এফপিটি সমস্যাগুলির কঠোরতা

13

ভার্টেক্স কভারটি সহজেই ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেট এবং বিপরীতে হ্রাস করা যেতে পারে।

তবে, প্যারামিটারাইজড জটিলতার প্রসঙ্গে স্বতন্ত্র সেট ভার্টেক্স কভারের চেয়ে শক্ত। একটি কার্নেল সঙ্গে $2k$ ছেদচিহ্ন প্রান্তবিন্দু কভার জন্য বিদ্যমান, কিন্তু স্বাধীন সেট করা হয় ডব্লিউ 1 হার্ড।

এফপিটি প্রসঙ্গে ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেটের প্রকৃতি কীভাবে পরিবর্তিত হয় এবং কেন?

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— নিখিল
সূত্র

9

উত্তরের মূল ধারণা: আমরা যদি প্যারামিটারাইজড ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেটকে প্যারামিটারাইজড ভার্টেক্স কভারের কোনও উদাহরণ হ্রাস করি, তারপরে আমরা যে প্যারামিটারটি শেষ করব তার চেয়ে বেশি গ্রাফের আকারের উপর নির্ভর করে এবং কেবল ইনপুট প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে না। আরও কিছু বিশদ জন্য এখন।

আপনি কি জানেন, একটি স্থিতিমাপ সমস্যা মধ্যে (অভিন্ন) FPT হলে সেখানে একটি অ্যালগরিদম যে একটি ইনপুট কিনা সিদ্ধান্ত নেয় হয় মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় সময় কিছু ফাংশনের জন্য । $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

যেহেতু আপনি কোনও গ্রাফ কোন কিনার বাছাই করে সাইজের এর শীর্ষবর্ণের কভার আছে এবং এর দুটি প্রান্তটি কোনটির উপর ভিত্তি করে ভার্টেক্স কভারটি রাখবেন তা সিদ্ধান্ত নিতে পারেন , এই শাখাটি কেবল গভীরতর হয় (অন্যথায় আপনি বেশি রেখেছেন) প্রচ্ছদটি উল্লম্ব), এবং সহজে সময়ে চলমান ; অতএব ভারটেক্স কভারটি এফপিটিতে রয়েছে। $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

এখন ধরুন আমরা প্যারামিটারাইজড ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেট এফপিটিতে রয়েছে তা দেখানোর জন্য এই অ্যালগরিদমটি ব্যবহার করতে চাই; অনুমান আমরা গ্রাফ দেওয়া হয় উপর ছেদচিহ্ন এবং এটি আকার একটি স্বাধীন সেট আছে কিনা সিদ্ধান্ত নিতে চান । এই জিজ্ঞাসা কিনা সমতূল্য আকারের একটি প্রান্তবিন্দু আচ্ছাদন আছে । সুতরাং আমরা আমাদের উপরে অ্যালগরিদম ব্যবহার উত্তর গনা সময়। আমাদের এফপিটি অ্যালগরিদমের জন্য, চলমান সময়ে সূচকীয় ফাংশনটি প্যারামিটারের উপর নির্ভর করতে পারে যা is , তবে এটি আকারের উপর নির্ভর করতে পারে না যা $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ ; কিন্তু পদ্ধতির আমরা ব্যবহারসমূহ সময় সূচকীয় অঙ্কিত এবং সেইজন্য প্যারামিটার থেকে সম্মান সঙ্গে একটি FPT প্যারামিটার নয় । এই কারণেই ভার্টেক্স কভারটি এফপিটি-তে রয়েছে তা ইঙ্গিত দেয় না যে স্বতন্ত্র সেট এফপিটি-তে রয়েছে। $n - \ell$ $\ell$

— বার্ট জ্যানসেন
সূত্র

সব জবাব দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ। প্যারামিটারাইজড জটিলতার প্রসঙ্গে, আমি ভার্টেক্স কভার থেকে যুক্তি দিয়ে স্বতন্ত্র সেটের কঠোরতা অধ্যয়নের চেষ্টা করার সময় আমি ধারণাটি বুঝতে পারি। যাইহোক, ভার্টেক্স কভারের প্রেক্ষাপটে স্বতন্ত্র সেট-এর দিকে তাকানোর মতো কোনও ব্যাখ্যা আমি পাইনি? একটি স্বাধীন সেট খুঁজে পাওয়ার কাঠামোর (বা অন্তর্নিহিত প্রকৃতি) এমন কিছু আছে যা এটি আরও শক্ত করে তোলে?

