কঠোর ইতিবাচকতার পিছনে অন্তর্দৃষ্টি?

Question

আমি ভাবছি যদি কেউ আমাকে ইনডাকটিভ ডেটা ধরণের কঠোর ইতিবাচকতা দৃ strong় স্বাভাবিককরণের গ্যারান্টি দেয় তার পিছনে অন্তর্দৃষ্টি দিতে পারে কিনা।

স্পষ্টতই, আমি দেখতে পাচ্ছি যে নেতিবাচক ঘটনাগুলি কীভাবে বিবর্তনের দিকে পরিচালিত করে, অর্থাত্ সংজ্ঞা দিয়ে:

data X where Intro : (X->X) -> X

আমরা একটি বিচ্ছিন্ন ফাংশন লিখতে পারি।

তবে আমি ভাবছি, আমরা কীভাবে প্রমাণ করতে পারি যে কঠোরভাবে ইতিবাচক প্রেরণামূলক প্রকারগুলি বিচ্যুত হওয়ার অনুমতি দেয় না ? অর্থাত্ এমন কিছু আবর্তন ব্যবস্থা রয়েছে যা আমাদের দৃ strong়-স্বাভাবিককরণের একটি প্রমাণ (যৌক্তিক সম্পর্ক বা অনুরূপ ব্যবহার করে) তৈরি করতে দেয়? এবং নেতিবাচক ঘটনাগুলির জন্য এই জাতীয় প্রমাণটি কোথায় ভেঙে যায়? কি এমন কোনও ভাল রেফারেন্স রয়েছে যা প্রস্তাবিত প্রকারের ভাষার জন্য দৃ strong় স্বাভাবিককরণ দেখায়?

Comments

আমি মনে করি ধারণাটি কঠোরভাবে ধনাত্মক প্রকারগুলি ডাব্লু টাইপগুলিতে রূপান্তর করতে পারে, ধারণা অনুসারে। অ-কঠোর-ধনাত্মক ধরণটি কক ভিলহেমস . github.io/posts/… এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয় । এটি মন্তব্য করা হয়েছে যে ইতিবাচক ধরণের

— আগদার

@ মলিক্টো ধন্যবাদ, এটি সহায়ক। তবে আমি ভেবেছিলাম যে ডাব্লু-টাইপগুলি অন্তরঙ্গ তত্ত্বে পছন্দসই আনয়ন নীতিটি দেয়নি? অন্তরঙ্গ তত্ত্বে কড়া-ধনাত্মক আগমনকারীদের জন্য আমরা কীভাবে দৃ normal় স্বাভাবিককরণের প্রমাণ করতে পারি?

— jmite

Answer 1

দেখে মনে হচ্ছে আপনি ধনাত্মক ডেটাটাইপযুক্ত টাইপ সিস্টেমের জন্য সাধারণীকরণ আর্গুমেন্টগুলির একটি ওভারভিউ চান। আমি ন্যাক্স মেন্ডলারের পিএইচডি গবেষণার সুপারিশ করব: http://www.nuprl.org/documents/Mendler/InductiveDefinition.html ।

তারিখটি যেমনটি দেখায়, এটি দুর্দান্ত ক্লাসিক কাজ। মৌলিক অনুভূতি যে পূরণবাচক হয় $\lambda$ ডাটা টাইপ জন্য একটি ইতিবাচক প্রস্তাবনামূলক ধরনের কোনো উপাদান যেমন যুক্ত করা যেতে পারে

Inductive Ord = Zero : Ord | Suc : Ord -> Ord | Lim : (Nat -> Ord) -> Ord

আমরা পাবেন:

$$\lambda(t) = 0$$ $t$ $$\lambda(\mathrm{Zero}) = 0$$ $$\lambda(\mathrm{Suc}(o)) = \lambda(o)+1$$ $$\lambda(\mathrm{Lim}(f)) = \sup_n \lambda(f\ n)$$

যেখানে ফর্মগুলির সাথে পরিসীমা নিয়ে আসে। সতর্কবাণীটি হ'ল এই ব্যাখ্যাটি কেবলমাত্র তৃতীয় ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত হয় যখন এর একটি সাধারণ ফর্ম থাকে, যার সংজ্ঞাগুলিতে কিছু যত্ন প্রয়োজন care$n$$f\ n$

এরপরে কেউ এই অর্ডিনালটিতে অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারে।

নোট করুন যে এই ডেটা প্রকারগুলি ইতিমধ্যে ধ্রুপদী সেট তত্ত্বে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেমন ডাইবজারের দ্বারা দুর্দান্ত ইন্ডাকটিভ ফ্যামিলি্স পেপারে নির্দেশিত ( http://www.cse.chalmers.se/~peterd/papers/Inductive_Famille.pdf )। যাইহোক, ফাংশন স্পেসগুলি এত বিশাল যেহেতু, প্রকারের মতো ব্যাখ্যা করার Ordজন্য সত্যিকারের বৃহত অর্ডিনালগুলির প্রয়োজন ।

Comments

ধন্যবাদ, এটি খুব সহায়ক! আপনি কি জানেন যে এই জাতীয় অর্ডিনালগুলি টাইপ থিওরিতেই সংজ্ঞায়িত করা যায়? অর্থাত্ যদি আমি আগ্রাকে ব্যবহারকারীর সাথে টাইপ থিওরির মডেল করার জন্য ইন্ডাকশন-পুনর্বিবেচনার সাথে ব্যবহার করার চেষ্টা করছিলাম (তবে কোনও অন্তর্ভুক্তি-পুনরাবৃত্তি হয়নি), আমি কি Ordসু-প্রতিষ্ঠিতত্ব প্রদর্শনের জন্য প্রয়োজনীয় অধ্যাদেশগুলি মডেল করার মতো কিছু ব্যবহার করতে পারি?

