বিবৃতিটির সাধারণীকরণ যে কোনও মনোয়েড ভাষা স্বীকৃতি দেয় যদি সিন্ট্যাক্টিক মোনয়েড মনোয়েডকে বিভক্ত করে

Question

দিন $A$একটি সীমাবদ্ধ বর্ণমালা হতে। প্রদত্ত ভাষার জন্য$L \subseteq A^{\ast}$অন্বিত monoid $M(L)$আনুষ্ঠানিক ভাষা তত্ত্বের একটি সুপরিচিত ধারণা। তদ্ব্যতীত, একটি একঘেয়ে$M$ একটি ভাষা স্বীকৃতি দেয় $L$ যদি সেখানে কোন মরফিজম থাকে $\varphi : A^{\ast} \to M$ যেমন যে $L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$।

তারপরে আমাদের দুর্দান্ত ফলাফল রয়েছে:

একটি একঘেয়ে $M$ স্বীকৃতি $L \subseteq A^{\ast}$ যদি $M(L)$ এর সাবমনয়েডের হোমোমর্ফিক ছবি $M$ (রাইটেন হিসাবে $M(L) \prec M$)।

উপরেরটি নিয়মিত ভাষার প্রসঙ্গে সাধারণত বর্ণিত হয় এবং তারপরে উপরের মনোয়েডগুলি সমস্ত সীমাবদ্ধ।

এখন ধরা যাক আমরা বিকল্প $A^{\ast}$ একটি নির্বিচারে মনোয়েড সঙ্গে $N$, এবং আমরা বলি যে একটি উপসেট $L \subseteq N$ দ্বারা স্বীকৃত হয় $M$ যদি কোনও মরফিজম থাকে $\varphi : N \to M$ যেমন যে $L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$। তারপর আমাদের এখনও আছে যদি$M$ স্বীকৃতি $L$তাহলে $M(L) \prec M$ (এস আইলেনবার্গ, অটোমাতা, মেশিনস এবং ল্যাঙ্গুয়েজস, খণ্ড খ) দেখুন, তবে কনভার্সটি কী ধরে রাখে?

প্রুফ জন্য $A^{\ast}$ কথোপকথন সম্পত্তি শোষণ করে প্রমাণিত হয় যে যদি $N = \varphi(M)$ কিছু আকারে জন্য $\varphi : M \to N$ এবং $\psi : A^{\ast} \to N$ এছাড়াও একটি মরফিজম হয়, তবে আমরা খুঁজে পেতে পারি $\rho : A^{\ast} \to M$ যেমন যে $\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$ হোল্ড, কেবল কিছু চয়ন করে $\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$ প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $x \in A$ এবং এটিকে একটি আকারে প্রসারিত করে $A^{\ast}$ প্রতি $M$। তবে এটি স্বেচ্ছাচারী মনোয়েডগুলির পক্ষে কাজ করে না$N$সুতরাং আমি আশা করি উপরোক্ত কথোপকথনটি তখন ভুল হবে। এবং যদি এটি মিথ্যা হয় তবে পাশে কী ধরণের মনয়েড$A^{\ast}$ এটি কি এখনও সত্য, এবং সেই মনো মনোভাবগুলি গবেষণা সাহিত্যে কোনও মনোযোগ পেয়েছিল?

Comments

প্রথম অনুচ্ছেদের সমাপ্তি: এ এর ​​পরিবর্তে এল হবে না?

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

@ ম্যাটিউড ওলিভির ওলিভেরা হ্যাঁ, লক্ষ্য করার জন্য ধন্যবাদ!

— স্টিফানএইচ

Answer 1

হ্যাঁ, এই মনোয়েডগুলি গবেষণা সাহিত্যে মনোযোগ পেয়েছে এবং প্রকৃতপক্ষে কঠিন প্রশ্নগুলির দিকে পরিচালিত করে।

সংজ্ঞা । একটি একঘেয়ে$N$বলা হয় প্রক্ষিপ্তভাবে যদি নিম্নলিখিত সম্পত্তি ঝুলিতে যদি$f:N \to R$ এটি একটি মনোয়েড মরফিজম এবং $h:T \to R$ একটি surjective morphism হয়, তারপরে সেখানে একটি morphism বিদ্যমান $g:N \to T$ যেমন যে $f = h \circ g$।

সংজ্ঞা 4.1.33 এর ঠিক পরে [1] এ আপনি প্রজেক্টিভ মনোয়েডগুলির বিষয়ে একটি দীর্ঘ আলোচনা খুঁজে পেতে পারেন। এটি বিশেষত প্রদর্শিত হয় যে প্রতিটি প্রক্ষিষ্ট সসীম সেমিগ্রুপ একটি ব্যান্ড (একটি সেমিগ্রুপ যেখানে প্রতিটি উপাদান আদর্শবান) হয়। তবে কথোপকথনটি সত্য নয় এবং এটি সীমাবদ্ধ সেমিগ্রুপটি প্রজেটিভ কিনা তা সিদ্ধান্ত নিতে এটি একটি খোলামেলা সমস্যা।

[১] জে রোডস এবং বি। স্টেইনবার্গ, দ্য$q$সীমাবদ্ধ সেমিগ্রুপগুলির তত্ত্ব । অঙ্কে স্প্রিংগার মনোগ্রাফ। স্প্রিঞ্জার, নিউ ইয়র্ক, ২০০৯। Xxii + 666 পিপি আইএসবিএন: 978-0-387-09780-0

Comments

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! তবে এই সম্পত্তিটি কি সত্যই প্রয়োজনীয়, আমি বলতে চাই এটি যথেষ্ট, তবে সিনট্যাকটিক মনোয়েডের "বিভাগ সম্পত্তি" কি সাধারণভাবে ব্যর্থ হয় এবং যদি তাই হয় তবে আপনার কাছে একটি উদাহরণ রয়েছে (বা পাল্টা উদাহরণ হিসাবে যদি সিনট্যাকটিক মনোয়েড অন্য মোনয়েডকে বিভক্ত করে তবে , তারপরে অন্য মনয়েডগুলি কী উপসেটটি চিনতে পারে যা থেকে সিনট্যাকটিক মনোয়েড নির্মিত হয়)?

— স্টিফানএইচ