হট বইটিতে, বেশিরভাগ ধরণের ফর্মারগুলি অপ্রয়োজনীয় হয়? আর যদি তাই হয় তবে কেন?

হট বইয়ের অধ্যায় 1 এবং পরিশিষ্ট A তে ভিত্তি গঠনের জন্য বেশ কয়েকটি আদিম ধরণের পরিবার উপস্থাপন করা হয়েছে (মহাবিশ্বের ধরণ, নির্ভরশীল ফাংশন ধরণের, নির্ভরশীল জোড় প্রকার, খালি প্রকার, ইউনিটের ধরণ, প্রাকৃতিক সংখ্যার ধরণ এবং পরিচয় প্রকার) হোমোপি টাইপ থিওরির জন্য।

তবে এটি মনে হয় যে প্রদত্ত মহাবিশ্বের ধরণ এবং নির্ভরশীল ফাংশন প্রকারগুলি আপনি এই সমস্ত "আদিম" প্রকারগুলি তৈরি করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ খালি প্রকারটি পরিবর্তে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে

ΠT:U.T

আমি ধরে নিচ্ছি যে অন্যান্য প্রকারগুলিও খাঁটি সিসির মতো একইভাবে তৈরি করা যেতে পারে , (উদাহরণস্বরূপ সংজ্ঞাটির প্ররোচক অংশ থেকে টাইপটি সংগ্রহ করুন)।

এই ধরণের অনেকগুলি স্পষ্টভাবে ইন্ডাকটিভ / ডাব্লু টাইপ দ্বারা অযৌক্তিকভাবে তৈরি করা হয় যা অধ্যায় 5 এবং 6 এ প্রবর্তন করা হয়েছে তবে ইন্ডুকটিভ / ডাব্লু প্রকারগুলি তত্ত্বের একটি alচ্ছিক অংশ হিসাবে উপস্থিত বলে মনে হচ্ছে যেহেতু তারা কীভাবে এইচটিটি-র সাথে ইন্টারঅ্যাক্ট করে (এই সময়ে) অন্তত বইটি বের হওয়ার সময়)।

সুতরাং কেন এই অতিরিক্ত প্রকারগুলি আদিম হিসাবে উপস্থাপন করা হয় তা সম্পর্কে আমি খুব বিভ্রান্ত। আমার স্বজ্ঞাততা হ'ল একটি ফাউন্ডেশনাল তত্ত্ব যতটা সম্ভব ন্যূনতম হওয়া উচিত, এবং তাত্ত্বিকের মধ্যে আদিম হিসাবে একটি অপ্রয়োজনীয় খালি ধরণের পুনরায় সংজ্ঞা দেওয়া খুব স্বেচ্ছাচারী বলে মনে হয়।

এই পছন্দ করা হয়েছিল

কিছু মেটাথেরেটিক কারণে যে আমি অজানা?
historicalতিহাসিক কারণে, টাইপ থিওরিটিকে অতীতের তত্ত্বগুলির মতো দেখতে (যা প্রয়োজনীয়ভাবে ভিত্তি ভিত্তিক হওয়ার চেষ্টা করছিল না)?
কম্পিউটার ইন্টারফেসের "ব্যবহারযোগ্যতা"?
প্রুফ অনুসন্ধানে কিছু সুবিধার জন্য যে আমি অজানা?

এর অনুরূপ: মার্টিন-লুফ টাইপ তত্ত্বের নূন্যতম স্পেসিফিকেশন , https: //cs.stackex بدل.com/questions/82810/reducing-products-in-hott- to -church-scott-encodings/82891#82891

type-theory dependent-type homotopy-type-theory

— user833970
সূত্র

এগুলি অপ্রয়োজনীয়, তবে আপনি যেভাবে পরামর্শ দিচ্ছেন তা নয়। আপনার নিজের জিজ্ঞাসা করা উচিত যে "ভিত্তির ন্যূনতমতা" কী উদ্দেশ্যে কাজ করে? এবং আমরা উদ্দেশ্য সম্পর্কে যত্নশীল?

