গ্রুপ isomorphism সমস্যার জন্য সবচেয়ে কঠিন উদাহরণটি কী?

দুটি গ্রুপ এবং আইসোমর্ফিক বলে যদি বলা হয় যে থেকে পর্যন্ত কোনও হোমোমফিজম রয়েছে যা দ্বিপ্রদর্শনীয়। গ্রুপ isomorphism সমস্যা নিম্নরূপ: দুটি গ্রুপ দেওয়া, তারা isomorphic কিনা তা পরীক্ষা করুন। একটি গোষ্ঠী ইনপুট করার বিভিন্ন উপায় আছে, দুটি বেশিরভাগই ব্যবহৃত হয় একটি কেলে টেবিল এবং একটি উত্পাদক সেট দ্বারা। এখানে আমি ধরে নিচ্ছি ইনপুট গ্রুপগুলি তাদের কেলে টেবিল দ্বারা দেওয়া হয়েছে। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে: $(G,\cdot)$ $(H, \times)$ $G$ $H$

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ দুই গ্রুপ এবং । $(G,\cdot)$ $(H,\times)$

$\textbf{Decide : }$ হল ? $G \cong H$

আসুন আমরা ধরে নিই যে $n = |G| = |H|$

গ্রুপ Isomorphism সমস্যা যখন ইনপুট গ্রুপ Cayley সারণী দেওয়া হয় হতে জানা যায় না সাধারণভাবে। যদিও এবেলিয়ান গ্রুপ বর্গের মতো গ্রুপ ক্লাস রয়েছে যার জন্য সমস্যাটি বহুপদী সময় হিসাবে জানা যায়, যে গোষ্ঠীগুলি একটি আবেলীয় গোষ্ঠীর বর্ধন, সাধারণ গোষ্ঠী ইত্যাদি এমনকি নীলপদার্থ শ্রেণির দুটি গোষ্ঠীর জন্যও ব্রুট ফোর্সের চেয়ে ভাল কোনও অ্যালগোরিদম হয় না পরিচিত। $\textbf{P}$

গ্রুপ আইসোমরফিজমের জন্য একটি ব্রুট ফোর্স অ্যালগরিদম টারজন দ্বারা প্রদত্ত, যা নীচে। যাক এবং দুটি ইনপুট গ্রুপ আছে, এবং দিন দলের উৎপাদিত সেট হতে । এটি একটি সুপরিচিত সত্য যে প্রতিটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী আকারের একটি উত্পন্ন সেট স্বীকার করে এবং যা বহুবর্ষের সময় পাওয়া যায়। উৎপাদিত সেট চিত্রের সংখ্যা থেকে homomorphism মধ্যে থেকে হয় অনেক। এখন, প্রতিটি সম্ভাব্য হোমোর্ফিজম দ্বিদ্বৈপযুক্ত কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন। সামগ্রিক রানটাইম হতে হবে । $G$ $H$ $S$ $G$ $\mathcal{O}(\log n)$ $S$ $G$ $H$ $n^{\log n}$ $n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$

আমাকে প্রথম দল কেন্দ্রে সংজ্ঞায়িত করা যাক : $G$

Z (G) = {g \in G ∣ a g = g a, \forall a \in G}

$Z(G) = \{g \in G \mid ag=ga, \forall a \in G\}$

$Z(G)$ গ্রুপ উপাদান উল্লেখ করে যা দলের অন্য সব উপাদানের সঙ্গে যাত্রা করার । যে গোষ্ঠীগুলির জন্য (/ ভাগফলের জন্য ব্যবহৃত) হ'ল একটি নীলবিত্ত শ্রেণীর দুটি গ্রুপ হিসাবে পরিচিত। আমার কাছে এটি উপস্থিত হয় যে নিলপোটেন্ট ক্লাস দুটি গ্রুপ গ্রুপ আইসোমর্ফিজম সমস্যা সমাধানের পক্ষে সবচেয়ে শক্ত উদাহরণ। "কঠোর উদাহরণস্বরূপ" এর অর্থ হ'ল: এই কেসটি সমাধান করা গবেষকরা যারা গ্রুপ থিওরিতে কাজ করে তাদের একটি বিশাল সংখ্যক গোষ্ঠীর আইসোমরফিজম সমস্যা সমাধানের অনুমতি দেবে। $G$ $G$ $G/Z(G)$

