কিভাবে ছোট সঙ্গে সার্কিট জটিলতা একটি ফাংশন একটি স্তরপূর্ণ বুলিয়ান বর্তনী হতে পারে

একটি ফাংশন বিবেচনা একটি বুলিয়ান বর্তনী দ্বারা নির্ণিত সঙ্গে আকারের ইনপুট ভিত্তিতে উপর ( গেটের জন্য অগণিত 2 সহ ) $f$ $C$ $n$ $s(n) = \mathsf{poly}(n)$ $\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}$ $\mathsf{XOR},\mathsf{AND}$

একটি বুলিয়ান সার্কিট স্তরযুক্ত হয় যদি এটি ফটকগুলির স্তর ( সার্কিটের গভীরতা) করে সাজানো যায় তবে দুটি গেটের মধ্যবর্তী যে কোনও প্রান্তটি সংলগ্ন স্তরগুলিকে সংযুক্ত করে। $d$ $d$

প্রদত্ত যে আকারের একটি বুলিয়ান বর্তনী হয়েছে , আমরা একটি স্তরপূর্ণ বর্তনী কম্পিউটিং আকার সম্পর্কে কি বলতে পারেন ? একটি তুচ্ছ ওপেন বাউন্ড রয়েছে: একটি প্রান্ত দিয়ে অতিক্রম করা প্রতিটি স্তরে ডামি নোড যুক্ত করে আমরা বেশিরভাগ আকারের একটি স্তরযুক্ত সার্কিট পাই । তবে আমরা কি সাধারণভাবে (উদাহরণস্বরূপ , বা ), বা সার্কিটগুলির আকর্ষণীয় শ্রেণীর জন্য আরও উন্নত করতে পারি ? $f$ $s$ $f$ $C$ $O(s^2)$ $O(s\cdot \log s)$ $O(s)$

পটভূমি। এই প্রশ্নটি ক্রিপ্টোগ্রাফির সাম্প্রতিক ফলাফল থেকে উদ্ভূত হয়েছে যা দেখায় যে কীভাবে সুরক্ষিতভাবে আকারের স্তরযুক্ত বুলিয়ান সার্কিটগুলি যোগাযোগের (যেমন বা সাথে গণনা করা যায় ; আমি সাধারণ সার্কিটের জন্য বা "প্রাকৃতিক" সার্কিটগুলির জন্য, স্তরযুক্ত বুলিয়ান সার্কিটগুলিতে এই সীমাবদ্ধতাটি কতটা নিষিদ্ধ হতে পারে তা বোঝার চেষ্টা করছি। তবে আমি সাহিত্যে স্তরযুক্ত সার্কিট সম্পর্কে খুব বেশি কিছু পাইনি; উপযুক্ত পয়েন্টার এছাড়াও স্বাগত জানানো হবে। $s$ $o(s)$ $s/\log s$ $s/\log\log s)$

circuit-complexity circuits

— জিওফ্রয়ের কৌটাউ
সূত্র

এখানে এমন একটি সার্কিটের একটি উদাহরণ যা আকারের উল্লেখযোগ্য ধাক্কা ছাড়াই একটি স্তরযুক্ত সার্কিটে রূপান্তর করা শক্ত বলে মনে হয়। নির্ধারণ

কিছু ফাংশন যা আকার নির্ণিত করা যেতে পারে হতে

। নির্ধারণ

f : {0, 1}^{n - 1} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^{n-1} \to \{0,1\}$

u

$u$

এবং দিন

হতে

এর পুনরাবৃত্তিও

। তারপরে

এর আকার

।

চেয়ে কম আকারের একটি স্তরযুক্ত সার্কিট তৈরি করা কঠিন বলে মনে হচ্ছে। সুতরাং, যদি

, সম্ভবত আমাদের একটি সার্কিট বনাম একটি স্তরযুক্ত সার্কিটের আকারের মধ্যে একটি ব্যবধান আশা করা উচিত। একটি প্রমাণ নয়, অন্তর্দৃষ্টি চালানোর জন্য কেবল একটি পরামর্শমূলক উদাহরণ।

