কোনও এলোমেলো বুলিয়ান ফাংশনটিতে একটি তুচ্ছ অটোমোরফিজম গ্রুপের সম্ভাবনা কী?

Question

একটি বুলিয়ান ফাংশন দেওয়া হয়েছে $f$, আমাদের অটোমোরফিজম গ্রুপ আছে $Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$।

কোন জ্ঞাত সীমানা আছে? $Pr_f(Aut(f) \neq 1)$? ফর্ম পরিমাণের জন্য পরিচিত কিছু আছে কি?$Pr_f(G \leq Aut(f))$ কিছু দলের জন্য $G$?

Answer 1

হ্যাঁ. আপনার প্রথম প্রশ্নের জন্য, সম্ভাবনা শূন্যের দ্বিগুণ-তাত্পর্যপূর্ণ দ্রুত চলে যায়। এটি নিম্নলিখিত হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। প্রতিটি আদেশের জন্য$\pi$, আমরা সম্ভাব্যতা যে আবদ্ধ করতে পারেন $\pi \in Aut(f)$, অর্থাৎ $f(\pi(x)) = f(x)$ সবার জন্য $x \in \{0,1\}^n$। এর কক্ষপথ বিবেচনা করুন$\pi$ ভারপ্রাপ্ত $\{0,1\}^n$। আমাদের তা আছে$\pi$ এর একটি অটোমোরফিজম $f$ iff $f$ স্থির হয় $\pi$-orbits। যদি$\pi$ অনানুষ্ঠানিক, এটির কমপক্ষে একটি কক্ষপথ চালু আছে $[n]$ এটি কোনও সিঙ্গলটন নয় এবং তাই কমপক্ষে কক্ষপথের দিকে $\{0,1\}^n$এটি একটি সিঙ্গলটন নয়। ধরুন যে কক্ষপথ আছে$k$এটি উপাদান। সম্ভাবনা যে$f$ যে কক্ষপথ স্থির হয় এইভাবে অবিকল $2^{-(k-1)}$। হটাত যদি$\pi$ ভারপ্রাপ্ত $[n]$ হয়েছে $c_1$ নির্দিষ্ট পয়েন্ট, $c_2$ দৈর্ঘ্য 2 ইত্যাদির চক্র (বিশেষত $\sum_{i=1}^n i c_i = n$)। তারপরে পয়েন্টের সংখ্যা$\{0,1\}^n$ দ্বারা স্থির $\pi$ অবিকল $2^{\sum_i c_i}$। বাকি সমস্ত পয়েন্ট$\{0,1\}^n$ এর অনাকাঙ্ক্ষিত কক্ষপথে রয়েছে $\pi$। সম্ভাব্যতা উপরের আবদ্ধ$\pi \in Aut(f)$, নোট করুন যে সর্বোত্তম সম্ভাবনা হ'ল যদি সমস্ত অ-স্থির উপাদানগুলি $\{0,1\}^n$ আকার 2 এর কক্ষপথে আসা। সুতরাং আমরা এটি পেতে $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$ কোথায় $M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$। এখন, আমরা একটি নিম্ন বাউন্ড চাই$M$, যার অর্থ আমরা একটি উপরের আবদ্ধ চাই $\sum_i c_i$। থেকে$\pi \neq 1$, বৃহত্তম $\sum c_i$ যখন হতে পারে $c_1 = n-2$ এবং $c_2 = 1$অর্থাৎ $\sum c_i = n-1$ এবং $M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$তাই $M \geq 2^{n-1}$ এবং $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$। এবার ইউনিয়ন বেঁধে প্রয়োগ করুন:$|S_n| = n!$তাই $Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$, যা মূলত $2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$ যেমন $n \to \infty$, বেশ দ্রুত।

যে কোনও দেওয়া $G \leq S_n$ আপনি অনুরূপ যুক্তি ব্যবহার করতে পারেন, তবে সম্ভাবনাটিও খুব দ্রুত শূন্যে চলে যাবে।

Comments

কক্ষপথে অচল থাকার সম্ভাবনা $ 2 ^ k - k k হবে না?

— স্যামুয়েল শ্লেঞ্জিংগার

যাইহোক এর জন্য ধন্যবাদ, এটি আমাকে গ্রাফ সংস্করণের প্রমাণের অনেক স্মরণ করিয়ে দেয়।

— স্যামুয়েল শ্লেঞ্জিংগার

ওহ, আমি দেখতে পাচ্ছি কেন এটি $2^{-(k-1)}$

— স্যামুয়েল শ্লেসিংগার

@ সামুয়েলশ্লেঞ্জিংগার: হ্যাঁ, একই রকম। আমি মনে করি এটি এক্ষেত্রে আরও সহজ because$\sim 2^{n^2 - n \lg n}$।

— জোশুয়া গ্রাচো 25'18