ফ্যাক্টরিংয়ের একটি এনপি-সম্পূর্ণ ভেরিয়েন্ট।

অরোরা এবং বারাকের বইটি ফ্যাক্টরিংটিকে নিম্নলিখিত সমস্যা হিসাবে উপস্থাপন করেছে:

$\text{FACTORING} = \{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists \text{ a prime } p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

তারা আরও যোগ করেন, দ্বিতীয় অধ্যায়ে, যে প্রধান বিষয়টিকে সরিয়ে ফেলা এই সমস্যাটিকে এনপি-সম্পূর্ণ করে তোলে, যদিও এটি সংখ্যা সংখ্যার অসুবিধার সাথে যুক্ত নয়। দেখে মনে হচ্ছে SUBSETSUM থেকে হ্রাস পেতে পারে তবে এটি খুঁজে পেতে আমি আটকে গেলাম। এখানে আরও ভাল ভাগ্য? $p$

1 ই মার্চ সম্পাদনা করুন: অনুগ্রহটি ডিটারিমেটিক কার্প (বা কুক) হ্রাস ব্যবহার করে কমপ্লিটনেস প্রুফের জন্য । $NP$

cc.complexity-theory np-hardness factoring

— মিশেল ক্যাডিলহ্যাক
সূত্র

@ তুরস্কিস্তানি: এফডাব্লুআইডাব্লু, আমি এনপিকে ইটালিক লাগাতে খারাপ স্টাইল হিসাবে বিবেচনা করি এবং এটি খারাপ স্টাইল এবং খারাপ লেটেক্স উভয়ই গণিতের মোডে রাখার জন্য (অক্ষরের মধ্যে ব্যবধান পৃথক করার কারণে)।

— মিশাল কাদিলহ্যাক

@ মাইকেল, দুঃখিত, মূল স্টাইলে ফিরে গেছে। আপনার প্রশ্নে আমি উত্তেজিত হয়েছি :)

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তান

আরও কিছুটা সম্পূর্ণ বিবরণ: বইয়ের page৩ পৃষ্ঠায় তারা লিখেছেন: অ্যালন এবং কিলিয়ান (ব্যক্তিগত যোগাযোগে) দেখিয়েছেন যে উদাহরণ ২.৩-এ ফ্যাক্টরিং ভাষার সংজ্ঞা অনুসারে, ফ্যাক্টর পিটি মূল যে শর্তটি ক্যাপচার করার জন্য প্রয়োজনীয় ফ্যাক্টরিং সমস্যা, যেহেতু এই শর্ত ছাড়াই এই ভাষাটি এনপি-সম্পূর্ণ (কারণগুলির জন্য পূর্ণসংখ্যার কঠোরতার সাথে কিছুই করার নেই)।

— এমএস দৌস্তি

স্বভাবতই, আমি অ্যালন এবং কিলিয়ান দ্বারা "ফ্যাক্টরিং" এবং "এনপি-সম্পূর্ণ" লেখা একটি কাগজ সন্ধান করি I :(

— সোসোশি ইতো

@ মিশেল আমি আসলে এনপির চেয়ে

হিসাবে ক্লাস রেন্ডারিং পছন্দ করি

N P

$\mathsf{NP}$ । না?

— সুরেশ ভেঙ্কট

উত্তর:

এটি বেশ উত্তর নয়, তবে এটি নিকটে। নিম্নলিখিত সমস্যাটি এলোমেলোভাবে হ্রাসের অধীনে এনপি-হার্ড is

সাবসেট রাশির সাথে একটি সুস্পষ্ট সম্পর্ক রয়েছে যা হ'ল: ধরুন আপনি এর কারণগুলি জানেন : , , , । এখন, আপনি এর একটি উপসেট করতে চান $N$ $p_1$ $p_2$ $\ldots$ $p_k$ $S$ $p_1$ $\ldots$ $p_k$

\log L \leq \sum_{p_{i} \in S} \log p_{i} \leq \log U .