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

আমি ধরে নিলাম যে প্রযুক্তিগত কাজগুলি কনভেনশন দ্বারা ন্যূনতম, যেখানে বিষয়গুলি স্পষ্টত সুবিধাজনক বা স্পষ্টভাবে অন্যথায় উল্লেখ করা থাকলে ন্যূনতম হওয়ার দরকার নেই। এমনকি বইটি অন্যান্য জায়গাগুলিতেও এটি মেনে চলে, যেমন এটি কাটাকাটি ধরণের সংজ্ঞা দেয় (বিধি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে স্পষ্টভাবে ন্যূনতম নয়)। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমি 0,1,10, উত্তরসূরি এবং পাওয়ার অপারেশন হিসাবে সংজ্ঞাগুলি দেখেছি তবে আমি বিভ্রান্ত হয়ে পড়ব, তবে কেন এটি উল্লেখযোগ্যভাবে সুবিধাজনক তা অন্তত আমি দেখতে পেতাম। হট পড়াশোনার অনেক জটিল ক্ষেত্র এবং আমি জানতে চাই যে আমি কোন স্পষ্ট কিছু অনুপস্থিত missing

— ব্যবহারকারী 833970

তারা কীভাবে ক্ষতিকর হতে পারে সে সম্পর্কে শুনে আমি খুব আগ্রহী হব। আমি কি এটি সম্পর্কে একটি নতুন প্রশ্ন করা উচিত?

— ব্যবহারকারী 833970

@ আন্দ্রেজবাউর আমি জানতে চাই যে তারা কেন ক্ষতিকারক হবে। মূল ভাষাটি ন্যূনতম হওয়া উচিত বলে বিশ্বাস করার আমার যুক্তি হ'ল ঘটনাটির রেজারের পিছনে যুক্তি, এটি যুক্তিযুক্ত যুক্তিযুক্ত জটিলতা। কেন সেখানে থামো? তালিকাগুলি, স্ট্রিংস, জোড়া, ট্রিপল, ভেক্টরগুলিকে কেন যুক্ত করবেন না? এগুলি স্বেচ্ছাসেবী পছন্দ বলে মনে হচ্ছে, কী তাদের ন্যায্যতা দেয়? সম্পাদনা: আমি সবেমাত্র লক্ষ্য করেছি যে এই প্রশ্নের উত্তর রয়েছে; তবে আমি কেন এই বিষয়ে আগ্রহী তা কেন লক্ষ করার জন্যই আমি এই মন্তব্যটি এখানে রেখে যাব।

— মাইয়াভিক্টর

আমি একটি ব্লগ পোস্ট লিখব।

— আন্দ্রেজ বাউর

উত্তর:

খালি প্রকারের প্রস্তাবিত এনকোডিংটি কেন কাজ করে না তা আমাকে ব্যাখ্যা করতে দিন। আমাদের মহাবিশ্বের স্তরগুলি সম্পর্কে সুস্পষ্ট হওয়া উচিত এবং তাদেরকে গালিগমের নীচে ঝাপিয়ে পড়তে হবে না।

লোকেরা যখন "খালি টাইপ" বলে, তখন তাদের দুটি জিনিসগুলির মধ্যে একটির অর্থ হতে পারে:

একটি একক প্রকার যা সমস্ত ধরণের সম্মানের সাথে খালি। প্রত্যেক জন্য: এই ধরনের একটি টাইপ বর্জন নিয়ম রয়েছে লিখুন পরিবার , একটি মানচিত্র $E$ $n$ $A : E \to U_n$ $e_{n,A} : E \to A$ ।
প্রকারের একটি পরিবার , প্রতিটি মহাবিশ্ব স্তরের , যেমন " এর খালি প্রকার "। এই জাতীয় ধরণের সন্তুষ্ট করতে হয় , স্পষ্টতই এবং এছাড়াও: প্রতিটি ধরণের পরিবারের জন্য $E_k$ $k$ $E_k$ $U_k$ $E_k : U_k$ $A : E_{k} \to U_k$ , একটি মানচিত্র । $e_{k,A} : E_{k} \to A$

কোনও প্রোভিসো ছাড়াই, লোকেরা যখন "খালি টাইপ" বলে তখন তারা উপরের প্রথম অর্থটি আশা করে।

