থ্রেশহোল্ড ফাংশনে নিম্ন সীমানা

বুলিয়ান ফাংশনটির সিদ্ধান্তের জটিলতায়, খুব কার্যকরীভাবে নিম্নতর আবদ্ধ পদ্ধতিটি হ'ল ফাংশনকে উপস্থাপন করে এমন একটি (আনুমানিক) বহুবচন খুঁজে পাওয়া। পাটুরি একটি পরিমাণ বিবেচনা করে প্রতিসাম্য বুলিয়ান (আংশিক এবং মোট) ফাংশনগুলির জন্য একটি বৈশিষ্ট্য দিয়েছেন $\Gamma$ :

উপপাদ্য ( পাটুরি ): আসুন $f$ যে কোনও ধ্রুবক প্রতিসাম্যিক ক্রিয়াকলাপ হতে হবে এবং বোঝাতে হবে den $f_k=f(x)$ কখন $|x|=k$ (অর্থাত্ হ্যামিং ওজন $x$ হয় $k$ )। এর আনুমানিক ডিগ্রি $f$ , চিহ্নিত $\widetilde{deg}(f)$ , হয় $\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})$ , কোথায় $\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\}$

এবার কে ফাংশন হিসাবে যাক যদি । এই সালে কাগজ (Cf. অধ্যায় 8, পৃষ্ঠা 15) বলছেন যে । $Thr_t(x)$ $Thr_t(x)=1$ $x\geq t$ $\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)}$

লক্ষ্য করুন যে ফাংশনের জন্য আমাদের কাছে $\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$ , কারণ কখন $|x|=t-1$ ফাংশনটি 0 থেকে 1 থেকে পরিবর্তিত হয়? আমি কি ঠিক আছি?

যদি আমি Pat এই মানটিতে সরাসরি পাতুরির উপপাদ্য প্রয়োগ করি $\Gamma$ তবে অন্যান্য কাগজপত্রে উল্লিখিত থ্রেশহোল্ড ফাংশনটিতে আমি নীচের দিকে আবদ্ধ হব না। মান কি $\Gamma(Thr_t)$ উপরে? আমি কী মিস করছি?

সম্পাদনা করুন: আমি প্রান্তিকের জন্য কোয়ান্টাম অ্যাডভারসারি লো বন্ডকে গণনা করার চেষ্টা করেছি। প্রথমে, উপপাদ্যটি পর্যালোচনা করা যাক।

উপপাদ্য (Unweighted কোয়ান্টাম প্রতিদ্বন্দ্বি): আসুন একটি আংশিক বুলিয়ান ফাংশন হবে, এবং দিন এবং (হার্ড) ইনপুট উপসেট হও। সাথে সম্পর্কযুক্ত হওয়া যাক এবং প্রতিটি জন্য set সেট করুন । যাক কোনো সারি এবং সম্পর্ক যে কোন কলামে 1s ন্যূনতম সংখ্যা বোঝাতে যথাক্রমে দিন বোঝাতে সম্পর্কের কোনো কোনো সারি এবং কলামের বেশী সর্বোচ্চ সংখ্যা যথাক্রমে। তারপরে । $f$ $A\subseteq f^{-1}(0)$ $B\subseteq f^{-1}(1)$ $R\subseteq A\times B$ $R_i=\{(x,y)\in R : x_i\neq y_i\}$ $1\leq i \leq n$ $m,m'$ $R$ $\ell,\ell'$ $R_i$ $Q_2(f)=\Omega(\sqrt{\frac{m m'}{\ell \ell'}})$

যদি আমি সংজ্ঞায়িত তার চেয়ে অনেক বেশী 1s সংখ্যা সঙ্গে সব ইনপুট সেট হিসাবে বা সমান , এবং কঠোরভাবে কম 1s সঙ্গে সব ইনপুট , আমি (কিছু বীজগণিত পরে) পেতে যে । $B$ $t$ $A$ $t$ $\frac{mm'}{\ell\ell'}=n^2 \ln(\frac{n}{t}) \ln(\frac{n}{n-t})$

সুতরাং এখনও আমি অন্য কাগজপত্রগুলিতে রিপোর্ট করা একই নিম্ন সীমানা পাচ্ছি না। এখন, এই সীমাগুলির তুলনা করা যাক। নীচের চিত্রটি এবং বর্গাকার শিকড় ছাড়াই প্রদর্শিত হয়েছে, পাতুরির উপপাদ্য বাউন্ড (নীল), বিরোধী বাউন্ড (লাল) এবং অন্যান্য কাগজগুলি (সবুজ) থেকে আবদ্ধ রিপোর্টের মধ্যে একটি তুলনা। $n=200$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

আমার প্রশ্নগুলি হ'ল:

1- অন্যান্য কাগজপত্রগুলিতে আমি কীভাবে সীমাবদ্ধ তা রিপোর্ট করব?