$\displaystyle \log L \leq \sum_{p_i \in S} \log p_i \leq \log U.$

সমস্যাটি দেখানোর জন্য এই ধারণাটি ব্যবহার করার চেষ্টা করার সাথে সমস্যাটি হ'ল এনপি-হার্ড হ'ল আপনার যদি , , , , সংখ্যার সাথে সাবসেট-সমষ্টি সমস্যা থাকে তবে আপনি অগত্যা বহুবর্ষীয় সময়ে প্রাইমগুলি খুঁজে পাবেন না যে (যেখানে দ্বারা , আমি প্রায় সমানুপাতিক মানে)। এটি একটি বাস্তব সমস্যা, কারণ যেহেতু উপসেট-সমষ্টি জোরালোভাবে দ্বারা NP-সম্পূর্ণ নয়, এইসব এটি প্রয়োজন বড় পূর্ণসংখ্যার জন্য । $t_1$ $t_2$ $\ldots$ $t_k$ $\log p_i \propto t_i$ $\propto$ $\log p_i$ $t_i$

এখন ধরা যাক, আমাদের প্রয়োজন যে উপসর্গের সমস্যায় সমস্ত সংখ্যার এবং এবং যোগফলটি প্রায় $t_1$ $\ldots$ $t_k$ $x$ $x(1+1/k)$ । সাবসেটের যোগফলটি এখনও এনপি-সম্পূর্ণ থাকবে এবং যে কোনও সমাধান হবেপূর্ণসংখ্যারযোগফল। আমরা যদিএবংমধ্যে রাখতেপারি তবে আমরা সমস্যাটি পূর্ণসংখ্যার থেকে বাস্তবের কাছে পরিবর্তন করতে পারি $\frac{1}{2}\sum_i t_i$ $k/2$ $t'_i$ $t_i$ , এবং যোগফলটি হুবহুহওয়ার পরিবর্তেআমাদের এটিএবং $t_i+\frac{1}{10k}$ $s$ $s$ । এটি করার জন্য আমাদের কেবলমাত্রআরও নির্ভুলতার বিটগুলিতেআমাদের সংখ্যা নির্দিষ্টকরতে হবে। সুতরাং, যদি আমরা সঙ্গে সংখ্যাগুলি দিয়ে শুরুবিট, এবং আমরা বাস্তব সংখ্যার উল্লেখ করতে পারেনপ্রায় থেকেসঠিকতার বিট, আমরা আমাদের হ্রাস বহন করতে পারে। $s + \frac{1}{10}$ $4 \log k$ $B$ $\log p_i$ $B + 4 \log k$

এখন, থেকে উইকিপিডিয়া (নীচে শিয়েন-Chih এর মন্তব্য এর মাধ্যমে) মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা এবং হয় , তাই আপনি যদি ঠিক যে সীমার মধ্যে এলোমেলোভাবে সংখ্যার চয়ন করুন এবং বহু সম্ভাবনাময় সময়ে উচ্চ সম্ভাবনার সাথে একটি প্রাথমিকতার জন্য তাদের প্রাথমিকতার জন্য পরীক্ষা করুন। $T$ $T+ T^{5/8}$ $\theta(T^{5/8}/\log T)$

এখন, হ্রাস চেষ্টা করুন। আসুন আমাদের সমস্ত বিট দীর্ঘ। আমরা যদি নিতে দৈর্ঘ্যের বিট, তারপর আমরা একটি মৌলিক জানতে পারেন কাছাকাছি সঙ্গে সঠিকতার বিট। সুতরাং, আমরা নির্বাচন করতে পারবেন যাতে স্পষ্টতা সঙ্গে $t_i$ $B$ $T_i$ $3B$ $p_i$ $T_i$ $9/8B$ $T_i$ $\log T_i \propto t_i$ বিট। এই আমাদের খুঁজে দেয় যাতে স্পষ্টতা সঙ্গে $9/8\, B$ $p_i \approx T_i$ $\log p_i \propto t_i$ বিট। যদি এই প্রাইমগুলির একটি উপসেট লক্ষ্য মানের কাছাকাছি কিছুতে গুণিত হয় তবে মূল উপসেট যোগ সমস্যাগুলির একটি সমাধান বিদ্যমান। সুতরাং আমরা , এবং যথাযথভাবেচয়ন এবং আমাদের সাবসেটের যোগফল থেকে এলোমেলোভাবে হ্রাস পেয়েছে। $9/8\,B$ $N=\Pi_i p_i$ $L$ $U$

