এলোমেলো গ্রাফে একটি ছোট চক্রটি পেতে কতক্ষণ সময় লাগে?

Question

দিন $G \sim G(n, n^{-1/2})$ এলোমেলো গ্রাফ হতে $\approx n^{3/2}$প্রান্ত। খুব উচ্চ সম্ভাবনা সহ,$G$ প্রচুর আছে $4$-cycles। আমাদের লক্ষ্য এইগুলির যে কোনও একটিকে আউটপুট দেওয়া$4$- যত তাড়াতাড়ি সম্ভব সাইকেল।

ধরা যাক আমাদের অ্যাক্সেস আছে $G$ সংলগ্ন তালিকা ফর্মটিতে, আমরা স্থির সম্ভাবনার সাথে সফল হতে পারি $O(\sqrt{n})$ নিম্নলিখিত সময়: যে কোনও নোড বাছাই $v$ এবং এলোমেলো উত্পাদন শুরু $2$-পথ থেকে শুরু $v$; একবার আমরা দুটি স্বতন্ত্র খুঁজে$2$-পথগুলি যেগুলি একটি শেষ বিন্দু ভাগ করে, আমরা শেষ করেছি। সেখানে$n$ সম্ভাব্য শেষ পয়েন্টগুলি এবং জন্মদিনের প্যারাডক্সের মাধ্যমে আমরা এটি আবিষ্কারের পরে ধ্রুব সম্ভাবনার সাথে সফল হয়ে উঠব $\sqrt{n}$ তাদের মধ্যে.

আমরা কি আরও ভাল করতে পারি? বিশেষত, একটি ধ্রুবক-অ্যালগরিদম যা স্থির সম্ভাবনার সাথে সাফল্য অর্জন করে?

Comments

আমার কাছে মনে হচ্ছে এই গ্রাফটিতে আপনার পছন্দসই সম্পত্তিটি পাওয়ার খুব কম প্রান্ত রয়েছে, আপনি যদি স্ট্যান্ডার্ড পরিভাষা ব্যবহার করেন তবে এটি একটির মতো $G(n,p)$ সঙ্গে নমুনা $p=(\sqrt{n}/C(n,2))=O(n^{-3/2})$

— কোডডলু

ধন্যবাদ, আপনি ঠিক বলেছেন যে আমি বলতে চাইছিলাম $p = n^{-1/2}$(সম্পাদিত)। এই গ্রাফ থাকবে$C_4$যে কোনও সময় দুটি নোড ভাগ করে $\ge 2$প্রতিবেশী, যা নোড জুড়ে প্রতি ধ্রুবক সম্ভাবনার সাথে ঘটে।

— GMB

আমি এখানে পরিভাষাটি ব্যবহার করছি ( en.wikedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93R%C3%A9nyi_model ), যেখানে প্রতিটি প্রান্তটি সম্ভাবনার সাথে স্বাধীনভাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে$p$- সুতরাং, প্রত্যাশায় কিনারা । $p \cdot {n \choose 2}$

— GMB

Answer 1

না, আপনি ক্যোয়ারীগুলিকে মারতে পারবেন না । আমি ব্যাখ্যা করব কীভাবে এটির এক্সফ্রেটের প্রুফ স্কেচ আনুষ্ঠানিকভাবে তৈরি করা যায়, এমন উপায়ে যা অভিযোজিত অ্যালগরিদমের জন্য কাজ করে। এগুলি এক্সফ্রেটের উত্তরে প্রত্যাশিত; আমি কিছু বিবরণ পূরণ করছি।$\Theta(\sqrt{n})$