2- আপনি চিত্রটি থেকে দেখতে পাচ্ছেন যে রিপোর্ট করা নিম্ন বাঁধার (সবুজ) নীচের দিকের পাটুরির বাউন্ড এবং বিপরীতমুখী সীমাও রয়েছে। এটি কি "আসল" নিম্ন সীমাটিকে দুর্বল করে দিচ্ছে না? উদাহরণস্বরূপ, যদি পাতুরি যদি বলেন যে সমস্ত প্রতিসাম্যিক ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য আমাদের এই সীমাবদ্ধ রয়েছে, তবে আপনি কোয়ান্টাম গণনা ( ) এর জন্য একটি উচ্চতর বাউন্ড কীভাবে পেতে পারেন ? পাতুরির উপপাদ্য লঙ্ঘন করে না যে উপরের গণ্ডি? $\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

— মার্কোস ভিলাগ্রা
সূত্র

আপনি গণনায় নিখুঁত মানটি নিখোঁজ করছেন (এটি সম্পাদনার জন্য খুব ছোট পরিবর্তন বলে মনে হচ্ছে)।

Γ (T h r_{t})

$\Gamma(Thr_t)$

— হার্টমুট ক্লাক

আমি মনে করি আপনি ঠিক বলেছেন এবং এটি মানকাগজে উল্লিখিত ডিগ্রি পেতে। ফাংশনগুলির প্লটগুলি আমি মনে করি যে :)

Γ (T h r_{t}) = | 2 (t - 1) - n + 1 |

$\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$

— মার্ক বুরি

হ্যাঁ, এটি প্রায় অনুমানের মতো বলে মনে হচ্ছে (এখানে প্লটটি উলফ্রামাল্ফা . com/ ইনপুট / ))। এবং এটি নিম্ন সীমানা । যদি তা হয় তবে তা করতে কেন বিরক্ত করবেন? কেবল পাতুরির থেকে ফলস্বরূপ নীচের দিকে আবদ্ধ হন না কেন?

Γ (T h r_{t})

$\Gamma(Thr_t)$

— মার্কোস ভিলাগ্রা

আমি মনে করি তারা অবাস্তব মান ফাংশন এড়াতে চায়। এগুলি ফাংশনের একটি সহজ ফর্ম পেয়ে যায় এবং কোনও গণনার ক্ষেত্রে কেস-বাই-কেস বিশ্লেষণ এড়ায়। আমি কী আগ্রহী যে তারা কীভাবে মূল কার্যকারিতা থেকে এই আনুমানিকতা পান?

— মার্ক বুড়ি

এটি একটি ধ্রুবক পর্যন্ত একই।

— ক্রিস্টোফার আরনসফেল্ট হ্যানসেন

আমি জানি না আপনি কীভাবে মূল বন্ড থেকে the এর পেতে বা দেখতে পাচ্ছেন তবে এখানে এই প্রমাণটি স্থায়ী ফ্যাক্টরের সাথে সংক্ষিপ্তভাবে সমান হয়: $\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$ $\sqrt{n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert )}$

প্রথমে এটি দেখুন (আমি বাদ দিচ্ছি কারণ প্রান্তিক সর্বদা ) $t = 0$ $1$

n (n - | (2 (t - 1) - n + 1 |) = {\begin{cases} n (2 t - 1) & 1 \leq t \leq n / 2 + 1 / 2 \\ n (2 n - 2 t + 1) & n / 2 + 1 / 2 \leq t \leq n - 1 \end{cases}

$n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert) = \left\lbrace \begin{array}{ll} n(2t-1) & 1 \leq t \leq n/2+1/2\\ n(2n-2t+1) & n/2+1/2 \leq t \leq n-1 \end{array} \right.$

, এবং সংজ্ঞায়িত করুন । $f_1(t) = n(2t-1)$ $f_2(t) = n(2n-2t+1)$ $g(t) = (t+1)(n-t+1)$

এখন আপনাকে ভগ্নাংশ , , এবং সর্বাধিক মান ( সংজ্ঞায়িত অন্তরগুলির মধ্যে অনুযায়ী ) গণনা করতে হবে । আপনি গ্রাফের সাহায্যে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস বা আনুমানিকতার সাথে এটি করতে পারেন ( যথেষ্ট বড় সহ ): $t$ $f_1(t)/g(t)$ $f_2(t)/g(t)$ $g(t)/f_1(t)$ $g(t)/f_2(t)$ $n$

$f_1(t)/g(t) \leq f_1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$f_2(t)/g(t) \leq f_2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$g(t)/f_1(t) \leq g(1)/f_1(1) = \dfrac{2n}{n} = 2$

$g(t)/f_2(t) \leq g(n-1)/f_2(n-1) = \dfrac{n/2}{n/3} \leq 3/2$

এটি আপনাকে এবং পছন্দসই ফলাফল দেয়

n (n - | 2 (t - 1) - n - 1 |) = Θ ((t + 1) (n - t + 1))

$n(n-\vert 2(t-1)-n-1\vert) = \Theta((t+1)(n-t+1))$

\sqrt{n (n - | 2 (t - 1) - n - 1 |)} = Θ (\sqrt{(t + 1) (n - t + 1)}) .

$\sqrt{n(n-\vert 2(t-1)-n-1 \vert)} = \Theta(\sqrt{(t+1)(n-t+1)}).$

এই ফলাফলটি দেখার / পাওয়ার আরও কি সহজ উপায় আছে?

— মার্ক বুরি
সূত্র

হ্যাঁ, আমি মনে করি আপনি ঠিক বলেছেন। আমার ধারণাটি হ'ল কোয়ান্টাম কাউটিংয়ের মতো কিছু ফলাফলের কারণে মূল লেখকরা সেই নিম্ন সীমা সম্পর্কে জানতেন। কোয়ান্টাম কাউটিংয়ে আমাদের upper স্কয়ার্ট of এর উপরের আবদ্ধ থাকে এবং পাটুরির উপপাদ্য এবং বিরোধী সীমা প্রয়োগ করে তারা এখানে আপনি যা দেখিয়েছিলেন তা প্রদর্শন করেছিল showed

\sqrt{(t + 1) (n - t + 1)}

$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

— মার্কোস ভিলাগ্রা

আপনার প্রচেষ্টার জন্য ধন্যবাদ !! আমি মনে করি এটিই উত্তর is আমি এখন আরও নিশ্চিত যে সম্ভবত এই ফলাফলটি পাওয়ার একমাত্র উপায়।

— মার্কোস ভিলাগ্রা