প্রাথমিকভাবে, আমি ভেবেছিলাম যে সহজ গ্রুপ কঠিন দৃষ্টান্ত হিসাবে তারা সব দলের ব্লক নির্মাণ করা হয়, কিন্তু পরে জানতে যে সহজ দলের জন্য isomorphism সমস্যা হয় এসেছিলেন । $\textbf{P}$

প্রশ্ন : গ্রুপ isomorphism সমস্যার সবচেয়ে কঠিন উদাহরণ কোনটি?

ds.algorithms gr.group-theory

— আসলে কিসের এ ভয়
সূত্র

হাই, আপনি গ্রুপ আইসোমরফিজম সমস্যার সংজ্ঞা (ইনপুট কী, আউটপুট কী) এবং / অথবা একটি রেফারেন্স পুনরায় তুলতে আপনার প্রশ্নকে কিছুটা বাড়িয়ে তোলার বিষয়ে বিবেচনা করতে পারেন? আপনি কি একটি গ্রুপের কেন্দ্রের সংজ্ঞাটি পুনরায় কল্পনা করতে পারেন? সর্বশেষে, আপনি কি পরিষ্কার করতে পারেন যে "সমাধান হিসাবে অনুমতি দিন" ("আমাদের"?) হ্রাসের অস্তিত্ব সম্পর্কে দাবি?

— a3nm

$p$ বর্গ 2 এবং এক্সপোনেন্ট এর -groups ব্যাপকভাবে গ্রুপের Isomorphism (এর hardest ক্ষেত্রে বিশ্বাস করা হয় )। ( জন্য আমাদের ঘনিষ্ঠ 4 বিবেচনা করা উচিত, যেহেতু ক্ষতিকারক 2 টি সমস্ত গ্রুপই আবেলীয় - পাঠকের পক্ষে সহজ অনুশীলন।) যদিও সাধারণ জিপিআইসো থেকে এই শ্রেণীর দলগুলিতে এখনও কোনও হ্রাস হয়নি (যদিও নীচের পয়েন্টটি দেখুন 0.5 ), এই বিশ্বাসের বেশ কয়েকটি কারণ রয়েছে। আমাকে তাদের কিছু রূপরেখা দিন। $p$ $p > 2$ $p=2$

0) ব্যবহারিক অভিজ্ঞতা (নিউম্যান, আইক, ওব্রায়ান, হল্ট, ক্যানন, উইলসন এর কাগজপত্রগুলি দেখুন ... যা জিএপি এবং এমএজিএমএতে প্রয়োগ করা আলগোরিদিমগুলি দেয়)।

0.5) [সম্পাদনা: 8/7/19] যুক্ত হ্রাস। যেমন যখন -groups উপর ম্যাট্রিক্সের সেট উৎপাদিত দ্বারা দেওয়া হয় , সমস্যা -complete [ জি-Qiao থেকে '19 ]। এছাড়াও (Cf. পয়েন্ট (4) নীচে), এর isomorphism এক্সপোনেন্ট এর -groups এবং ক্লাস করা isomorphism বহু সময় হ্রাস করা এক্সপোনেন্ট এর -groups এবং ক্লাস 2 (ইবিড।)। $p$ $\mathbb{F}_p$ $\mathsf{TI}$ $p$ $p$ $c < p$ $p$ $p$

1) কাঠামো ( দ্রবণযোগ্য হ্রাস করুন, তারপরে গ্রুপ)। প্রতিটি সসীম গোষ্ঠীতে একটি অনন্য সর্বাধিক দ্রবণযোগ্য স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী থাকে, যাকে বলা হয় দ্রাবনযোগ্য র‌্যাডিকাল, চিহ্নিত । তে কোনও অ্যাবেলিয়ান সাধারণ উপগোষ্ঠী নেই এবং এই জাতীয় গোষ্ঠীর আইসোমর্ফিিজমকে দক্ষতার সাথে অনুশীলনে পরিচালনা করা যেতে পারে ( ক্যানন-হোল্ট জে সিম্প। কম্পিউটার ) এবং তত্ত্বে ( বাবাই-কোডেনোট্টি-কিয়াও আইসিএলপি 2012 )। এমনকি গোষ্ঠীগুলির ক্ষেত্রেও যেখানে আবেলিয়ান, এর মধ্যে কয়েকটি (সময় ( জি-কিয়াও সিসিসি '14, সিকোমপ '17 ) - এ পরিচালনা করা যেতে পারে, সুতরাং, একেবারে বহুপদী নয়, তবে than এর থেকে অনেক বেশি কাছাকাছি $p$ $Rad(G)$ $G/Rad(G)$ $Rad(G)$ $n^{O(\log \log n)}$ $n^{\log n}$ । প্রধান বাধা এইভাবে দ্রবণযোগ্য (সাধারণ উপ) গোষ্ঠী হিসাবে উপস্থিত হয়। এখন, দ্রবণযোগ্য গ্রুপগুলির মধ্যে, অনেকগুলি কাঠামো রয়েছে - এটি শুরু করে যে প্রতিটি দ্রবণযোগ্য গ্রুপ তার স্লো গ্রুপগ্রুপগুলির একটি বুনন পণ্য - এবং এটি মনে হয় যে সবচেয়ে কঠিন কেসগুলি গ্রুপগুলি rou $p$ $p$

