কোনও এলোমেলো বুলিয়ান ফাংশনটিতে একটি তুচ্ছ অটোমোরফিজম গ্রুপের সম্ভাবনা কী?


9

একটি বুলিয়ান ফাংশন দেওয়া হয়েছে f, আমাদের অটোমোরফিজম গ্রুপ আছে Aut(f)={σSn x,f(σ(x))=f(x)}

কোন জ্ঞাত সীমানা আছে? Prf(Aut(f)1)? ফর্ম পরিমাণের জন্য পরিচিত কিছু আছে কি?Prf(GAut(f)) কিছু দলের জন্য G?

উত্তর:


4

হ্যাঁ. আপনার প্রথম প্রশ্নের জন্য, সম্ভাবনা শূন্যের দ্বিগুণ-তাত্পর্যপূর্ণ দ্রুত চলে যায়। এটি নিম্নলিখিত হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। প্রতিটি আদেশের জন্যπ, আমরা সম্ভাব্যতা যে আবদ্ধ করতে পারেন πAut(f), অর্থাৎ f(π(x))=f(x) সবার জন্য x{0,1}n। এর কক্ষপথ বিবেচনা করুনπ ভারপ্রাপ্ত {0,1}n। আমাদের তা আছেπ এর একটি অটোমোরফিজম f iff f স্থির হয় π-orbits। যদিπ অনানুষ্ঠানিক, এটির কমপক্ষে একটি কক্ষপথ চালু আছে [এন] এটি কোনও সিঙ্গলটন নয় এবং তাই কমপক্ষে কক্ষপথের দিকে {0,1}এনএটি একটি সিঙ্গলটন নয়। ধরুন যে কক্ষপথ আছেএটি উপাদান। সম্ভাবনা যে যে কক্ষপথ স্থির হয় এইভাবে অবিকল 2-(-1)। হটাত যদিπ ভারপ্রাপ্ত [এন] হয়েছে 1 নির্দিষ্ট পয়েন্ট, 2 দৈর্ঘ্য 2 ইত্যাদির চক্র (বিশেষত Σআমি=1এনআমিআমি=এন)। তারপরে পয়েন্টের সংখ্যা{0,1}এন দ্বারা স্থির π অবিকল 2Σআমিআমি। বাকি সমস্ত পয়েন্ট{0,1}এন এর অনাকাঙ্ক্ষিত কক্ষপথে রয়েছে π। সম্ভাব্যতা উপরের আবদ্ধπএকজনতোমার দর্শন লগ করাটি(), নোট করুন যে সর্বোত্তম সম্ভাবনা হ'ল যদি সমস্ত অ-স্থির উপাদানগুলি {0,1}এন আকার 2 এর কক্ষপথে আসা। সুতরাং আমরা এটি পেতে পিR(πএকজনতোমার দর্শন লগ করাটি())(1/2)এম/2 কোথায় এম=2এন-2Σআমিআমি। এখন, আমরা একটি নিম্ন বাউন্ড চাইM, যার অর্থ আমরা একটি উপরের আবদ্ধ চাই ici। থেকেπ1, বৃহত্তম ci যখন হতে পারে c1=n2 এবং c2=1অর্থাৎ ci=n1 এবং M=2n2n1=2n1তাই M2n1 এবং Pr(πAut(f))(1/2)2n2। এবার ইউনিয়ন বেঁধে প্রয়োগ করুন:|Sn|=n!তাই Pr((πSn)[π1 and πAut(f)])n!22n2, যা মূলত 2nlgn2n20 যেমন n, বেশ দ্রুত।

যে কোনও দেওয়া GSn আপনি অনুরূপ যুক্তি ব্যবহার করতে পারেন, তবে সম্ভাবনাটিও খুব দ্রুত শূন্যে চলে যাবে।


কক্ষপথে অচল থাকার সম্ভাবনা $ 2 ^ k - k k হবে না?
স্যামুয়েল শ্লেঞ্জিংগার

1
যাইহোক এর জন্য ধন্যবাদ, এটি আমাকে গ্রাফ সংস্করণের প্রমাণের অনেক স্মরণ করিয়ে দেয়।
স্যামুয়েল শ্লেঞ্জিংগার

1
ওহ, আমি দেখতে পাচ্ছি কেন এটি 2(k1)
স্যামুয়েল শ্লেসিংগার

1
@ সামুয়েলশ্লেঞ্জিংগার: হ্যাঁ, একই রকম। আমি মনে করি এটি এক্ষেত্রে আরও সহজ because2n2nlgn
জোশুয়া গ্রাচো 25'18
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.