ডিটিটাইম হায়ারার্কি উপপাদ্যটিতে লগ এফ এর ন্যায়সঙ্গততা

আমরা যদি ডিটিটাইমে হায়ারার্কি উপপাদ্যটি লক্ষ্য করি তবে একটি সর্বজনীন মেশিন দ্বারা একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক ট্যুরিং মেশিনের সিমুলেশন ওভারহেডের কারণে আমরা একটি লগ পেয়েছি:

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

DSPACE এর এনটিটাইমের জন্য আমাদের এই জাতীয় ওভারহেড নেই। সিমুলেটরগুলির মধ্যে পার্থক্য বিবেচনা করে প্রমাণের বিবরণ থেকে একটি প্রাথমিক ন্যায়সঙ্গততা আসে।

আমার প্রশ্নটি নিম্নরূপ: ডিটিটাইমে হায়ারার্কি উপপাদ্যের প্রমানের বিশদটি বিবেচনা না করে এই লগের কোন যৌক্তিকতা আছে বা এটি প্রমাণের কেবল একটি পরিণতি হতে পারে এবং যদি তা তবে তা কল্পনা করা যুক্তিসঙ্গত হবে $f = o(g)$ তারপর

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

আমার মতে, সিমুলেশন ব্যাখ্যাটি একটি ভাল ন্যায়সঙ্গততা বিবেচনা করে তা প্রমাণ করে নিজেই ন্যায়সঙ্গত হওয়া উচিত যে যদি আমাদের আরও ভাল ফলাফল হয় তবে আমরা আরও ভাল সিমুলেশন তৈরি করতে পারি।

cc.complexity-theory universal-computation time-hierarchy

— লুডোভিক পতে
সূত্র

আমি মনে করি আপনি গত অনুচ্ছেদে যা লিখেছেন তা তার বিপরীতে তুলনামূলক কম is যথা, আমি মনে করি না যে আমরা বর্তমানে সম্ভাবনাটি বাতিল করে দিতে পারি যে সিমুলেশন বাদে অন্য কোনও পদ্ধতি দ্বারা আরও শক্তিশালী বক্তব্য প্রমাণিত হতে পারে। অন্যদিকে, আমরা সম্ভবত এই সম্ভাবনাটি অস্বীকার করতে সক্ষম হতে পারি যে দৃ the় বিবৃতি ব্যর্থ হয় যেখানে একটি আপেক্ষিক বিশ্ব নির্মাণ করে সিমুলেশন দ্বারা শক্তিশালী বিবৃতি প্রমাণিত হতে পারে ।

— সোসোশি ইটো

আমি যতদূর বুঝতে পেরেছি, নির্ধারিত সময়ের স্তরক্রমের উপপাদ্যে

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$ সিমুলেশন ওভারহেড হ্রাস করা একটি যুগান্তকারী ফলাফল হবে। এক কিছুর জন্য, বেশ কয়েকটি ফলাফল অবিলম্বে শক্তিশালী করা যেতে পারে।

— অ্যান্ড্রেস সালামন

এটি কিছুটা পেডেন্টিক, তবে যদি না আপনার f এবং g (স্ট্যান্ডার্ডটি f এবং g সময়-গঠনমূলক হয়ে থাকে) এর উপর অতিরিক্ত অতিরিক্ত বিধিনিষেধ না থাকে তবে f এবং o এর যেমন f = o (g), এবং DTIME (f) থাকে = DTIME (ছ)। এটি দেখতে, কেবলমাত্র i real i এর সাথে x ^ i সমস্ত ফাংশনের অগণনীয় সেটটি বিবেচনা করুন, যদি 1 হায়ারার্কি তত্ত্বটি এই জাতীয় ফাংশনগুলির জন্য সমস্ত সত্য হয়, তবে আমরা একটি অগণিত সেট পেতে পারি ভাষাগুলি, সমস্ত ট্যুরিং মেশিন দ্বারা নির্ধারিত। এটি টুরিং মেশিনের সেট গণনাযোগ্য এই সত্যের সাথে বৈপরীত্য প্রদর্শন করে।

