কনস্ট্রাকশনের ক্যালকুলাসের শক্তিশালী সাধারণকরণের প্রুফ বোঝা

নির্মাণের ক্যালকুলাসের জন্য দৃ normal় স্বাভাবিকের প্রমাণ বুঝতে আমার অসুবিধা আছে। আমি হারমান জিউভার্স "কনস্ট্রাকশনস এর ক্যালকুলাস ফর স্ট্রং নরমালাইজেশনের একটি সংক্ষিপ্ত এবং নমনীয় প্রমাণ" পত্রিকায় প্রমাণটি অনুসরণ করার চেষ্টা করি।

আমি যুক্তির মূল লাইনটি ভালভাবে অনুসরণ করতে পারি। Geuvers প্রতিটি ধরণের জন্য নির্মাণ $T$ একটি ব্যাখ্যা $[\![T]\!]_\xi$ টাইপ ভেরিয়েবলের কিছু মূল্যায়নের ভিত্তিতে $\xi(\alpha)$ । এবং তারপরে তিনি কিছু শব্দ ব্যাখ্যা করেন $(\!|M|\!)_\rho$ শব্দ ভেরিয়েবলের কিছু মূল্যায়নের ভিত্তিতে $\rho(x)$ এবং প্রমাণ করে যে বৈধ মূল্যায়নের জন্য দৃ the়তা $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ সবার জন্য $\Gamma\vdash M:T$ ঝুলিতে।

আমার সমস্যা: সহজ প্রকারের জন্য (সিস্টেম এফ টাইপের মতো) ধরণের ব্যাখ্যার জন্য $[\![T]\!]_\xi$ সত্যই শর্তাবলী একটি সেট, তাই জোর $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ জ্ঞান করে তোলে। তবে আরও জটিল ধরণের ব্যাখ্যার জন্য $[\![T]\!]_\xi$ পদগুলির সেট নয় কিছু উপযুক্ত ফাংশন স্পেসের ফাংশনগুলির সেট। আমি মনে করি, আমি প্রায় ফাংশন স্পেসগুলির নির্মাণগুলি বুঝতে পারি, তবে এটির কোনও অর্থ বরাদ্দ করতে পারে না $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ আরও জটিল ধরণের জন্য $T$ ।

প্রমাণের আরও কিছু বোধগম্য উপস্থাপনাগুলিকে কেউ ব্যাখ্যা বা লিঙ্ক দিতে পারেন?

সম্পাদনা: প্রশ্নটি আরও পরিষ্কার করার চেষ্টা করি। একটি প্রসঙ্গ $\Gamma$ টাইপ ভেরিয়েবলের জন্য ঘোষণা রয়েছে rations $\alpha:A$ এবং অবজেক্ট ভেরিয়েবল একটি ধরণের মূল্যায়ন সকলের জন্য বৈধ for $(\alpha:A) \in \Gamma$ সঙ্গে $\Gamma\vdash A:\square$ তারপর $\xi(\alpha) \in \nu(A)$ বৈধ. কিন্তু $\nu(A)$ একটি উপাদান হতে পারে $(SAT)^*$ এবং তাই না $SAT$ । সুতরাং কোনও বৈধ মেয়াদ মূল্যায়ন এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা যায় না $\rho(\alpha)$ । $\rho(\alpha)$ অবশ্যই একটি পদ থাকতে হবে এবং কোনও ফাংশন স্পেসের কিছু ফাংশন নয়।

সম্পাদনা 2: উদাহরণ যা কাজ করে না

আসুন নীচের বৈধ উপার্জনটি করা যাক:

\begin{array}{llll} [] & ⊢ & * : ◻ & axiom \\ [α : *] & ⊢ & α : * & variable introduction \\ [α : *] & ⊢ & * : ◻ & weaken \\ [] & ⊢ & (Π α : * . *) : ◻ & product formation \\ [β : Π α : * . *] & ⊢ & β : (Π α : * . *) & variable introduction \end{array}

$\begin{array}{llll} [] &\vdash & *:\square &\text{axiom} \\ [\alpha:*] &\vdash& \alpha:* &\text{variable introduction} \\ [\alpha:*] &\vdash& *:\square &\text{weaken} \\ [] &\vdash & (\Pi \alpha:*.*):\square &\text{product formation} \\ [\beta:\Pi \alpha:*.*] &\vdash& \beta:(\Pi \alpha:*.*) &\text{variable introduction} \end{array}$

শেষ প্রসঙ্গে একটি বৈধ ধরণের মূল্যায়ন সন্তুষ্ট করতে হবে $\xi(\beta) \in \nu(\Pi \alpha:*.*) = \{f| f:\text{SAT} \to \text{SAT}\}$ । এই ধরণের মূল্যায়নের জন্য কোনও বৈধ মেয়াদ মূল্যায়ন নেই।

— Helmut
সূত্র

এটি পড়ে অর্ধেক লোকেরা ভাববে

S A T

$SAT$ স্যাট হয়। আপনি এটি ব্যাখ্যা করা উচিত। এছাড়াও, আপনার উত্সটি কিছুটা অদ্ভুত বলে মনে হচ্ছে। দ্বিতীয় লাইনের উল্লেখ করা উচিত নয়

α

$\alpha$ এর উপসংহারে, এটি চিৎকার করে এমন কিছু পড়ল

[α : *] ⊢ * : ◻

$[\alpha : *] \vdash * : \Box$ , এটা না?

