সন্নিবেশ / মুছে ফেলার উপস্থিতিতে কোনও ডিএজি-র সংযোগের তথ্য দক্ষতার সাথে বজায় রাখার জন্য কি অ্যালগরিদম উপস্থিত রয়েছে?

একটি নির্দেশিত অ্যাসাইক্লিক গ্রাফ দেওয়া, , নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপগুলি দক্ষতার সাথে সমর্থন করা সম্ভব? $G(V,E)$

: নির্ধারণ করে যদি সেখানে একটি পথ নোড থেকে নোডের $isConnected(G,a,b)$ $G$ $a$ $b$
:গ্রাফের থেকে থেকে পর্যন্ত প্রান্ত যুক্ত করে $link(G,a,b)$ $a$ $b$ $G$
থেকে প্রান্ত অপসারণ করে থেকে মধ্যে $unlink(G,a,b)$ $a$ $b$ $G$
: G এ একটি শীর্ষবিন্দু যুক্ত করে $add(G,a)$
: জি থেকে একটি শীর্ষবিন্দু সরান $remove(G,a)$

কয়েকটি নোট:

আমরা যদি মঞ্জুরি না দিয়ে থাকি তবে মনে হয় একটি সংস্থান-সেট টাইপের ডেটা কাঠামো ব্যবহার করে সংযোগের তথ্য বজায় রাখা সহজ হবে। $unlink$
স্পষ্টতই, গ্রাফের নিষ্পাপ নির্দেশক-ভিত্তিক উপস্থাপনা ব্যবহার করে গভীরতা বা প্রস্থের প্রথম অনুসন্ধান ব্যবহার করে প্রয়োগ করা যেতে পারে। তবে এটি অদক্ষ। $isConnected$

আমি তিনটি ক্রিয়াকলাপের জন্য নিয়মিত ধ্রুবক বা লোগারিথমিক সময় আশা করছি। এটা কি সম্ভব?

সম্পর্কিত: পুনঃনির্দেশিত গ্রাফ সংস্করণটি আগে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল। পরিবর্তিত অপরিবর্তিত গ্রাফে উপাদানগুলির ট্র্যাক রাখতে কোনও অনলাইন-অ্যালগরিদম আছে কি?

— সোসোশি ইতো

আপনি কীভাবে সরল কেসটিকে (লিঙ্ক ছাড়াই) ডিসঅভিয়েন্ট-সেট টাইপের ডেটা স্ট্রাকচার ব্যবহার করে সমাধান করবেন?

— jbapple

@ শুয়োশি - এই প্রশ্নের লিঙ্কগুলি আকর্ষণীয় দেখায়, আমি এখন সেগুলি দেখছি।

— জাস্টিন কিলপ্যাট্রিক

(1) আপনি গ্রাফটি কোনও ডিএজি হ'ল এই বিধিনিষেধের সাথে নির্দেশিত পুনঃব্যবহারযোগ্যতার জন্য একটি গতিশীল গ্রাফ অ্যালগরিদম সন্ধান করছেন। যদি আমার ভুল না হয় তবে গতিশীল পরিচালিত পুনঃচঞ্চলতা অচিন্তীত প্রতিরূপের চেয়ে অনেক বেশি শক্ত, তবে এখানে ড্যাগের সম্পত্তি সাহায্য করতে পারে। (২) removeঘটনার কিনারাও সরিয়ে দেয়? যদি তাই হয় তবে সেই অপারেশনটি ও (লগ এন) সময় হতে পারে আশা করা খুব বেশি হতে পারে…।

— Tsuyoshi Ito

উত্তর:

আপনি যে সমস্যাটি বর্ণনা করেছেন তা হ'ল সম্পূর্ণ গতিশীল ডিএজি পুনরুদ্ধারযোগ্যতা (এটি ডিএজিগুলিতে সম্পূর্ণ গতিশীল ট্রানজিট ক্লোজার হিসাবেও পরিচিত)। একে সম্পূর্ণ গতিশীল বলা হয়, কারণ লোকেরা এমন সংস্করণগুলিও অধ্যয়ন করে যেখানে কেবল মুছে ফেলা সম্ভব (তবে এটি ক্ষুদ্রতর পুনরায় ব্যবহারযোগ্যতা বলা হয়), এবং যেখানে কেবল সন্নিবেশগুলি সম্ভব হয় (যাকে ইনক্রিমেন্টাল রিএ্যাচিবিলিটি বলা হয়)।

