ভিসি-ডাইমেনশন নির্ধারণ করা

নিম্নলিখিত সমস্যা সম্পর্কে কী জানা যায়?

প্রদত্ত একটি সংগ্রহ ফাংশন , একটি বৃহত্তম subcollection খুঁজে বাধ্যতা সাপেক্ষে যে ভিসি-মাত্রা জন্য কিছু পূর্ণসংখ্যা । $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

এই সমস্যাটির জন্য কি অ্যালগরিদমগুলি বা আনুগত্যের ফলাফল রয়েছে?

— হারুন রথ
সূত্র

ফাংশনগুলি সর্বাধিকতর করতে কোনও ভূমিকা রাখছে বলে মনে হচ্ছে | এস |

— সুরেশ ভেঙ্কট

ফাংশনগুলির পছন্দ এস এর ভিসি-ডাইমেনশন নির্ধারণ করে সমস্যাটি হ'ল ভিসি-ডাইমেনশন সীমাবদ্ধতার অধীনে যথাসম্ভব বৃহত একটি শ্রেণির ফাংশন সন্ধান করা।

— অ্যারন রথ

আমি দেখি. সুতরাং "জ্যামিতির ভূমি" তে অনুবাদ, আপনাকে রেঞ্জের একটি সংকলন দেওয়া হয়েছে (চ একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন হিসাবে কাজ করে) এবং আপনি সীমাবদ্ধ ভিসি ডাইমেনশনের বৃহত্তম বৃহত্তম উপবৃত্তি চান।

— সুরেশ ভেঙ্কট

প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার ক্ষেত্রে অন্যান্য সমস্যা: সি কীভাবে উপস্থাপন করা হয়? আমরা জানি যে লেমা দ্বারা প্রাপ্ত এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য আকার হ'ল , এবং একটি ফাংশন লিখে বিটস প্রয়োজন ।

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— সুরেশ ভেঙ্কট

ঠিক। আমি কোনও প্রতিনিধিত্বমূলক ব্যবস্থায় ফলাফল আগ্রহী। আপনি চিত্রটি দেখতে পারেন যে হিসাবে উপস্থাপন করাম্যাট্রিক্স, যে ক্ষেত্রে চলমান সময়

`` দক্ষ '' হবে (যদিও সময়

, যা

পয়েন্টগুলির সমস্ত সংগ্রহগুলি ছড়িয়ে দেওয়া হয়েছে কিনা তা পুরোপুরি পরীক্ষা করতে লাগবে )। যদি

ফাংশনগুলিতে কেবল ব্ল্যাক-বাক্স ক্যোয়ারী অ্যাক্সেসের সাথে কোনও অ্যালগরিদমিক ফলাফল সম্ভব হয় তবে এটি আরও ভাল।

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— অ্যারন রথ

উত্তর:

সম্পাদনা : মূল সমস্যা -hard যখন সূক্ষ পরিমাপক যেখানে সেট সংখ্যা উল্লেখ করে। $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

দ্বৈত একটি hypergraph কোণগুলি সঙ্গে ছেদচিহ্ন বিনিময়, এবং ঘটনা সংরক্ষণের দ্বারা প্রাপ্ত হয়। সমস্যাটি বোঝা সহজ যখন আমরা লক্ষ্য করি যে একটি হাইপারগ্রাফের ভিসি-ডাইমেনশন 1 রয়েছে যদি তার ডুয়ালটি ক্রস-মুক্ত হয় (সমস্ত এর জন্য , কমপক্ষে খালি) $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

দ্বৈততার দ্বারা মূল সমস্যা ( ) একটি হাইপারগ্রাফ সমতুল্য, ক্রস-মুক্ত সহ একটি সর্বোচ্চ-আকারের । $k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

আসলে, এই (দ্বৈত) সমস্যাটি খুব শক্ত তখনও সমস্ত সেটের আকার 2 হয়: তবে এটি একটি গ্রাফ এবং আমরা একটি সর্বাধিক আকারের ভার্টেক্স আকারের সন্ধান করছি যার প্ররোচিত সাবগ্রাফায় কোনও দ্বি-প্রান্তের পাথ থাকে না ( গ্রাফের ন্যূনতম 4 টি শীর্ষচিহ্ন রয়েছে বলে ধরে নেওয়া এই একমাত্র ক্রসিং জুড়ি উঠতে পারে see তবে এই সম্পত্তিটি বংশগত এবং অনানুষ্ঠানিক এবং সুতরাং আমরা কঠোরতা দেখানোর জন্য ফেইজ এবং কোগানের ফলাফল ব্যবহার করতে পারি । $\mathcal{S}$

আসল জবাব

জন্য দ্বৈত সমস্যা (ক সর্বোচ্চ-আকার খুঁজে পেতে যেমন যে দ্বৈত ভিসি-মাত্রা সবচেয়ে 1 এ) মধ্যে আনুমানিক কঠিন (এক পরিবারে সেট)। $k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

এর কারণ হ'ল নিম্নরূপে একটি পরিবারের এর দ্বৈত ভিসি-মাত্রা 1 হ'ল: সমস্ত এ , কমপক্ষে খালি। (অর্থাত উপাচার্য-ম্লান = 1 যা প্রায়শই ক্রসিং-ফ্রিনেস বলা হয় তার দ্বৈত)) $A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

আমরা স্বতন্ত্র সেট থেকে সর্বোচ্চ-আকারের ক্রস-ফ্রি সাবফ্যামিলি গণনাতে হ্রাস করি। গ্রাফ দেওয়া একটি hypergraph গঠন করা যেখানে কিছু ডামি উপাদানের জন্য । প্রতিটি প্রান্তবিন্দু জন্য এর , আমরা নিম্নলিখিত সেট যোগ করুন থেকে : $G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

এটি একটি পরিবার দেখানোর জন্য কঠিন না উত্তরণ-মুক্ত হয় iff মধ্যে স্বাধীন । $\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

তবে মূল (প্রাথমিক) সমস্যার জন্য মনে হচ্ছে আরও কিছু চিন্তাভাবনা করা দরকার ... আকর্ষণীয় দেখায়!

— daveagp
সূত্র

কিছু প্রাসঙ্গিক সম্পর্কিত কাজ: ভিসি-মাত্রা নিজেই অনুমান করা (আপনার উপস্থাপনায় সীমিত ভিসি-ডাইমেনশন সহ একটি বৃহত উপবৃত্ত সন্ধান করা যাক ) এলওজিএনপি-সম্পূর্ণ (এলওজিএনপি এনপি ননডেটেরিনিজমের বিটগুলিতে সীমাবদ্ধ)। পরিসরের স্থানের উপস্থাপনাটি আরও কমপ্যাক্ট হওয়ার সময় ভিসি-ডাইমেনশন অনুমান এবং আনুমানিক করার বিষয়েও কিছুটা সম্পর্কিত কাজ রয়েছে (পাশাপাশি উল্লেখগুলিও দেখুন)

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র