আমরা কীভাবে পেতে পারি ? প্রথম প্রচেষ্টা মতো কিছু হতে পারে $E$ তবে এটি হুবহু গালিচা বাছাইয়ের ধরণ যা বিভ্রান্তি সৃষ্টি করে। আমাদের অবশ্যই স্পষ্ট মহাবিশ্বের স্তরগুলি লিখতে হবে। আমরা যদি মতো কিছু লিখি

E = Π (T : U) . T

$E = \Pi (T : U) \,.\, T$

পরে আমরা

, প্রতিটি স্তরের

জন্যএকটি ধরণের ক্রম পাই। আমরা আশা করতে পারি যে এই ক্রমটি উপরের অর্থে খালি প্রকারের, তবে এটি নেই, কারণ

আছে

E_{k} = Π (T : U_{k}) . T

$E_k = \Pi (T : U_k) \,.\, T$

E_{0}, E_{1}, E_{2}, \dots

$E_0, E_1, E_2, \ldots$

k

$k$

E_{k}

$E_k$

কিন্তু এটি হতে অনুমিত হয়

।

U_{k + 1}

$U_{k+1}$

U_{k}

$U_k$

আরেকটি চেষ্টা নেই তবে এখন আপনাকে " " কী হওয়ার কথা তা হবে। আপনি বলতে চান যে প্রকারের

E = Π n . Π (T : U_{n}) . T

$E = \Pi n \,.\,\Pi (T : U_{n}) \,.\, T$

Π n

$\Pi n$

L

$L$ মহাবিশ্বের স্তরের রয়েছে, এবং তাই

E = Π (n : L) . Π (T : U_{n}) . T

$E = \Pi (n : L) \,.\,\Pi (T : U_{n}) \,.\, T$ আপনি এখন একটি ফাঁদ মধ্যে নিপতিত কারণ আমি জিজ্ঞাসা করবে: কোন মহাবিশ্বের করে

বাস করে? এবং কোন মহাবিশ্বে

বাস করেন? এটি কাজ করে না।

E

$E$

L

$L$

$U$ $B : U \to U$ $\Pi (X : U) B(X)$ $U$ $U$ $\Pi (X : U) X$ $U$ এবং এতে প্রত্যাশিত এলিমিনেটর থাকবে। কিন্তু আমরা এখনও করা হয়নি, যেমন এখন আমাদের নির্মূলকারীদের সমীকরণ সম্পর্কে চিন্তা করতে হবে, যেমনটি নীল নির্দেশ করেছিলেন।

অবিশ্বাস্য মহাবিশ্বের ব্যবস্থা করা যেতে পারে। তবে, থিয়েরি কোকোয়ান্ডের একটি বিখ্যাত উপপাদ্য (যদি আমার ভুল না হয়), দেখায় যে দুটি অবিশ্বাস্য মহাবিশ্ব, একটিতে অন্যটি রয়েছে, একটি দ্বন্দ্বের দিকে নিয়ে যায়।

গল্পটির নৈতিকতা হ'ল: খালি টাইপটিকে সরাসরি অক্সোমাটিজ করুন এবং জিনিসগুলি এনকোডিং বন্ধ করুন।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

এটি খালি ধরণের অ্যাক্সিম্যাটাইজ করার জন্য একটি যুক্তিযুক্ত যুক্তি, তবে আমি এখনও এই সমস্ত ভারী জিনিসকে অ্যাক্টিভামাইজ করার যুক্তিটি সম্পর্কে আগ্রহী।

— মাইয়াভিক্টর

@ মাইয়াভিক্টর: এর বিরোধিতা কী?