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{2}, \dots, x_{n}, x_{1} \oplus f (x_{2}, \dots, x_{n}))

$g(x_1,\dots,x_n) = (x_2,\dots,x_n,x_1 \oplus f(x_2,\dots,x_n))$

C

$C$

t

$t$

g

$g$

C

$C$

O (t u)

$O(tu)$

Θ (n t)

$\Theta(nt)$

u = o (n)

$u=o(n)$

— DW

যতদূর আমি মনে করি, স্তরযুক্ত সার্কিটগুলির জন্য সর্বাধিক পরিচিত নিম্নতর

ফর্মের । একটি

টু

ফাংশন জন্য প্রমাণ করা বিশেষত সহজ । উদাহরণস্বরূপ, একটি লিনিয়ার মানচিত্র

ধরুন যেখানে

কেবলমাত্র প্রধান তির্যকটিতে শূন্য রয়েছে। তারপর এটি অন্তত থাকতে হবে

প্রত্যেক স্তর এবং স্তর সংখ্যার উপর দরজা অন্তত হয়

। নোট করুন যে এই ফাংশনটি সহজেই আকারের

এর নিয়মিত সার্কিট দ্বারা গণনা করা যায়

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

n

$n$

n

$n$

A x

$Ax$

A \in {0, 1}^{n \times n}

$A \in \{0,1\}^{n \times n}$

n

$n$

\log_{2} n

$\log_2 n$

। একক আউটপুট ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য, একই নিম্ন সীমাবদ্ধ প্রমাণ করাও সম্ভব তবে তর্কটি আমার মনে নেই।

O (n)

$O(n)$

— আলেকজান্ডার এস কুলিকভ

মন্তব্যের জন্য অনেক ধন্যবাদ। @ আলেকজান্ডারএস.কুলিকভ, আপনার যুক্তি লোককাহিনী, বা স্তরযুক্ত সার্কিটগুলিতে কাজ করার কোনও পয়েন্টার আপনার আছে কি?

জ্ঞান করে তোলে - আমি খুব আশ্চর্য ছোট কিছু হত - কিন্তু

বড় হাতের আবদ্ধ পরিচিত?

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— জেফ্রয়ের কৌটাউ

আমার ধারণা এটি একটি লোককাহিনী, হ্যাঁ। আমি নিশ্চিত না যে আমি

উপরের সীমা সম্পর্কে প্রশ্নটি পেয়েছি । আপনি নিম্নলিখিত কাগজটি একবার দেখে নিতে পারেন: cs.utexas.edu/~panni/sizedepth.pdf

O (n^{2})

$O(n^2)$

— আলেকজান্ডার এস কুলিকভ

আমি মনে করি যে আমরা সাধারণভাবে

রূপান্তর চেয়ে ভাল জানি না । নোট করুন যে আকারের

এবং গভীরতা

একটি সার্কিট বেশিরভাগ

এ আকারের একটি স্তরযুক্ত সার্কিটে রূপান্তরিত হতে পারে । (যা আমাদের নিকৃষ্টতম আকারের আকার

একটি সার্কিট দেয়

) আমি কেবল এটি উল্লেখ করতে চেয়েছিলাম যে আমরা যদি একটি স্তরযুক্ত সার্কিটের আকারের উপর একটি নিম্ন সীমানা

প্রমাণ করতে পারি তবে এটি হবে আমাদের এই ফাংশনটির জন্য লগ-গভীরতার সার্কিটগুলির আকারের উপর একটি সুপার-লিনিয়ার লোয়ার বাউন্ড দিন। এই প্রশ্নটি 40 বছরেরও বেশি সময় ধরে উন্মুক্ত রয়েছে।

O (s^{2})

$O(s^2)$

s

$s$

d

$d$

d s

$ds$

O (s^{2})

$O(s^2)$

ω (n \log n)

$\omega(n\log{n})$

— অ্যালেক্স গোলভনেভ

আমি যতদূর জানি তিন স্তরের স্তরযুক্ত সার্কিট অধ্যয়ন করা হয়েছে। এই সমস্ত সংজ্ঞায় আরাকগুলি কেবল দুটি সংলগ্ন স্তরগুলির মধ্যেই অনুমোদিত।