যে কোনও (সম্ভবত অভিযোজিত) অ্যালগরিদম বিবেচনা করুন যা প্রশ্নের ক্রম জারি করে, যেখানে প্রতিটি ক্যোয়ারিতে হয় " ভার্টেক্স সংলগ্ন তালিকার তম প্রান্তটি আনুন" বা "উল্লম্ব একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত কিনা তা পরীক্ষা করা " is আমরা ধরে নিতে পারি যে কোনও ক্যোয়ারির পুনরাবৃত্তি হয়নি, কারণ কোনও প্রশ্নের পুনরাবৃত্তি করে এমন কোনও অ্যালগরিদম এমন একটিতে রূপান্তরিত হতে পারে যা কখনই কোনও প্রশ্নের পুনরাবৃত্তি করে না। একইভাবে, আমরা ধরে নিতে পারি যে অ্যালগোরিদম কোনও প্রান্তের সাথে সংযুক্ত বলে জানা গিয়েছে এমন কোনও উল্লম্বের জুটিতে কোনও সংযোগ কোয়েরি কখনই করে না (যথা, যখন পূর্বে , বা তে একটি ফেঞ্চ কোয়েরি দিয়ে ফিরে আসে ) পূর্বে একটি প্রশ্নের সাথে আনা দ্বারা ফিরে$i$$v$$v,w$$v,w$$w$$v$$v$$w$, বা আমরা এর আগে সংযোগ পরীক্ষা করেছি ।$w,v$

যাক ইভেন্ট, যেখানে প্রথম সময় বোঝাতে প্রশ্নের, কোন প্রান্তবিন্দু আরো অনেক কিছুর মাধ্যমে ফিরিয়ে দেওয়া হয় একাধিক আনা-ক্যোয়ারী, এবং কোন আনা-ক্যোয়ারী আয় একটি প্রান্তবিন্দু যা পূর্বে জানতে চাওয়া হয়েছিল, কোন সংযোগ-পরীক্ষা ক্যোয়ারী আয় "সংযুক্ত যে "। আমরা প্রমাণ করব যে যদি । এটি অনুসরণ করে যে ক্যোয়ারী তৈরি করে এমন কোনও অ্যালগরিদম 4-চক্র সন্ধানের একটি স্থির সম্ভাবনা থাকতে পারে না।$E_k$$k$$w$$\Pr[E_q] = 1-o(1)$$q=o(\sqrt{n})$$o(\sqrt{n})$

আমরা কীভাবে এটি প্রমাণ করব? আসুন গণনা করা যাক । । দুটি ক্ষেত্রে রয়েছে: হয় তম ক্যোয়ারী একটি আনয়ন ক্যোয়ারী, বা এটি একটি সংযোগ-পরীক্ষা কোয়েরি:$\Pr[E_k|E_{k-1}]$$k$

1. যদি তম ক্যোয়ারীটি ভার্টেক্স তে একটি আনয়ন ক্যোয়ারী হয় , তবে প্রথম কোয়েরির মধ্যে উল্লিখিত উল্লম্ব রয়েছে , এবং যদি থ্রি কোয়েরিগুলির মধ্যে একটি ফিরে আসে তবে আমাদের , অন্যথায় আমাদের । এখন প্রতিক্রিয়ায় ম ক্যোয়ারী হয় অবিশেষে একটি সেট বিতরণ ছেদচিহ্ন, যেখানে সব ছেদচিহ্ন যে উপর পূর্বে আনা প্রশ্নের দ্বারা ফিরে পায়নি , তাই প্রতিক্রিয়ায় ম ক্যোয়ারী অবিশেষে একটি সেট উপর বিতরণ করা হয় কমপক্ষে আকারের$k$$v$$2(k-1)$$k-1$$k$$\neg E_k$$E_k$$k$$S$$S$$v$$k$$n-k+1$। এর মধ্যে কমপক্ষে একটিকে আঘাত করার সম্ভাবনা হ'ল , সুতরাং , ।$\le 2(k-1)/(n-k+1)$$\Pr[E_k|E_{k-1}] \ge 1 - 2(k-1)/(n-k+1)$

2. তাহলে ম ক্যোয়ারী হয় একটি সংযোগ পরীক্ষার ক্যোয়ারী, তারপর ।$k$$\Pr[E_k|E_{k-1}] \ge 1 - 1/\sqrt{n}$