— আন্দ্রেজ বাউর

দুঃখিত? আমি কেবল বলতে চাইছি আপনি দৃ conv়তার সাথে ন্যায়সঙ্গত হলেন কেন বিশেষ করে খালি প্রকারটি অক্ষরেখ করা ভাল ধারণা। তবে ওপি অন্যান্য বিষয় সম্পর্কেও জিজ্ঞাসা করেছিল: "মহাবিশ্বের ধরণ, নির্ভরশীল ফাংশন ধরণের, নির্ভরশীল জোড়ির ধরণ, কপোরিডাক্ট প্রকার, খালি প্রকার, ইউনিট প্রকার, প্রাকৃতিক সংখ্যা প্রকার এবং পরিচয়ের ধরণগুলি" (যা আমি ধরে নিই যে প্রস্তাবিত সিস্টেমেও আদিম HoTT বই)। (আমি স্পষ্টতই আপনাকে আমার আগ্রহ প্রকাশ করে এই

— সমস্তটি

@ মাইয়াভিক্টর: অন্যান্য ধরণের গল্পের সাথে খুব মিল রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ইউনিট টাইপটিকে কিছুটা দেখতে দেখতে এটিকে হিসাবে এনকোড করা হতে পারে

1 = \prod_{X : U} (X \to X)

$\mathbb{1} = \prod_{X : U} (X \to X)$

@ ইঙ্গো ব্লাচস্মিমেড কি ধরণের সমস্যাগুলি শিখতে আগ্রহী! এটি আমার কাছে ভাল

— লাগছে

আপনি বেশ কয়েকটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করছেন যা অনুরূপ তবে স্বতন্ত্র।

কেন হটটি বইটি ডেটা ধরণের জন্য চার্চ এনকোডিং ব্যবহার করে না?

চার্চ এনকোডিং দুটি কারণে মার্টিন-লফ টাইপ তত্ত্বে কাজ করে না।

প্রথমত, এমএলটিটি হ'ল $n$ $k < n$

দ্বিতীয়ত, আপনি যদি চার্চ এনকোডিংগুলির সাথে প্রাকৃতিক সংখ্যার মতো ডেটাটাইপগুলি সংজ্ঞায়িত করে থাকেন তবে এই ধরণের প্রমাণ সহকারে, সেগুলি সম্পর্কে প্রমাণ করার জন্য আপনার আনয়ন নীতি প্রয়োজন । চার্চ এনকোডিংগুলির জন্য আনয়ন নীতিগুলি অর্জন করার জন্য, আপনাকে রেনল্ডসের প্যারামিট্রিকটির উপর ভিত্তি করে একটি যুক্তি ব্যবহার করতে হবে এবং প্যারামিট্রিকটির নীতিগুলি কীভাবে টাইপ তত্ত্বের অভ্যন্তরীণ করা যায় সে প্রশ্নটি এখনও পুরোপুরি নিষ্পত্তি হয়নি। (আর্টের রাজ্য হ'ল নুয়েটস, ভেজোসি এবং ডিভ্রেইসের আইসিএফপি 2017 কাগজ প্যারামেট্রিক কোয়ান্টিফায়ার্স নির্ভরশীল টাইপ থিওরির জন্য - নোট করুন যে এইচটিটি বইটি লেখার পরে ভাল হয়েছে !)
এরপরে, আপনি জিজ্ঞাসা করছেন কেন ভিত্তিটি ন্যূনতম নয়। এটি আসলে টাইপ-তাত্ত্বিক ভিত্তিগুলির একটি স্বতন্ত্র সমাজতাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি - টাইপ থিওরিস্টরা অনেকটা মৌলিক তাত্পর্য ছাড়াই প্রযুক্তিগত সুবিধার্থ হিসাবে একটি ছোট্ট নিয়ম থাকার কথা বলে। সবচেয়ে ছোট , নিয়মের সবচেয়ে ছোট সেট না করে নিয়মের সঠিক সেট থাকা অনেক বেশি গুরুত্বপূর্ণ ।

আমরা টাইপ তত্ত্ব করা বিকাশ ব্যবহৃত গণিতবিদ এবং প্রোগ্রামারদের দ্বারা এবং এটি খুব গুরুত্বপূর্ণ যে প্রকারের তত্ত্বের মধ্যে প্রমাণগুলি গণিতবিদ এবং প্রোগ্রামাররা সঠিক উপায়ে সম্পন্ন বলে বিবেচনা করে। এটি কারণ কারণ গণিতবিদরা সাধারণত ভাল স্টাইল হিসাবে বিবেচনা করেন সেগুলি অধ্যয়নের ডোমেনটির মূল বীজগণিত এবং জ্যামিতিক নীতিগুলি ব্যবহার করে কাঠামোগত হয়। আপনার যদি জটিল এনকোডিংগুলি ব্যবহার করতে হয় তবে অনেকগুলি কাঠামো হারিয়ে গেছে বা অস্পষ্ট।

