি প্রাসঙ্গিক প্রশ্ন হ'ল ধরণের রূপান্তর সম্পাদনের সময় মুছে ফেলা যায় এমন প্রকারের তথ্য, বা কীভাবে দক্ষ রূপান্তর সম্পাদন করতে হবে, যা গবেষণার একটি সক্রিয় ক্ষেত্র, উদাহরণ হিসাবে মিশ্র-লিংজারের থিসিস দেখুন ।

— কোডি
সূত্র

6

আমি কোডির উত্তর দিয়ে দৃষ্টিভঙ্গি জোর দেওয়া উচিত।

$\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$

$M$ $f$

M \bar{x} \to^{l (| x |)} \bar{f (x)}

$M\,\overline{x}\to^{l(|x|)}\overline{f(x)}$

l (| x |)

$l(|x|)$

l (n) = O (n^{k})

$l(n)=O(n^k)$

k

$k$

f

$f$

$\lambda$ $\Theta(n)$ $\Theta(2^n)$ $\lambda$ $\lambda$

$\lambda$ $\lambda$

$\lambda$

এই একই বাক্য গঠন প্রমাণ করতে হবে যে, বিপরীতভাবে সাদাসিধা স্বজ্ঞা ব্যবহার করা যেতে পারে, উপরোক্ত প্রশ্নের উত্তর হ্যাঁ হয় প্রকৃতপক্ষে: স্বাভাবিক ফর্মে বামদিকের-দূরতম ধাপের সংখ্যা হয় , একটি যুক্তিসঙ্গত খরচ পরিমাপ এমনকি যদি আকার বিস্ফোরণ, কারণ একই গণনা উপস্থাপনের অন্য উপায় আছে (রৈখিক সুস্পষ্ট বিকল্পগুলি ব্যবহার করে) এতে:

আকার বিস্ফোরিত হয় না ;
$\lambda$

এগুলি অ্যাটাতোলি এবং ডাল লাগোর কাগজে "বিটা হ্রাসটি ইনভেরিয়েন্ট, প্রকৃতপক্ষে" (LICS 2014 এবং এর পরে আমি আরও একটি সাম্প্রতিক জার্নাল সংস্করণ আছে) ব্যাখ্যা করে explained

$\lambda$

— দামিয়ানো মাজা
সূত্র

আমার মনে যা ছিল তা উদাহরণস্বরূপ একটি পদ যা মিলিয়ন পদক্ষেপগুলি মিলিয়ন উপাদান তালিকা তৈরি করতে উদ্ঘাটিত হয়। এটি প্রকৃত তালিকায় স্বাভাবিক হয়, যা সেই মানটির সবচেয়ে দক্ষ প্রতিনিধিত্ব (এটি আসল চূড়ান্ত ফলাফল, এর জন্য আর কোনও পদক্ষেপের প্রয়োজন নেই)। তবে উদ্ঘাটন শব্দটি নিজেই খুব ছোট হতে পারে।

— user47376

β

$\beta$

হ্যাঁ, আন্দ্রেজ যেমন বলেছিলেন তেমন অসম্ভব। যে আমার প্রশ্নের উত্তর।

— user47376