— নিখিল

বার্ট, কেন এমন কোনও প্যারামিটার

নেই যার জন্য হ্রাসটি কাঙ্ক্ষিত হিসাবে কাজ করে?

k

$k$

— রাফেল

@ রাফেল: আপনি কি আপনার প্রশ্ন পরিষ্কার করতে পারবেন? শুধুমাত্র পরামিতি ওপি প্রশ্ন দ্বারা "অনুমোদিত" নিজ নিজ সমাধান মাপ আছে। যদি আমরা নির্বিচারে প্যারামিটারগুলিকে অনুমতি দিই, তবে অনেকগুলি রয়েছে যার জন্য হ্রাসটি পছন্দসই হিসাবে কাজ করে (যদি আমি এই বাক্যাংশটি সঠিকভাবে বুঝতে পারি): উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা উভয় সমস্যার জন্য প্যারামিটারটিকে "সর্বনিম্ন-আকারের ভার্টেক্স কভারের আকার" হিসাবে রাখি , তবে উভয়ই এফপিটি; বার্টের যুক্তি দ্বারা মিনভিসি, এবং একই যুক্তি দ্বারা ওপি-র হ্রাস ব্যবহার করে। কেবলমাত্র যখনই আমরা ম্যাক্সইন্ডসেটের পরামিতিটি তার সমাধান আকার হিসাবে জোর করি তখনই সমস্যাটি ডব্লু [1] -হাতে পরিণত হয়।

— gphilip

k

$k$

6

আমি বলব না যে সমস্যার 'প্রকৃতি' পরিবর্তিত হয়, যার অর্থ যা ভাবা হয়। সমস্ত পরিবর্তনগুলি হ'ল প্যারামিটার, অর্থাত্ আপনি সমস্যার অসুবিধাটি যেভাবে পরিমাপ করেন।

$k$ $k$ $n-2k$ $2k$

$n-k$ $k$ $W[1]$

— হোলগার
সূত্র

4

নিম্নলিখিত পার্থক্য জন্য কিছু স্বজ্ঞাত দিতে পারে। উল্লম্ব এস এর একটি উপসেট হ'ল G = (V, E) এর একটি ভার্টেক্স কভার এবং যদি কেবল ভিএস একটি স্বতন্ত্র সেট হয়, সুতরাং এমভিসি যদি ন্যূনতম শীর্ষ প্রান্তের আকার হয় তবে MIS = | V | -MVC এর আকার সর্বাধিক স্বাধীন সেট। এক্স দ্বারা পরামিতিযুক্ত একটি এফপিটি অ্যালগরিদম এক্স এর ক্রিয়াকলাপ হিসাবে এক্সফোনশিয়াল রানটাইমকে অনুমতি দেয় prob প্রান্ত সম্ভাব্যতার সাথে এন শীর্ষে একটি এলোমেলো গ্রাফ উচ্চতর সম্ভাবনা এমআইএসের সাথে 2 লগন সম্পর্কে মাইজ এবং এম-সি-এন -2 লগনের প্রায় আকারের থাকে। সুতরাং, কমপক্ষে এই গ্রাফগুলির জন্য, এমভিসি দ্বারা পরামিতিযুক্ত একটি এফপিটি অ্যালগরিদম এমআইএস দ্বারা পরামিতিগুলির চেয়ে অনেক বেশি সময় মঞ্জুরি দেয়।

4

যদিও অন্যেরা যা বলেছেন তার সাথে আমি একমত হয়েছি, এই বিষয়গুলি সম্পর্কে চিন্তাভাবনার সময় আমি যে সহায়ক বলে মনে করি তা অন্য কোনও সমস্যাটি একটি স্বীকৃতি সমস্যা হিসাবে পুনরায় সংশোধন করা, অর্থাত্ "ইনপুট গ্রাফটি কি গ্রাফিকের পরিবারে সর্বাধিক কে-তে আছে?" / "ইনপুট গ্রাফটি কি কমপক্ষে স্বতন্ত্র সেট থাকা গ্রাফের পরিবারে অন্তর্ভুক্ত?"