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

আমি হারমান জিউভার্সের স্বরলিপিটি ব্যবহার করছি (যা এই ডোমেনে মানক বলে মনে হচ্ছে)।

SAT

$\text{SAT}$ ল্যাম্বদা এক্সপ্রেশনগুলির সমস্ত স্যাচুরেটেড সেটগুলির সেট। আমার ডেরাইভেশনটির দ্বিতীয় লাইনের জন্য: এটি একটি খাঁটি টাইপ সিস্টেমের ভেরিয়েবলগুলির জন্য পরিচিতির নিয়ম। এই নিয়ম পড়ে

\frac{Γ ⊢ T : s}{Γ, x : T ⊢ x : T}

$\frac{\Gamma \vdash T:s}{\Gamma,x:T\vdash x:T}$ কোথায়

s

$s$ কিছু ধরণের।

— হেলমুট

আমি বুঝতে পারি আপনি কীভাবে দ্বিতীয় লাইনটি পেয়েছেন তবে এটি তৃতীয় লাইন গঠনের সঠিক ভিত্তি নয়, তাই না? কি নিয়ম তৃতীয় লাইন দেয়।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

পিটিএসের পণ্য গঠনের নিয়ম বলছে

\frac{r (s_{1}, s_{2}, s_{3}; Γ ⊢ A : s_{1}; Γ, x : A ⊢ B : s_{2}}{Γ ⊢ (Π x : A . B) : s_{3}}

$\frac{r(s_1,s_2,s_3;\, \Gamma\vdash A:s_1;\: \Gamma,x:A\vdash B:s_2}{\Gamma\vdash (\Pi x:A.B): s_3}$ । নির্মাণের ক্যালকুলাসের নিয়ম রয়েছে

r (*, *, *)

$r(*,*,*)$ । এটি আমাকে তৃতীয়টি পেতে প্রথম এবং দ্বিতীয় লাইনটি ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। তবে আমার পোস্টে আমার একটি টাইপ ছিল। তৃতীয় লাইনের ধরণটি অনুপস্থিত ছিল যা আমি এখন যুক্ত করেছি।

— হেলমুট

তারপরে প্রথম লাইনে পড়া উচিত নয়

[] ⊢ * : *

$[] \vdash * : *$ ? অথবা আপনি মিশ্রিত করেছেন?

*

$*$ এবং

◻

$\Box$ কোথাও? দ্বিতীয় লাইনটি পণ্য গঠনের নিয়মের দ্বিতীয় ভিত্তি হতে পারে না, কারণ এর অর্থ হ'ল আপনি এমন কিছু গঠনের চেষ্টা করছেন

\prod α : * . α

$\prod \alpha : * . \alpha$ পরিবর্তে

\prod α : * . *

$\prod \alpha : * . *$ ।

— আন্দ্রেজ বাউর

দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি নিশ্চিত নই যে জিউভার্স অ্যাকাউন্টের চেয়ে আরও প্রাথমিক শিক্ষামূলক বন্ধুত্বপূর্ণ সংস্থান রয়েছে। আপনি ক্রিস কেসিংহিনো থেকে এই নোটটি চেষ্টা করতে পারেন যা উদ্দীপনাজনক বিশদে বেশ কয়েকটি প্রমাণের একটি অ্যাকাউন্ট দেয়।

আমি নিশ্চিত নই যে আমি আপনার বিভ্রান্তির সূত্রটি বুঝতে পেরেছি, তবে আমি মনে করি একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হ'ল নিম্ন স্তরের লেমমা (সহকারী 5.2.14), ক্লাসিক বেরেনড্রেগট পাঠ্যে প্রমাণিত :

Γ ⊢ M : T \Rightarrow Γ ⊢ T : * or ◻

$\Gamma \vdash M:T\ \Rightarrow\ \Gamma \vdash T:*\mbox{ or }\square$

এর অর্থ যখন $[\![T]\!]_\xi$ করতে কিছু ফাংশন জটিল হতে, যদি $\Gamma \vdash M:T$ হোল্ড, তারপর $[\![T]\!]_\xi$ শর্তাবলী একটি সেট হতে হবে ।

এটি রূপরেখার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে (বিভাগ 3.1), যেখানে $(\!|t|\!)_\sigma\in[\![T]\!]_\xi$ শুধু যদি $\Gamma \vdash t:T :*$ , যা আমাদের প্রত্যাশার সাথে সীমাবদ্ধ, এটি হ'ল কোনও ধরণের ব্যাখ্যার শর্তাদির একটি সেট হওয়া আবশ্যক, অর্থাৎ ${\cal V}(*)\subseteq{\cal P}(\mathrm{Term})$ (প্রকৃতপক্ষে, ${\cal V}(*)=\mathrm{SAT}$ !)

এটা তোলে টাইপ তত্ত্ব একটি সাধারণ অবস্থা যে যদিও আমরা শুধুমাত্র করছি আগ্রহী এখানে "বেস ধরনের" এ ( $*$ ), আমাদের এখনও উচ্চতর ধরণের জিনিসগুলির জন্য শব্দার্থবিজ্ঞানের সংজ্ঞা দিতে হবে (অতএব প্রবর্তনের প্রয়োজন $\mathrm{SAT}^*$ )। তারপরে জিনিসগুলি শেষে কাজ করে, কারণ ধরণের যা কেবল ধরণের থাকে by $*$ (এবং $\square$ , তবে এটি আসলে গুরুত্বপূর্ণ নয়)।

— কোডি
সূত্র

ব্যাখ্যার জন্য ধন্যবাদ. এটি জিউভারের প্রমাণে ব্যবহৃত ফাংশনগুলি বুঝতে না পেরে আমার সমস্যা সমাধান করে। জিউভারের কাগজটি পড়ে ও পুনরায় পড়া নিয়ে আমার ইতিমধ্যে সন্দেহ ছিল তবে আপনি এটি স্ফটিক স্পষ্ট করে দিয়েছিলেন।

— হেলমুট