4 টি চক্রের সংখ্যা

Question

যাক $C_4$ চার ছেদচিহ্ন সঙ্গে একটি চক্র হতে। একটি অবাধ গ্রাফের জন্য $G$ সঙ্গে $n$ ছেদচিহ্ন ও মি প্রান্ত বলে $m>n\sqrt n$ , কতগুলি$C_4$এস বিদ্যমান? এটির জন্য কি কোনও নিম্ন আবদ্ধ আছে?

Comments

এটি কি তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের গবেষণা স্তরের প্রশ্ন ?

— পিটার মর্টেনসেন

Answer 1

হ্যাঁ, এটি জানা যায়। জন্য $d = \Omega(n^{1/2})$ পর্যাপ্ত বৃহৎ অন্তর্নিহিত ধ্রুবক সঙ্গে, কোনো $n$ গড় ডিগ্রী -node গ্রাফ $d$ হয়েছে $\Omega(d^4)$ মোট $C_4$ সে। এটি সর্বোত্তম সম্ভব কারণ এটি এলোমেলো গ্রাফ দ্বারা উপলব্ধি করা হয়েছে।

এর জন্য আমি প্রথম দিকের রেফারেন্সটি জানি, এরদোস এবং সিমোনোভিটসের "কিউব-সুপারস্যাচুরেটেড গ্রাফস এবং সম্পর্কিত সমস্যাগুলি", যেখানে প্রমাণ ছাড়াই দাবি করা হয়েছে। এখানে অনেক প্রমাণ আছে, আমার মাথার উপরের অংশটি এখানে লেম্মা 3 দেখুন ।