লোভী অনুমান কেন এত কঠিন?

Question

আমি অতি সংক্ষিপ্ত সুপারস্টারিং সমস্যার জন্য লোভী অনুমান সম্পর্কে শিখেছি ।

এই সমস্যা, আমরা স্ট্রিং একটি সেট দেওয়া হয় $s_1,\dots, s_n$ এবং আমরা খুঁজে পেতে চান সবচেয়ে কম সুপারস্ট্রিং $s$ অর্থাত প্রতিটি যেমন যে $s_i$ একটি সাবস্ট্রিং হিসাবে প্রদর্শিত হবে $s$ ।

এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড এবং কাগজগুলির দীর্ঘ ক্রমের পরে এই সমস্যার জন্য সর্বাধিক পরিচিত আনুমানিক অ্যালগরিদমের অনুপাত $2+\frac{11}{30}$ [পালুচ '14]।

অনুশীলনে, জীববিজ্ঞানীরা নীচের লোভী অ্যালগরিদম ব্যবহার করেন:

প্রতিটি পদক্ষেপে, দুটি জোড়ের উপরের ওভারল্যাপযুক্ত দুটি স্ট্রিং মার্জ করুন (সর্বাধিক প্রত্যয় যা অন্য স্ট্রিংয়ের উপসর্গ হয়) এবং কেবলমাত্র একটি মাত্র স্ট্রিং অবশিষ্ট না হওয়া অবধি এই নতুন দৃষ্টিতে পুনরাবৃত্তি করুন (যা সমস্ত ইনপুট স্ট্রিংয়ের একটি স্ট্রাস্ট্রিং )

এই লোভী অ্যালগরিদমের আনুমানিক অনুপাতের $2$ নীচের সীমাটি ইনপুট $c(ab)^k,(ba)^k,(ab)^kc$ ।

মজার বিষয় হল, এটি অনুমান করা হয়েছিল যে এটি সবচেয়ে খারাপ উদাহরণ অর্থাৎ লোডি সংক্ষিপ্ত সুপারস্টারিং সমস্যাটির জন্য একটি $2$ প্রশংসা অর্জন করে । আমি খুব অবাক হয়েছিলাম যে এমন প্রাকৃতিক এবং সহজ অ্যালগরিদম বিশ্লেষণ করা এত কঠিন।

এমন কোন অন্তর্দৃষ্টি, তথ্য, পর্যবেক্ষণ, উদাহরণ রয়েছে যা বোঝায় যে এই প্রশ্নটি কেন চ্যালেঞ্জিং?

Comments

এর অন্যতম কারণ হতে পারে যে সমস্যাটির স্ট্যান্ডার্ড গ্রাফের উপস্থাপনাগুলির পরিচিত বৈশিষ্ট্যগুলি (যেমন মঙ্গ এবং ট্রিপল অসমতা) লোভী অনুমানের প্রমাণের জন্য যথেষ্ট পর্যাপ্ত নয়। দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, লৌব, ওয়েনার্ড "শর্তাধীন বৈষম্য এবং সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত সাধারণ সুপারস্ট্রিং সমস্যা", এবং ওয়েইনার্ড, শ্নিটগার "লোভী সুপারস্টারিং অনুমানের উপর"।

— অ্যালেক্স গোলভনেভ

@ অ্যালেক্সগোলোভেনভ: আমার কাছে পুরোপুরি ভাল উত্তর বলে মনে হচ্ছে!

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া গ্রোচো: ধন্যবাদ! আমি এখন এটি একটি উত্তর প্রসারিত করব।

— অ্যালেক্স গোলভনেভ 21

Answer 1

প্রথমে লোভী অনুমান সম্পর্কে যা জানা আছে তা সংক্ষিপ্ত করার চেষ্টা করি।

1. ব্লাম, জিয়াং, লি, ট্রম্প, ইন্নাকাকীরা প্রমাণ করেছেন যে লোভী অ্যালগরিদম একটি 4-প্রায় দেয় এবং ক্যাপলান এবং শফির দেখায় যে এটি সংক্ষিপ্ত সাধারণ সুপারস্টারিং সমস্যার জন্য একটি 3.5-প্রায় অনুমান দেয়।
2. লোভী অ্যালগরিদমের একটি সংস্করণ 3-প্রায় ( ব্লুম, জিয়াং, লি, ট্রম্প, ইন্নাকাকিস ) দেওয়ার জন্য পরিচিত।
3. $3$$4$
4. লোভী কনজেক্টর ধরে রেখেছে যদি লোভী অ্যালগরিদম কিছু নির্দিষ্ট ক্রমে ( ওয়াইনার্ড, শ্নিটগার ; লৌব, ওয়েইনার্ড ) স্ট্রিংগুলিকে একীভূত করতে পারে ।
5. লোভী অ্যালগরিদম তারহিও, উকোনেন (যা সংক্ষিপ্ত সাধারণ সুপারস্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্যের ইনপুট স্ট্রিংগুলির মোট দৈর্ঘ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত) সংক্ষেপণের 2-প্রায় অনুমান দেয় ।
6. সেখানে লোলুপ আলগোরিদিম একটি অত্যন্ত দক্ষ বাস্তবায়ন Ukkonen ।

আমি মনে করি যে লোভী ধারণাটি প্রমাণ করা কঠিন কারণগুলির মধ্যে একটির নিম্নলিখিত হতে পারে। লোভী অ্যালগরিদমের আনুমানিক গ্যারান্টি প্রমাণ করার বেশিরভাগ পন্থা স্ট্রিংগুলির ইনপুট সেটটির ওভারল্যাপ গ্রাফ (বা সমতুল্যভাবে উপসর্গ গ্রাফ) বিশ্লেষণ করে। আমরা এই গ্রাফগুলির কয়েকটি বৈশিষ্ট্যই জানি (যেমন মঙ্গ এবং ট্রিপল অসমতা) তবে লোভী কনজেকচার ( ওয়েইনার্ড, শ্নিটগার ; লৌব, ওয়েইনার্ড ) প্রমাণ করার জন্য এই বৈশিষ্ট্যগুলি যথেষ্ট পর্যাপ্ত নয় ।