— আবেল মোলিনা

@ ইবেল আমি অবশ্যই ধরে নিয়েছি যে f এবং g সময়-গঠনমূলক, যেমন বর্তমান সময়ের শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্যের মতো।

— লুডোভিচ পতে

হ্যাঁ বর্তমান প্রমাণের দিকে তাকানোর একটি ন্যায়সঙ্গততা রয়েছে তবে এই সমস্যা / প্রশ্নের পুরো উত্তর তার প্রয়োজনীয় প্রমাণ করবে এবং কেবল যথেষ্ট নয়। যেমন উপরের মতামত হিসাবে, একটি শক্ত বাঁধা একটি উন্মুক্ত সমস্যা। হপক্রাফ্ট / ওলম্যান 1976 এ তারা লগ (এন) ফ্যাক্টরটি দেখায় যে একটি মাল্টিট্যাপ টিএমকে 2-টেপ টিএম-তে হ্রাস করার কারণে এবং সেই হ্রাসের জন্য প্রাসঙ্গিক প্রমাণও রয়েছে। (এই প্রশ্নের পাশাপাশি যাইহোক, সর্বদা ভেবে

— দেখেছেন যে মাল্টিপেইপ টিএম ব্যবহারের

উত্তর:

সময়ক্রমক্রমের উপপাদ্যটি আমার ডিপ্লোমা প্রকল্পের বিষয়, সম্ভবত আপনি আমার প্রশ্নের নিম্নবিত্ত এবং শ্রেণি বিচ্ছেদ সম্পর্কে মন্তব্যগুলি দেখতে চান ।

এই প্রশ্নটির দিকে ফিরে তাকানো এবং আপনি যা জিজ্ঞাসা করছেন তার সাথে এটি কীভাবে সম্পর্কিত, আমি একটি ধারণা পেয়েছি যা দেখিয়ে দিতে পারে যে উপপাদকের প্রমাণ দ্বারা প্রয়োজনীয় মাল্টিটাপ থেকে সিঙ্গল টেপ টিএম সিমুলেশন ওভারহেড উন্নত করা যায় না। সুতরাং, আমরা এই ফলাফলটির উন্নতি করতে চাইলে অন্য একটি পদ্ধতির প্রয়োজন।

সম্পাদনা: এই প্রমাণটি ভুল, সঠিক কারণে নীচের মন্তব্যগুলি দেখুন। আমি বর্তমানে এটি প্রতিফলিত করতে উত্তর সম্পাদনা করছি।

যাক ভাষা হতে । $A$ $\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

একটি একক টেপ মেশিনে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে (সিপসারের বই "গণনার পরিচিতি" বইয়ের 7.1.2 অধ্যায়ে আপনি এই অ্যালগরিদমের বিবরণ পেতে পারেন। একই রেফারেন্সে আপনি দেখতে পারেন কোনও ভাষা ও (এন \ লগ এন) এ থাকে এবং কেবল নিয়মিত হলে। উপরের লিঙ্কিত প্রশ্নে কাভেও এই দাবির জন্য মূল কাগজপত্র সরবরাহ করে। $O(n \log n)$

আমার প্রশ্নের মন্তব্যে, রায়ান উইলিয়ামস 2-টেপ টিএম ব্যবহার করে একই সমস্যার জন্য একটি অ্যালগরিদম চিত্রিত করেছেন । $O(n)$