— পিটার শোর
সূত্র

আমি হ্রাস বুঝতে পারি না। সাবসেটের যোগফলটি এনপি-সম্পূর্ণ হওয়ার জন্য, সংখ্যাটি বাইনারি দিতে হবে। আমরা যদি পূর্ণসংখ্যার সমষ্টি সমস্যার উদাহরণে লগারিদম সংখ্যার নিকটে থাকা পূর্ণসংখ্যাগুলি চাই, আমাদের তাত্পর্যপূর্ণভাবে অনেকগুলি অঙ্কের প্রয়োজন। আপনি কীভাবে এটিকে কাটিয়ে উঠতে পারেন?

— Tsuyoshi Ito

@ পিটার: সংখ্যা তত্ত্বের অনুমানকে ক্র্যামার অনুমান বলা হয় , যা

যেখানে

এন-থাই প্রাইম সংখ্যা। রেফারেন্সের জন্য নিবন্ধটি প্রধান ফাঁকটি দেখুন ।

p_{n + 1} - p_{n} = O (\log^{2} n)

$p_{n+1} - p_n = O(\log^2 n)$

p_{n}

$p_n$

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之之

@ পিটার: হ্যাঁ, অনুমানের এই সংস্করণটি

যথেষ্ট পরিমাণে প্রমাণিত হয়েছে । এই ধরনের প্রথম ফলাফলের Hoheisel দ্বারা প্রদর্শিত হয়, এবং কারণে শ্রেষ্ঠ ফলাফলের উইকিপিডিয়া দ্বারা কাজ বেকার, হারমান এবং Pintz সঙ্গে

(যেহেতু সম্ভাব্যতা 1 ঝুলিতে) এবং

।

T

$T$

α = 0.525

$\alpha = 0.525$

c_{1} = \infty

$c_1 = \infty$

c_{2} = 1

$c_2 = 1$

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之之

সবেমাত্র এদিকে এসেছিল। আমার মনে রাখা উচিত যে আমি জানি না যে আসল কিলিয়ান-অ্যালোন প্রমাণটি কী ছিল। প্রমাণের বিষয়ে আমার একমাত্র জ্ঞান হ'ল নোগার সাথে যোগাযোগ করা যিনি মূল প্রমাণের বিশদটি মনে করেননি এবং তিনি যে প্রমাণটি পুনর্গঠন করেছিলেন তা হ'ল এটিই। দ্রষ্টব্য যে এটি কিছু শক্তিশালী সংখ্যার তাত্ত্বিক অনুমানের অধীনে একটি নির্বিচারক হ্রাস হিসাবেও বর্ণনা করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, ফর্মের কোনও ব্যবধানে [x, x + পল্লগ (এক্স)]) রয়েছে।

— বোয়াজ বারাক

আমি শুধু জো কিলিয়ানের সাথে কথা বলেছি। তিনি বলেছিলেন যে তিনি এবং অ্যালোন জড়িত শূন্য-ত্রুটির এলোমেলোভাবে হ্রাসের সাথে প্রমাণিত হয়েছিলেন। যতটা তিনি অবগত আছেন, বোয়াস বারাক ইতিমধ্যে বলে রেখেছেন, আপনি কিছু সংখ্যা-তাত্ত্বিক অনুমান না করা অবধি নিয়ামবাদী হ্রাস এখনও উন্মুক্ত।

— টিমোথি চৌ

আমি মনে করি এটি পিসিপি উপপাদ্যের সাথে যুক্ত (বিশেষত )। $NP = PCP[O(\log{n}), O(1)]$

একটি থেকে একটি উদ্ধৃতাংশ মধু এর কাগজ :

