নির্ণায়ক ত্রুটি হ্রাস, অত্যাধুনিক?

ধরে এক একটি এলোমেলোভাবে (BPP) আলগোরিদিম আছে $A$ ব্যবহার $r$ যদৃচ্ছতা এর বিট। সফল তার সম্ভাবনা প্রশস্ত জন্য প্রাকৃতিক উপায়ে $1-\delta$ কোন মনোনীত জন্য $\delta>0$ হয়

স্বতন্ত্র রান + সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোট: $A$ স্বতন্ত্রভাবে $T=\Theta(\log(1/\delta)$ বার চালান , এবং ফলাফলের সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোট গ্রহণ করুন This এর জন্য $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ বিট প্রয়োজন, এবং চলমান $T=\Theta(\log(1/\delta))$ গুণক দ্বারা চালিত করে ।
পেয়ারওয়াইস ইন্ডিপেন্ডেন্ট রান + চেবিশেভ: $A$ "পেয়ারওয়াই-স্বতন্ত্রভাবে" $T=\Theta(1/\delta)$ বার চালান এবং একটি থ্রেশহোল্ডের সাথে তুলনা করুন এর জন্য $rT =\Theta(r/\delta)$ বিট প্রয়োজন, এবং চলমান সময়টিকে ফুটিয়ে তুলেছে একটি $T=\Theta(1/\delta)$ গুণক।

Karp, Pippenger এবং Sipser [1] (দৃশ্যত আমি আমার হাত কাগজ নিজেই পাই নি, এটি একটি দ্বিতীয় সরাসরি অ্যাকাউন্ট নিন) প্রদান করা বিকল্প শক্তিশালী নিয়মিত expanders উপর ভিত্তি করে পন্থা: মূলত দেখুন $2^r$ Expander নোড এলোমেলো বীজ হিসাবে। $r$ এলোমেলো বিট ব্যবহার করে এক্সপেন্ডারের একটি এলোমেলো নোড বাছুন এবং তারপরে

দৈর্ঘ্য একটি সংক্ষিপ্ত এলোমেলো হাটা না $T=\Theta(\log(1/\delta))$ সেখান থেকে এবং চালানোর $A$ উপর $T$ পথে নোড সংশ্লিষ্ট, সংখ্যাগরিষ্ঠতা ভোট গ্রহণের আগে বীজ। এর জন্য $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ বিটের দরকার হয় এবং চলমান $T=\Theta(\log(1/\delta))$ ফ্যাক্টর দ্বারা চালিত করে ।
সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোট গ্রহণের আগে বর্তমান নোডের সমস্ত প্রতিবেশী (বা আরও সাধারণভাবে, বর্তমান নোডের দূরত্ব এর মধ্যে সমস্ত নোড ) $A$ চালান । এর জন্য বিট বিটগুলির প্রয়োজন , এবং চলমান সময়টিকে ফ্যাক্টর দ্বারা চালিত করা হবে , যেখানে ডিগ্রি (বা দূরত্ব- পাড়ার জন্য। প্যারামিটারগুলি ভালভাবে সেট আপ করা, এটি শেষ করে এখানে। $c$ $r$ $T=d$ $d$ $d^c$ $c$ $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$

আমি যা অনুরূপ গত বুলেট, আগ্রহী নির্ণায়ক ত্রুটি কমানো। [1] এর পরে কি কোনও উন্নতি হয়েছে, on এর উপর $T$ এর নির্ভরতা হ্রাস $\delta$ ? কি বর্তমান সময়ের সেরা সাধনযোগ্য - $1/\delta^\gamma$ , যার জন্য $\gamma > 1$ ? $\gamma > 0$ ? (জন্য $\textsf{BPP}$ ? জন্য $\textsf{RP}$ ?)

দ্রষ্টব্য: আমি $\textsf{RP}$ পরিবর্তে $\textsf{BPP}$ (খুব) আগ্রহী । [২] সূচিত হিসাবে, প্রাসঙ্গিক নির্মাণগুলি তখন আর প্রসারণকারী নয়, তবে ছত্রভঙ্গকারী (উদাহরণস্বরূপ, তা-শ্মার এই বক্তৃতা নোটগুলি , উদাহরণস্বরূপ, সারণী 3)। আমি ডিটারমিনিস্টিক (অনুমোদিত $r$ চেয়ে একক বেশি এলোমেলো বিট নয় ) পরিবর্ধনের জন্য প্রয়োজনীয় সীমাগুলি খুঁজে পাই না , তবে (তাত্পর্যপূর্ণ) পরামিতিগুলির প্রাসঙ্গিক পরিসরের জন্য অত্যাধুনিক স্পষ্ট বিচ্ছুরক নির্মাণগুলি কী ।

[1] কার্প, আর।, পিপ্পেঞ্জার, এন এবং সিপসার, এম।, 1985. একটি সময়-র্যান্ডমনেস ট্রেড অফ । প্রাব্যাবিলিস্টিক কম্পিউটেশনাল জটিলতা সম্পর্কিত এএমএস সম্মেলনে (খণ্ড 111)।

[২] কোহেন, এ। এবং উইগডারসন, এ।, 1989, অক্টোবর। বিচ্ছিন্নকারী, নির্জনবাদী পরিবর্ধক এবং দুর্বল র্যান্ডম উত্স। কম্পিউটার সায়েন্সের ফাউন্ডেশনগুলির 30 তম বার্ষিক সিম্পোজিয়ামে (পৃষ্ঠা 14-19)। আইইইই।

— ক্লিমেন্ট সি।
সূত্র

আমার বোধগম্যতাটি নীচে রয়েছে (বেশিরভাগ তা-শ্মার পূর্বোক্ত বক্তৃতার নোটগুলিতে , ভ্যান মেলকিবিকের , এবং সিন্থিয়া ডকওয়ার দ্বারা লেখা । যতদূর আমি বলতে পারি, বিচ্ছিন্নভাবে আরও কয়েকটি এলোমেলো বিট বাড়িয়ে তোলার জন্য দুর্দান্ত , তবে তা না হলেও এলোমেলোভাবে 0 টি অতিরিক্ত বিট রয়েছে

— C

p o l y (1 / δ)

$\mathrm{poly}(1/\delta)$

1 / δ

$1/\delta$

এছাড়াও প্রাসঙ্গিক (কিন্তু নির্দিষ্ট প্রশ্নের উত্তর না): অনুচ্ছেদ 3.5.4, এবং সলিল Vadhan এর ধারা 4 (সমস্যা 4.6) Pseudorandomness ।

— ক্লিমেন্ট সি

$O(1/\delta)$ $\lambda$ $O(\sqrt{\delta})$ $\lambda = O(1/\sqrt{d})$

$C/\delta$ $C$ $O(1/\delta)$

$\Omega(1/\delta)$

— অতিথি
সূত্র

α > 0

$\alpha>0$

d

$d$

R = 2^{r}

$R=2^r$

λ \leq \sqrt{δ} \cdot C_{α}

$\lambda \leq \sqrt{\delta}\cdot C_\alpha$

C_{α}

$C_\alpha$

d

$d$

(N, d)

$(N,d)$

λ \leq C / \sqrt{d}

$\lambda \leq C/\sqrt{d}$

N

$N$

d

$d$

d = O_{α} (1 / δ)

$d = O_\alpha(1/\delta)$

d

$d$

d - 1

$d-1$

λ = O (1 / \sqrt{d})

$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

n

$n$

n

$n$

O (\sqrt{(\log^{3} d) / d})

$O(\sqrt{(\log^3 d)/d})$