এখন ধরে নিন যে একটি একক টেপ টিএম-তে একটি মাল্টিট্যাপ টিএম অনুকরণ করার জন্য একটি কৌশল রয়েছে যা এর চলমান সময় রয়েছে , যেখানে টিএম অনুকরণের চলমান সময় । রায়ান চিত্রটির মেশিনে এটি প্রয়োগ করে আমরা একটি একক টেপ টিএম পাই যা চালিত হয় । সুতরাং, নিয়মিত, যা একটি বৈপরীত্য। সুতরাং, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে একক টেপ মেশিনের সাহায্যে মাল্টি টেপ মেশিনগুলি সিমুলেট করার সময় এর একটি ওভারহেড সবচেয়ে ভাল। $o( T(n) \log T(n) )$ $T(n)$ $o( n \log n)$ $A$ $\log T(n)$

আমি বুঝতে পারি এটি একটি শক্ত বক্তব্য, সুতরাং আমার ব্যাখ্যাতে আমার ভুল হতে পারে।

এমনকি যদি এমন কোনও প্রযুক্তি উপস্থিত থাকে যা এই ফলাফলকে উন্নতি করতে দেয় তবে আমি বিশ্বাস করি যে বা ফলাফলের সাথে মিল পাওয়া সম্ভব নয় । আমার স্বজ্ঞাততাটি নিম্নলিখিত সত্য দ্বারা উদ্ভূত: $NTIME$ $SPACE$

একটি খুব পরিচিত ফলাফল রয়েছে যা । যে ধৃষ্টতা অধীনে আমার বিশ্বাস এই ফলাফলের সাথে উন্নত হয় কোন জন্য .So, একটি খুব ছোট অ নির্ণায়ক বর্গ কোনো নির্ণায়ক চেয়ে অনেক বেশী শক্তিশালী । সুতরাং, একটি সংস্থান নির্বাহী সময় কতটা শক্তিশালী তা প্রদত্ত, আমি আশা করব যে অ-নির্ধারকতার শক্তির ক্ষতিপূরণ দেওয়ার জন্য একটি টিএমকে আরও শক্তিশালী করার জন্য একটি বৃহত পরিমাণে নির্বিচার সময় প্রয়োজন হবে। $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $P \neq NP$ $DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$ $k$

— chazisop
সূত্র

একক টেপ মেশিনে একটি বহু-টেপ টুরিং মেশিন অনুকরণ করতে চতুর্ভুজ সময় লাগে। প্যালিনড্রোমগুলির ভাষা দেখায় যে এটি প্রয়োজনীয়: প্যালিনড্রোমগুলি টু-টেপ মেশিনগুলিতে সময়ে স্বীকৃত হতে পারে তবে একক টেপ মেশিনে সময় লাগে

O (n)

$O(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— লুকা ট্রেভিসান

লুকা অবশ্যই সঠিক (বিবৃতিটির শক্তির কারণে আমি একটি ভুল আশা করেছিলাম)। আমার দোষ: আমি তড়িঘড়ি করে একক ওয়ার্ক-টেপের সাথে স্ট্যান্ডার্ড সিঙ্গল-টেপ টিএম বিভ্রান্ত করেছি (ভিন্ন ভিন্ন লেখার ইনপুট টেপ এবং সম্ভবত একটি পৃথক আউটপুট টেপ)। আমি যখন ভুলটি বুঝতে পেরেছিলাম, তখন আমি চেষ্টা করেছিলাম যে নিয়মিততা সেই মডেলটিকে বহন করে , তবে দেখায় যে এটি সত্য নয়। আমি এই সত্যটি প্রতিফলিত করার জন্য উত্তরটি সম্পাদনা করছি, আমি আশা করি যে প্রশ্নকারী @ মনয়েড স্বজ্ঞাত অংশের জন্য এটি গ্রহণ করেছেন।

o (n \log n)