$O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

সুতরাং আমার কাছে এটি একটি স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা যা আমি কেন এটির চেয়ে কম ছোট স্বাধীন সেটের চেয়ে ছোট ভার্টেক্স কভারটি সনাক্ত করা সহজতর আশা করব। অবশ্যই এটি সুস্পষ্ট হওয়া উচিত যে উপরোক্ত চিন্তাভাবনাগুলি কোনও আনুষ্ঠানিক তর্কের কাছাকাছি নেই এবং আমি অনুমান করি যে দিনের শেষের দিকে সবচেয়ে দৃing়প্রত্যয়ী প্রমাণ যে স্বতন্ত্র আকারের সেটকে স্বীকৃতি দেওয়া সত্যই শক্তিশালী এটি হ'ল স্বাধীনতার ডাব্লু-কঠোরতা সেট!

— মাইকেল ল্যাম্পিস
সূত্র

k^{2}

$k^2$

k

$k$

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

@Bart: একটি স্বাধীন সেট জন্য ছেদচিহ্ন, আপনি শুধুমাত্র তা নিশ্চিত করার জন্য কোন প্রান্ত বিদ্যমান প্রয়োজন এই মধ্যবর্তী ছেদচিহ্ন , এবং সবচেয়ে এ একটি (সাধারণ) মধ্যে প্রান্ত subgraph আদেশের ।

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

— ম্যাথিউ চ্যাপেল

3

এটি একটি খুব পরোক্ষ উত্তর, এবং সম্ভবত আপনার উদ্বেগের সমাধান করতে পারে না। তবে এফপিটি এবং ডাব্লু হায়ারার্কির সান্নিধ্যের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে জড়িত (এফপিটি সমস্যাগুলি প্রায়শই পিটিএএসস ইত্যাদি থাকে)। সেই প্রসঙ্গে, নোট করুন যে কোনও গ্রাফের জন্য, ভিসি = এন - এমআইএস, এবং তাই ভিসির জন্য একটি অনুমান এমআইএস-এর জন্য কোনও অনুমান দেয় না। এই কারণেই আপনার আনুমানিক জন্য এল-হ্রাস দরকার। আমার সন্দেহ হয় পাশাপাশি প্যারামিটারাইজড জটিলতার জন্যও একটি সমতুল্য "কর্নেল-সংরক্ষণের হ্রাস" ধারণা রয়েছে।

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

এফপিটি-তে কি "কর্নেল-সংরক্ষণের হ্রাস" ধারণা রয়েছে?

— নিখিল

আমি জানি না: অতএব উদ্ধৃতি :)। আমি প্যারামিট্রাইজড জটিলতা বিশেষজ্ঞদের চিম ইন করার জন্য অপেক্ষা করছি

— সুরেশ ভেঙ্কট

2

আপনি সবেমাত্র তলব করেছেন! ;)

— রাফেল

4

এ জাতীয় ধারণা রয়েছে: বহু-কালীন ও সময়-সংক্রান্ত পরামিতি রূপান্তর। প্যারামিটারাইজড সমস্যা পি বহুবর্ষীয়-সময়-এবং-প্যারামিটার Q- তে রূপান্তরিত হয় (পড়ুন: ) যদি বহুবর্ষীয় সময়ের অ্যালগোরিদম থাকে যা এর একটি উদাহরণ , বহুপক্ষীয় সময়ে আউটপুট হয় সমতুল্য উদাহরণস্বরূপ এর যেমন যে । যদি: kernelization জন্য ব্যবহারে নিম্নরূপ , একটি বহুপদী কার্নেল এবং ধ্রুপদী সংস্করণ এবং দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হয়, তারপর পাশাপাশি একটি বহু কার্নেল হয়েছে। (

P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$

(x, k)

$(x,k)$

P

$P$

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$

Q

$Q$

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$

Q

$Q$

P

$P$

Q

$Q$

P

$P$ dx.doi.org/10.1007/978-3-642-04128-0_57 )

— বার্ট জানসেন

আনুমানিকতা এবং এফপিটি-র মধ্যে কিছু সম্পর্কের উল্লেখ করে অন্য একটি কাগজটি হ'ল [ dx.doi.org/10.1016/S0020-0190(97)00164-6] যেখানে তারা দেখায় যে কোনও সমস্যা ডব্লু [1] - এর চেয়ে বেশি যদি কোনও কার্যকর পিটিএএস স্বীকার করতে পারে না যেখানে উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটিও পরামিতি। একটি দক্ষ পিটিএএসের সময় জটিলতা , তবে সময়ের জটিলতা অনুমোদিত নয়। একই ফলাফল বাজগানের থিসিসেও।

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$

— জিয়ানলুকা দেলা বেদোভা