2) গণনা। অর্ডার এর গ্রুপগুলির সংখ্যা হ'ল , যেখানে prime যে কোনও প্রধানের বৃহত্তম প্রকাশক বিভাজক ( পাইবার 1993 )। অর্ডারের গ্রুপগুলির সংখ্যা কমপক্ষে ( হিগম্যান 1960 )। সুতরাং আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে উদ্বেগকারীদের মধ্যে শীর্ষস্থানীয় পদগুলির সহগ। এই অর্থে "সর্বাধিক" গ্রুপগুলি হ'ল গ্রুপগুলি (এমনকি ক্লাস 2 এবং এক্সপোনেন্ট )। একটি দীর্ঘস্থায়ী অনুমান রয়েছে যা বলে যে পূর্ববর্তী দুর্বল অর্থে "সর্বাধিক" আদেশের দলগুলির অনুপাত বলতে শক্তিশালী হতে পারে $n$ $\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$ $\mu(n)$ $n$ $p$ $n=p^m$ $p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$ $p$ $p$ $\leq n$ যা হয় -groups 1 থাকে । $p$ $n \to \infty$

3) সর্বজনীনতা (/ বন্যত্ব)। গ্রুপগুলির একটি শ্রেণিবদ্ধকরণ দেওয়ার অর্থ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ( সের্গেইচুক 1977 ) এর মধ্যে কোনও সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর (বা এমনকি আর্টিনিয়ান বীজগণিত) সমস্ত মডুলার উপস্থাপনার শ্রেণিবিন্যাস বোঝানো হয়েছে । $p$ $p$

4) নমনীয়তা। কেন বর্গ 2 এবং উচ্চতর ক্লাসের -groups? (নোট করুন যে প্রায়-সর্বাধিক শ্রেণীর গ্রুপগুলি তথাকথিত "ছোট কক্লাস", শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে, আইক এবং লেডহ্যাম-গ্রিন 2006 , উত্তরগুলি এখানেও দেখুন any ) কোনও $p$ $p$ $p$ -গোষ্ঠী একটি গ্রেডযুক্ত লাই রিংয়ের সাথে সংযুক্ত হতে পারে, যেখানে লাইয়ের রিংয়ের বন্ধনী গ্রুপের কমিটেটরের সাথে মিলে যায়। গ্রুপে সহযোগিতাটি বন্ধনীটির জন্য জ্যাকোবি পরিচয় বোঝায়, এইভাবে একটি আসল লাই রিংয়ের জন্ম দেয়। যাইহোক, নোট করুন যে যখন গ্রুপটি দ্বিতীয় শ্রেণি হয় তখন জ্যাকোবি পরিচয় তুচ্ছভাবে সন্তুষ্ট হয় (এর সমস্ত শর্তাবলী স্বয়ংক্রিয়ভাবে 0 হয়) সুতরাং এটি কাঠামোর উপর কোনও অতিরিক্ত বাধা রাখে না। এটি মূলত কেবল একটি স্বেচ্ছাসেবী স্কিউ-প্রতিসম বিলিিনার ম্যাপের সাথে মিলে যায়। জন্য এক্সপোনেন্ট এর -groups , এমনকি কমানো হয় ক্লাস থেকে বর্গ 2। $p$ $p$ $c < p$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

আপনি কি ক্লাস 2-এর সংজ্ঞাটি সম্পাদনা করতে পারবেন? গ্রুপগুলিতে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাতে কেবল নীলবিত্ত শ্রেণির উল্লেখ রয়েছে, আপনি কি মনে করেন ক্লাসের একই ধারণা?

p

$p$

— ভিনসেন্ট

হ্যাঁ, শূন্যপদ শ্রেণি।

— জোশুয়া গ্রাচো

স্পষ্টতার জন্য ধন্যবাদ!

— ভিনসেন্ট