একজন সীমা বলা হয় সমলয় ( হারপার 1977 ) সমস্ত দরজা স্তরসমূহে সাজানো থাকে যদি, এবং ইনপুট স্তর 0 এ হতে হবে (একটি সমতুল্য সংজ্ঞা: কোনো গেট জন্য $g$ , এর ইনপুট থেকে সব পাথ $g$ । একই দৈর্ঘ্য আছে)
প্রতিটি ইনপুট ঠিক একবার হলেও একটি স্বেচ্ছাসেবী স্তরে ঘটে তবে একটি সার্কিট স্থানীয়ভাবে সিঙ্ক্রোনাস হয় ( বেলাগা 1984 )।
একটি সার্কিট স্তরযুক্ত ( গল, জাং ২০১০ ) যদি গেট এবং ইনপুটগুলি স্তরগুলিতে সাজানো হয় তবে ইনপুটগুলি বিভিন্ন স্তরে একাধিকবার ঘটতে পারে। (একটি সমতুল্য সংজ্ঞা: যে কোনও গেট $g$ এবং আউটপুট গেট $o$ , $g$ থেকে $o$ পর্যন্ত পরিচালিত সমস্ত পাথের দৈর্ঘ্য একই থাকে))

এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে তিনটি শ্রেণি দুর্বল থেকে শক্তিশালীতে তালিকাবদ্ধ রয়েছে (এবং সীমিত সার্কিটের শ্রেণিটি আরও শক্তিশালী)।

একটি স্তরপূর্ণ বর্তনী কম্পিউটিং আকারের একটি অবাধ বর্তনী আকার প্রসঙ্গে $s$ আমরা নিম্নলিখিত জানেন:

আকারের কোন বর্তনী $s$ একটি সমকালীন / স্থানীয়ভাবে সমলয় / স্তরপূর্ণ আকারের বর্তনী দ্বারা নির্ণিত করা যেতে পারে $s^2$ ( Wegener 1987, বিভাগ 12.1 )।
এটি একটি স্পষ্ট ফাংশন যা সমকালীন / স্থানীয়ভাবে সমলয় / স্তরপূর্ণ আকারের বর্তনী প্রয়োজন খুঁজে পাওয়া কঠিন হওয়া উচিত $\omega(s\log{s})$ । প্রকৃতপক্ষে, মাপের $s$ এবং গভীরতা $d$ প্রতিটি সার্কিটকে আকার $O(sd)$ সিঙ্ক্রোনাস সার্কিট দ্বারা গণনা করা যেতে পারে ( ওয়েজনার 1987, বিভাগ 12.1 )। সুতরাং, একটি সুনির্দিষ্ট ফাংশন এমনকি যদি আমরা আছে $f$ যা আকারের সমলয় সার্কিট প্রয়োজন $\omega(n\log{n})$ , (অবাধ সার্কিট ক্লাসে তার জটিলতা নির্বিশেষে) তাহলে $f$ গভীরতার $O(\log{n})$ এবং আকার $O(n)$ একটি সার্কিট দ্বারা গণনা করা যায় না , যা সার্কিট জটিলতায় দীর্ঘকালীন উন্মুক্ত প্রশ্নের উত্তর দেয় ( ভ্যালেন্ট 1977 )।
সুস্পষ্ট ফাংশন বিদ্যমান

3.1। সঙ্গে $\Omega(n\log{n})$ কম জন্য আবদ্ধ সমলয় সার্কিট কিন্তু $O(n)$ উপরের জন্য আবদ্ধ স্থানীয়ভাবে সমলয় সার্কিট ( Turan 1989 )।

$\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

$n$

$f\colon\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$ $i$ $i$ $O(n)$ $\log{n}$ $n$ $n$ $f$ $\Omega(n\log{n})$ $n-1$ $\Omega(\log{n})$ $n$ $n$

— অ্যালেক্স গোলভনেভ
সূত্র