আপডেটের সময় এবং ক্যোয়ারির সময়ের মধ্যে কয়েকটি ট্রেড অফ রয়েছে। যাক প্রান্ত সংখ্যা এবং হতে ছেদচিহ্ন সংখ্যা। ডিএজিগুলির জন্য, ডিমেট্রেসকু এবং ইটালিয়ানো (এফওসিএস'০০) একটি এলোমেলোভাবে ডেটা স্ট্রাকচার দিয়েছে যা ও ( ) সময়ের আপডেটগুলি (প্রান্ত সন্নিবেশ বা মুছে ফেলা) সমর্থন করে এবং ও ( ) সময় (নোড সন্নিবেশ / মুছে ফেলা) সমর্থন করে , ও (1) সময়ে); এই ফলাফলটি সানকোভস্কি (FOCS'04) দ্বারা সাধারণ নির্দেশিত গ্রাফগুলির জন্য কাজ করার জন্য বাড়ানো হয়েছিল। এছাড়াও ডিএজিগুলির জন্য, রডিটি (SODA'03) দেখিয়েছে যে আপনি মোট সময় ও ( ) এ ট্রানজিটিভ ক্লোজার ম্যাট্রিক্স বজায় রাখতে পারবেন , যেখানে $m$ $n$ $n^{1.58}$ $n^{0.58}$ $mn+I·n^2+D$ সন্নিবেশের সংখ্যা, মুছে ফেলার সংখ্যা এবং অবশ্যই ক্যোয়ারির সময়টি হল ও ( )। $I$ $D$ $1$

সাধারণ নির্দেশিত গ্রাফগুলির জন্য, নিম্নলিখিত (আপডেট, ক্যোয়ারী) সময়গুলি জানা যায়: (ও ( ), ও (1)) (ডিমেট্রেস্কু এবং ইটালিয়ানো এফওসিএস 100 (স্নেহধারী), সাঙ্কোভস্কি FOCS'04 (সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে)), ( ও ( $n^2$ ), ) $m\sqrt{n}$ )) (রডিটি, জুইক এফোকস'02), (ও (), ও ()) (রডিটি, জুইক স্টোক'04), (ও ( ), ও ( )) এবং (ও ( ), ও ( )) সাঙ্কোভস্কি (FOCS'04) দ্বারা। $O(\sqrt{n}$ $m+n\log n$ $n$ $n^{1.58}$ $n^{0.58}$ $n^{1.495}$ $n^{1.495}$

পলিওগারিদমিক কোয়েরি সময় অর্জন, আপডেটের সময় খুব বেশি না বাড়িয়ে তোলা একটি বড় ওপেন সমস্যা এমনকি ডিএজিদের জন্যও।

— virgi
সূত্র

আপনার উত্তর করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। যদিও আমাকে বলতে হবে যে এই সীমাটি কতটা দরিদ্র তা নিয়ে আমি হতাশ। :(

— জাস্টিন কিলপ্যাট্রিক

সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন: আপনি কি আমাকে সহজ সমস্যা, ক্রমবর্ধমান পুনঃব্যবহারযোগ্যতা এবং ডিএজিএসের জন্য ক্রমহ্রাসমান পুনঃব্যবহারযোগ্যতার কোনও রেফারেন্সের দিকে নির্দেশ করতে পারেন?

— জাস্টিন কিলপ্যাট্রিক

এই নিষ্পাপ dfs পদ্ধতির চেয়ে (O(1),O(n^2))বা আরও ভাল seam না (O(m),O(n+m))।

— টমাস আহলে

আমি মনে করি এখন পর্যন্ত সেরা ফলাফলগুলি "পুরো গতিশীল ট্রান্সজিটিভ সমাপ্তির জন্য ম্যান্টেইনিং ডায়নামিক ম্যাট্রিকেস" এ আলোচনা করা হয়েছে । সেই কাগজটিতে সাথে এলোমেলোভাবে আলগোরিদিম নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে $O(n^{0.58})$ $O(n^{1.58})$

(এই শুধুমাত্র সঙ্গে আপনার প্রশ্নের প্রথম সংস্করণ জুড়ে linkএবং unlinkকিন্তু ছাড়া addএবং remove।)

— jbapple
সূত্র

সীমানা যদিও স্ট্র্যাসেনের অ্যালগরিদম তৈরি করছে, তাই ধ্রুবকটি বিশাল।

— টমাস আহলে