... ধারণাটি যে একজন যাচাইকারী কোনও বহুপদী সময় গণনা সম্পাদন করতে পারে তা উপপাদাগুলি এবং প্রমাণগুলির শ্রেণিকে যথেষ্ট সমৃদ্ধ করে এবং তাত্ত্বিক প্রমাণের জন্য অত্যন্ত অ-তুচ্ছ পদ্ধতিতে অফার শুরু করে। (এক তাৎক্ষণিক ফল যে আমরা উপপাদ্য / প্রমাণাদি / গবেষকেরা / আর্গুমেন্ট বাইনারি ক্রম অনুমান করতে পারেন এবং আমরা তাই অত: পর কি করতে হবে।) উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমরা একটি বিবৃতি আছে (বলুন রিম্যান প্রস্তাব), এবং বলতে আমরা বিশ্বাস করি এটি আছে প্রমাণ যা 10,000 পৃষ্ঠার নিবন্ধের মধ্যে মাপসই হবে। গুণগত দৃষ্টিকোণ বলছে যে এবং এই সীমাবদ্ধ (10,000 পৃষ্ঠাগুলি) দেওয়া, কেউ দক্ষতার সাথে তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার কে $A$ $A$ $N, L, U$ $L \leq U \leq N$ যেমন সত্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর এবং মধ্যে বিভাজক থাকে । পূর্ণসংখ্যা , এবং বেশ দীর্ঘ হবে (সম্ভবত এগুলি লিখতে দশ মিলিয়ন পৃষ্ঠাগুলি লাগবে) তবে তারা অত্যন্ত দক্ষতার সাথে উত্পাদিত হতে পারে (এই সমস্ত পূর্ণসংখ্যাকে মুদ্রণ করতে প্রিন্টারের যে পরিমাণ সময় লাগবে তার চেয়ে কম সময়ে, যা অবশ্যই এক বা দুই দিন অবশ্যই থাকে। (এই নির্দিষ্ট উদাহরণটি জো কিলিয়ান , ব্যক্তিগত যোগাযোগের কারণে ফলাফলের ভিত্তিতে তৈরি ) ... $A$ $N$ $L$ $U$ $N$ $L$ $U$

... আমার জটিলতা তত্ত্ব দক্ষতার বাইরে :-)

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

এটি কেবলমাত্র অন্য একটি সূত্র যা এই সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ।

— মার্ক বুড়ি

@Marc ... MMM ... আমি মনে করি যে এটা মানে:

দ্বারা NP-সম্পূর্ণ কারণ দ্বারা NP-সম্পূর্ণ সমস্যা থেকে একটি বহুপদী হ্রাসসংক্ষিপ্ত প্রমাণবিদ্যমান আছে ...

{⟨ L, U, N ⟩ | (\exists p \in {L, \dots, U}) [p | N]}

$\{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

— Marzio ডি Biasi

কাগজে সংক্ষিপ্ত প্রমাণগুলির সমস্যাটি সীমাবদ্ধ থামানোর সমস্যার মতোই almost শর্ট প্রুফস সমস্যা থেকে হ্রাস স্যাট-এর এনপি-সম্পূর্ণতার সাধারণ প্রমাণ হিসাবে সম্ভবত অগোছালো হতে পারে, এবং সুতরাং কিলিয়ান দ্বারা সমস্যা খুঁজে পাওয়া এই ফ্যাক্টরের এনপি-সম্পূর্ণতার প্রমাণটি হ্রাস থেকে কমিয়ে আনার সম্ভাবনা কম সংক্ষিপ্ত প্রমাণগুলি সরাসরি সমস্যা।

— সোসোশি ইটো

এটি একটি অনানুষ্ঠানিক দক্ষ নির্বাহী হ্রাস ধারণা (এবং অসম্পূর্ণ হতে পারে):

ফ্র্যাক্ট্রান একটি টিউরিং -সম্পূর্ণ প্রোগ্রামিং ভাষা। একটি উপযুক্ত সংজ্ঞায়িত Fractran প্রোগ্রামের বেষ্টিত-সংস্করণ ভাষা থেকে রূপান্তরযোগ্য হওয়া উচিত $\{\langle L, U, M \rangle \;|\; (\exists \text{ a positive integer } p \in \{L, \ldots, U\})[p | M]\}$

উদাহরণস্বরূপ, একটি সীমাবদ্ধ সংস্করণ জিজ্ঞাসা করতে পারে যে কোনও নির্দিষ্ট ধাপের (বিভাগ) (যেমন ) এর মধ্যে একটি ফ্র্যাক্ট্রান প্রোগ্রামের আউটপুট অনুক্রমে পূর্ণসংখ্যা উত্পাদিত হয় কিনা । $M$ $M=N_j * F_i$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র