এ কারণেই এমনকি প্রপোজেনাল ক্লাসিকাল লজিকের টাইপ-তাত্ত্বিক উপস্থাপনাগুলি সমস্ত লজিকাল সংযোগগুলি অবিচ্ছিন্নভাবে দেয়, যদিও এটি কেবল ন্যানডের সাথে আনুষ্ঠানিকভাবে একটি যুক্তির সমতুল্য। অবশ্যই, সমস্ত বুলিয়ান সংযোগগুলি ন্যান্ডের সাথে এনকোড করা যেতে পারে, তবে সেই এনকোডিংটি যুক্তির কাঠামোকে অস্পষ্ট করে।

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র

এই উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! আমার সেই কাগজটি (এবং আপনার) পড়তে হবে এবং এটি আরও অর্থপূর্ণ হতে পারে। তবে, আমি ভেবেছিলাম যে মহাবিশ্বের শ্রেণিবিন্যাসটি এমনভাবে তৈরি করা হয়েছিল যাতে আপনি ভবিষ্যদ্বাণীমূলক কাজগুলি করতে পারেন: উদাহরণস্বরূপ (λএ: ইউ.এ.এ.এ: আ:) (Πএ: ইউএ → এ) দেউগারকে (:এ: আন + ১.λa: আ) (ΠA: Un.A → ক)। আমি মনে করি যে এটি ব্যাখ্যা না করা একটি আশ্চর্য সম্পাদকীয় পছন্দ, আমি জানি প্রতিটি যুক্তি পুস্তক সিএনএফ, ডিএনএফ, ন্যানড এবং আরও কয়েকটি ন্যূনতম এনকোডিংকে নির্দেশ করে। এবং যে কেউ তত্ত্ব সেট করতে ব্যবহৃত হয় তিনি তাত্পর্য প্রদর্শনের জন্য নাটদের একটি "প্রাকৃতিক" এনকোডিং প্রত্যাশা করেন। তবে এটি কেবল আমার শাস্ত্রীয় পক্ষপাতিত্ব হতে পারে।

— ব্যবহারকারী 833970

এটি আমার শেষ মন্তব্যে "অবিশ্বাস্য" হওয়া উচিত

— ব্যবহারকারী 833970

\prod (T : U_{n}) . T

$\prod (T : U_n) . T$

U_{n}

$U_n$

U_{n + 1}

$U_{n+1}$

U_{n}

$U_n$

সম্ভবত আমি মহাবিশ্বের শ্রেণিবিন্যাস সম্পর্কে কিছু ভুল বুঝছি। আমি ভেবেছিলাম যে কোন নির্দিষ্ট ইউনিভার্স কোন ধরণের রয়েছে তা আমরা কখনই যত্ন করি না, কেবল যখন আমরা কোনও প্রমাণ যাচাই করতে চাই তখন মহাবিশ্বের সংখ্যা নির্ধারণ করা যায়। সুতরাং প্রযুক্তিগতভাবে Π টি: ইউটি হ'ল মহাবিশ্বের উপর সূচকযুক্ত ধরণের একটি পরিবার। পলিমারফিক পরিচয় যেমন মহাবিশ্বের উপর সূচকযুক্ত এক ধরণের পরিবার। তবে বহুকোষী পরিচয় নিয়ে আমাদের কি একই সমস্যা নেই? আপনি যদি শেষ 2 টি বাক্যে প্রসারিত করতে পারেন তবে আমি সত্যিই এটির প্রশংসা করব, আমার মনে হয় না আমি বুঝতে পেরেছি।

— ব্যবহারকারী 833970

আপনি যখন বলেন যে এর সঠিক নির্মূলের বৈশিষ্ট্য নেই, আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন যে মহাবিশ্বটি একবার স্থির হয়ে গেলে উচ্চতর মহাবিশ্বে এমন ধরণের রয়েছে যা সরাসরি ΠT: Un.T শব্দ দ্বারা সংশ্লেষিত করা যায় না?

— ব্যবহারকারী 833970