বহুভুজ প্রতিবন্ধকতাগুলির সাথে প্লেনে সংক্ষিপ্ততম পাথের কম্পিউটিংয়ের জটিলতা

ধরুন আমরা সমতল বিভিন্ন অসংলগ্ন করা সহজ বহুভুজ দেওয়া হয়, এবং দুই পয়েন্ট এবং প্রত্যেক বহুভুজ বাইরে। ইউক্লিডিয়ান সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথের সমস্যাটি হল ইউক্লিডিয়ান সবচেয়ে সংক্ষিপ্ততম পথটি থেকে পর্যন্ত গণনা করা যা কোনও বহুভুজের অভ্যন্তরকে ছেদ করে না। সংক্ষিপ্ততার জন্য, আসুন আমরা ধরে নিই যে এবং এর স্থানাঙ্কগুলি এবং প্রতিটি বহুভুজের শীর্ষাংশের স্থানাঙ্কগুলি পূর্ণসংখ্যা হয়। $s$ $t$ $s$ $t$ $s$ $t$

এই সমস্যাটি কি বহুপদী সময়ে সমাধান করা যায়?

বেশিরভাগ গণনামূলক ভূ-তাত্ক্ষণিকরা তাত্ক্ষণিকভাবে হ্যাঁ বলতেন, অবশ্যই: জন হার্শবার্গার এবং সুভাষ সুরি একটি অ্যালগরিদম বর্ণনা করেছেন যা সময়ের ইউক্যালিডিয়ান সবচেয়ে ছোট পাথগুলি গণনা করে , এবং এই সময়সীমাটি বীজগণিত গণনা গাছের মডেলটিতে সর্বোত্তম। দুর্ভাগ্যক্রমে, হার্শবার্গার এবং সুরির অ্যালগোরিদম (এবং এর আগে এবং এর আগে প্রায় সমস্ত সম্পর্কিত অ্যালগরিদম) নিম্নলিখিত শক্তিশালী অর্থে সঠিক আসল গাণিতিক প্রয়োজন বলে মনে হচ্ছে । $O(n\log n)$

একটি বহুভুজীয় পাথকে বৈধ কল করুন যদি এর সমস্ত অভ্যন্তরীণ প্রান্তগুলি বাধা শীর্ষে থাকে; প্রতিটি ইউক্লিডিয়ান সংক্ষিপ্ত পথটি বৈধ। যে কোনও বৈধ পাথের দৈর্ঘ্য হল পূর্ণসংখ্যার বর্গমূলের যোগফল। সুতরাং, দুটি বৈধ পাথের দৈর্ঘ্যের তুলনা করার জন্য দুটি অঙ্কের বর্গাকার মূলের তুলনা করা দরকার, যা আমরা বহুপক্ষীয় সময়ে কীভাবে করব তা জানি না ।

তদুপরি, এটি সম্পূর্ণরূপে বোধগম্য বলে মনে হচ্ছে যে সমষ্টি-বর্গ-শিকড় সমস্যার একটি স্বেচ্ছাসেবী উদাহরণটি সমতুল্য ইউক্লিডিয়ান সংক্ষিপ্ত-পথ সমস্যার ক্ষেত্রে হ্রাস করা যেতে পারে।

সুতরাং: ইউক্লিডিয়ান সবচেয়ে সংক্ষিপ্ততম পাথগুলি গণনা করার জন্য কি বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে? নাকি সমস্যা এনপি-হার্ড? বা বর্গ-শিকড়-এর যোগফল ? অথবা অন্য কিছু?