উভয় ক্ষেত্রেই, যদি থাকে$q=o(\sqrt{n})$

$$\Pr[E_k|E_{k-1}] \ge 1 - {2(k-1) \over (n-k+1)}.$$

এখন,

$$\Pr[E_q] = \prod_{k=1}^q \Pr[E_k|E_{q-1}].$$

যদি , তবে then$k \le q \le \sqrt{n}$

$$\Pr[E_k|E_{k-1}] \ge 1 - {2q \over n - q},$$

সুতরাং

$$\Pr[E_q] \ge (1 - {2 q \over n - q})^q.$$

ডানদিকে আনুমানিক । যখন , এটি ।$\exp \{ - 2q^2/(n-q)\}$$q = o(\sqrt{n})$$1 -o(1)$

উপসংহারে: যখন । এটি অনুসরণ করে যে আপনার যে কোনও চক্রের অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা থাকার (a চক্রকে একা ছেড়ে দিন প্রয়োজন।$\Pr[E_q] = 1-o(1)$$q=o(\sqrt{n})$$\Omega(\sqrt{n})$

Comments

"যদি kth ক্যোয়ারী কোনও সংযোগ-পরীক্ষার ক্যোয়ারী হয় তবে ।" আমি thinking thinking ভাবছি ? (যদি তা হয় তবে উপসংহারটি অবশ্যই অবশ্যই এগিয়ে যায় through)$Pr[Ek|Ek−1]≥1−1/n$$1-1/\sqrt{n}$

— usul

@ ইউসুল, উফ, হ্যাঁ, ধন্যবাদ! সংশোধন করা হয়েছে।

— DW

Answer 2

আসুন ধরে নেওয়া যাক আমরা কেবলমাত্র প্রদত্ত ভারটেক্সের সংলগ্ন তালিকার প্রান্তটিই জিজ্ঞাসা করতে পারি (যা আমি ধরে নিচ্ছি যে এটি সাজানো হয়নি) অথবা প্রদত্ত দুটি উল্লম্ব সংলগ্ন কিনা। এই ক্ষেত্রে এমনকি একটি চক্র সন্ধান করতে এটি ক্যোয়ারী নেওয়া উচিত । কারণ সম্ভাবনা রয়েছে যে প্রথম ধরণের আমাদের সমস্ত ক্যোরিয়াসগুলি পৃথক শীর্ষে ফিরে আসে এবং দ্বিতীয় প্রকারের আমাদের সমস্ত প্রশ্নের যে দুটি অনুভূমিকটি সংযুক্ত নেই সেগুলি ফিরে আসে।$i$$\sqrt n$$1-o(1)$

আমি কোথাও ভুল হলে বা সমস্যার ভুল বুঝে থাকলে আমাকে সংশোধন করুন।

Comments

এই প্রুফ স্কেচটি আমার কাছে মনে হয় এটি কেবল ননড্যাপটিভ অ্যালগোরিদমগুলির জন্য কাজ করে (অর্থাত্ কোয়েডগুলি আগেই স্থির করা হয়েছে)।

— usul

@ ইউসুল কেন এমন হবে? হুইপ আমরা যেভাবেই হোক সিদ্ধান্ত গাছের একটি শাখা ব্যবহার করছি।

— এক্সফ্রেট

সম্ভবত আমার স্পষ্ট করা উচিত। এটি পরিষ্কার হওয়া উচিত যে আমরা যদি আমাদের প্রশ্নের উত্তরগুলি নির্ধারিত হিসাবে পেয়েছি তবে আমরা স্থির সম্ভাবনা সহ একটি 4-চক্র আউটপুট করতে পারি না। তবে গভীরতার যে কোনও সিদ্ধান্তের জন্য$o(\sqrt n)$ সেখানে একটি $1-o(1)$সুযোগ আমরা যেমন একটি শাখা নিচে প্রেরণ করা হয়।

— এক্সপ্রেট

ধন্যবাদ! আমি (কিছুটা নির্বিচারে) অন্যান্য মাংসিক সংস্করণ গ্রহণ করেছি তবে মনে হয় আপনি এটি পেয়েছেন। সাড়া প্রশংসা।

— GMB

@ জিএমবি আমি মনে করি আপনি সঠিক সিদ্ধান্ত নিয়েছেন; অন্যটি হ'ল একটি উচ্চ মানের উত্তর এবং এটি অন্যের দ্বারা প্রথমে দেখার যোগ্য।

— এক্সপ্রেট