— jmite

@ জমিট, আপনি পারেন তবে গঠনমূলক তত্ত্বগুলির অধ্যক্ষগুলি কিছুটা অদ্ভুত এবং আপনি সম্ভবত সুপ্রতিষ্ঠিত আদেশ বা গাছগুলি ( মোলিক্টো যেমনটি বলেছিলেন তেমন লা ডাব্লু-টাইপ) দিয়ে কাজ করতে পারেন। একক ইউনিফর্ম ধরণের হতে পারে যা বস্তু ভাষায় প্রতিটি সূচককে সুপ্রতিষ্ঠিত করে তোলে ...

— কোডি

@ কোডি উদাহরণটি অর্ড নয় যে আপনি একটি কঠোর ইতিবাচক প্রকার দিয়েছেন?

— হেনিং বাসল্ড

@ হেনিংবাসোল্ড হ্যাঁ এটি (এ কারণেই আমি এটি চিত্রণ হিসাবে ব্যবহার করেছি!)। তবে এটি (শাস্ত্রীয়) সেট থিউরিতে অর্ডিনালের মতো হুবহু আচরণ করে না এবং অবশ্যই সমস্ত অধ্যাদেশের সেটের মতো নয় । বিশেষত, এগুলির জন্য একটি অর্ডার নির্ধারণ করা কিছুটা শক্ত hard

— কোডি

@ হেনিংব্যাসল্ডটিও আমার নোট করা উচিত যে জিমাইটের প্রশ্নটি বিশেষত কঠোর ইতিবাচক প্রকারের বিষয়ে ছিল, যদিও আরও সাধারণ সেটিংসের তথ্যও আকর্ষণীয়!

— কোডি

Answer 2

কঠোরভাবে ইতিবাচক প্রকারের বাইরে যাওয়ার আরও একটি ভাল উত্স হ'ল রাল্ফ ম্যাথসের পিএইচডি থিসিস: http://d-nb.info/956895891

তিনি ৩ য় অধ্যায়ে (কঠোরভাবে) ধনাত্মক প্রকারের সাথে সিস্টেম এফের বর্ধন সম্পর্কে আলোচনা করেছেন এবং ৯ ম অধ্যায়ে অনেক শক্তিশালী নরমালাইজেশন ফলাফল প্রমাণ করেছেন 3 অধ্যায়টিতে কয়েকটি আকর্ষণীয় ধারণা আলোচনা করা হয়েছে।

1. আমরা যেকোন প্রকারের free জন্য বিনামূল্যে ভেরিয়েবল সহ কমপক্ষে স্থির পয়েন্ট যুক্ত করতে পারি , যতক্ষণ না আমরা একঘেয়ে স্বাক্ষীর সাক্ষ্য দিতে পারি as । এই ধারণাটি আগে থেকেই মেন্ডলারের কাজের সাথে উপস্থিত রয়েছে যা কোডি উল্লেখ করেছে। এই জাতীয় সাক্ষ্যদানগুলি কোনও ধরণের ধনাত্মক প্রকারের জন্য স্বতন্ত্রভাবে উপস্থিত থাকে কারণ এগুলি সিনট্যাক্টিকভাবে একঘেয়ে হয়ে থাকে।$\rho$$\alpha$$\forall \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho \to \rho[\beta/\alpha]$

2. যখন আমরা কঠোরভাবে ধনাত্মক থেকে ধনাত্মক ধরণের দিকে চলে যাই, তখন প্ররোচনামূলক প্রকারগুলিকে আর গাছ হিসাবে দেখা যায় না (ডাব্লু-টাইপ এনকোডিং)। পরিবর্তে এগুলি অবিশ্বাস্যতার কিছু ফর্ম প্রবর্তন করে কারণ ইতিবাচক প্রেরণীয় ধরণের নির্মাণ ইতিমধ্যে প্রকারের চেয়ে বেশি পরিমাণে নির্ধারণ করে। নোট করুন যে এটি অবিশ্বাস্যতার কিছুটা হালকা রূপ, কারণ এ জাতীয় ধরণের শব্দার্থক শব্দগুলি এখনও মনোোটোন ফাংশনগুলির নিয়মিত পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।

3. ম্যাথস ইতিবাচক ইন্ডাকটিভ ধরণের কয়েকটি উদাহরণও সরবরাহ করে। বিশেষত আকর্ষণীয় হয়

   • continuations ধরণ , যেখানে মধ্যে ঘটবে না ।$\mu.\, 1 + ((\alpha \to \rho) \to \rho)$$\alpha$$\rho$
   • টাইপ যা কোনও ধরণের জন্য কাজ করে it এটিকে ধনাত্মক প্রকারে রূপান্তরিত করে। মনে রাখবেন যে এটি সিস্টেম এফ এর অবিশ্বাস্যতা খুব ভারী ব্যবহার করে।$\mu \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho[\beta/\alpha]$ρ$\rho$

ম্যাথস দ্বিগুণ অস্বীকৃতি বিশ্লেষণ করতে ধনাত্মক সূচকমূলক প্রকারগুলিও ব্যবহার করে, উদাহরণস্বরূপ, এই গবেষণাপত্রে: https://www.irit.fr/~Ralph.Matthes/papers/MatthesStabilization.pdf । তিনি প্যারিগোটের ল্যাম্বদা মিউয়ের একটি বর্ধনের সাথে পরিচয় করিয়ে দিয়েছেন এবং দৃ strong ় স্বাভাবিককরণ প্রমাণ করেছেন।$\lambda\mu$

আমি আশা করি এটি আপনার প্রশ্নের সাথে সহায়তা করে।