কয়েকটি নোট:

কমপক্ষে বহুভুজের একটি ত্রিভুজ যদি দেওয়া হয় তবে স্ট্যান্ডার্ড ফানেল অ্যালগরিদম ব্যবহার করে কোনও অদ্ভুত সংখ্যাসূচক সমস্যা ছাড়াই সময়ের মধ্যে একটি বহু বা বহু) ভিতরে বহুভুজ গণনা করা যায় । $O(n)$
অনুশীলনে, ভাসমান-বিন্দু নির্ভুলতা পর্যন্ত সংক্ষিপ্ততম পাথগুলি গণনা করার জন্য ভাসমান-পয়েন্ট গণিত যথেষ্ট sufficient আমি কেবল সঠিক সমস্যার জটিলতায় আগ্রহী ।
জন ক্যানি এবং জন রেফ প্রমাণ করেছেন যে 3-স্পেসের সাথে সম্পর্কিত সমস্যাটি এনপি-হার্ড (নৈতিকভাবে কারণ সেখানে সংক্ষিপ্ততম পাথের ক্ষতিকারক সংখ্যক সংখ্যা থাকতে পারে)। জোওনসো চোই, জার্গেন সেলেন এবং চি-কং ইয়াপ বহু-কাল-প্রায় আনুমানিক স্কিম বর্ণনা করেছেন।
সাইমন কাহান এবং জ্যাক স্নয়েইঙ্ক একটি সাধারণ বহুভুজের মধ্যে ন্যূনতম-লিঙ্ক পাথ সম্পর্কিত সম্পর্কিত সমস্যার জন্য একই রকম বিষয় বিবেচনা করেছিলেন।

— Jeffε
সূত্র

স্কোয়ার-শিকড়গুলির শক্ত সমস্যার যোগফলের তালিকা থাকলে এটি দুর্দান্ত হবে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

এটি সিস্টিরির জন্য একটি নিখুঁত প্রশ্নের মতো শোনাচ্ছে। আপনি এটি জিজ্ঞাসা করবেন না কেন?

— পিটার শোর

সম্পন্ন হয়েছে: cstheory.stackexchange.com/questions/4053/…

— জেফি

হতে পারে আমি কিছু মিস করছি, তবে যদি আমরা "সহজ" কেসটি বিবেচনা করি, যেখানে সমস্ত প্রতিবন্ধকতাগুলি পয়েন্টস, তবে আমাদের একটি প্ল্যানার গ্রাফের দুটি শীর্ষের মধ্যে সংক্ষিপ্ততম পথটি গণনা করার সমস্যা রয়েছে, যা যদি আমি ভুল না করি তবে এটি জানা যায় বর্গক্ষেত্রের শিকড়গুলির শক্ত হিসাবে

গীত। আমি একটি উত্তর নয়, একটি মন্তব্য যুক্ত করতে চেয়েছিলাম, তবে কীভাবে তা খুঁজে পাচ্ছি না। আমি সেটার জন্য ক্ষমা চাচ্ছি. প্রশাসকরা কি আমাকে এটিতে সাহায্য করতে পারেন?

— ইলিয়াস
সূত্র

স্ট্যাকেক্সচেঞ্জে একটি মন্তব্য পোস্ট করার জন্য আপনার 50 টি খ্যাতি দরকার। আরও বিশদ এখানে: cstheory.stackexchange.com/privileges/comment । যেহেতু আপনি কিছু তথ্য সরবরাহ করছেন, আমার ধারণা এটি উত্তর হিসাবে পোস্ট করা ঠিক।

— চ্যাজিসপ

"সহজ" ক্ষেত্রে যেখানে প্রতিবন্ধকতাগুলি পয়েন্ট রয়েছে, ইউক্লিডিয়ান সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথ (বা আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, অনন্য পথ) সর্বদা একটি সরল রেখাংশ হয় এবং এটি গণনা তুচ্ছ হয়। তবে এমনকি ইউক্লিডিয়ান প্রান্ত দৈর্ঘ্যের প্ল্যানার গ্রাফের সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথগুলির জন্য, আপনার কাছে কী পরিমাণের মূলের কঠোরতার জন্য উল্লেখ রয়েছে? (চার-মাত্রিক গ্রাফের জন্য হ্রাস দেখতে অসুবিধা নয়, কারণ প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার সর্বাধিক চারটি নিখুঁত স্কোয়ারের যোগফল))

— জেফে

4 k + 1

$4k+1$

তুমি ঠিক. "সহজ" কেসটি বরং তুচ্ছ একটি ঘটনা।

— ইলিয়াস