$o(n \log n)$

P A L I N D R O M E S

$PALINDROMES$

— চিজিসপ

উদাহরণস্বরূপ লুকা উল্লেখ করেছেন যে কোনও ক্ষেত্রে সময় । এই ধরনের ছোট ক্লাসে একক টেপ মেশিনগুলির অ-দৃust় আচরণের কারণে এই বিশেষ কেসটি সাধারণভাবে উদ্বেগজনক। সুতরাং সময়টি হলে এটি কোনও বাধা নয় । মজার বিষয় হল এর হায়ারার্কি উপপাদ্যের শক্তিশালী সংস্করণের প্রমাণটি সিমুলেশন ব্যবহার করে না তবে একটি সরাসরি যুক্তি ব্যবহার করে (হার্টম্যানিস 1968 দেখুন)।

o (n^{2})

$o(n^2)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— কাভেহ

এন-টেপ স্মৃতি একটা সংকুচিত সময় অনুক্রমের ফলাফলের স্থান অনুক্রমের অনুরূপ জন্য উপপাদ্য 1982 সালে জার্মান নাত্সীদের নেতা হিটলার দ্বারা প্রমাণিত হয় ফ্যাক্টর প্রয়োজন হয় না। $\lg$

সময় অনুক্রমের উপপাদ্য আপনার পোস্টে বিবৃত জন্য ফ্যাক্টর শুধুমাত্র একক টেপ স্মৃতি জন্য। আপনি যদি কোনও কারণে একক টেপ মডেলটির প্রতি খুব প্রতিশ্রুতিবদ্ধ না হন তবে শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদাগুলি সম্পর্কে স্থান এবং সময়ের মধ্যে কোনও পার্থক্য নেই। $\lg$

সময় জটিলতার ক্লাস নির্ধারণের জন্য সিঙ্গল-টেপ টিএম ব্যবহার করার কয়েকটি কারণ এবং যুক্তি রয়েছে, তবে জটিলতা শ্রেণিগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য একক টেপ টিএম ব্যবহার করা সর্বজনীন নয়, উদাহরণস্বরূপ ল্যান্স ফোর্টনো এবং রাহুল সান্থানমের [2007] দেখুন যেখানে তারা একাধিক-টেপ ব্যবহার করেন স্মৃতি।

সময়ের শ্রেণিবদ্ধের উপপাদ্যের মূল উল্লেখটি হেনি এবং স্টার্নস [১৯6666]। তারা দুটি টেপ মেশিনের জন্য উপপাদ্য প্রমাণ করে prove ওডিফ্রেডির ক্লাসিকাল রিকার্সন থিওরি তাদের এবং হার্টম্যানিস [১৯68৮] উদ্ধৃত করে এবং এমন একটি প্রমাণ বর্ণনা করেছে যা সিপসারের বইয়ের অনুরূপ দেখাচ্ছে।

তবে হার্টম্যানিসের কাগজে একক টেপ টিএম-এর প্রমাণ সিমুলেশনটি সহজভাবে ব্যবহার করে না। এটি দুটি ক্ষেত্রে পৃথক হয়েছে: ১. রানিং-টাইম হচ্ছে এবং ২. রানিং-টাইম হচ্ছে । $\Omega(n^2)$ $o(n^2)$

প্রথম ক্ষেত্রে এটি একটি সিমুলেশন ব্যবহার করে এবং মনে হয় যে সিমুলেশনগুলি আরও দক্ষতার সাথে করা যেতে পারে তবে কেউ ফ্যাক্টর থেকে মুক্তি পেতে পারে। $\lg$
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, কাগজটি পৃথককরণের জন্য সরাসরি একটি ভাষা দেয় এবং সিমুলেশনটি মোটেও ব্যবহার করে না। এটি উপ-চতুষ্কোণ চলমান সময়ের সাথে একক-টেপ টিএম এর বিশেষ বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে।

একটিকে লক্ষ্য করা উচিত যে সময় সহ একক-টেপ টিএমগুলি শক্তিশালী নয় এবং একক টেপ টিএমগুলিতে চতুষ্কোণ নিম্নতর (যেমন প্যালিনড্রোমগুলির জন্য) রয়েছে যেখানে দুটি-টেপ টিএম লিনিয়ার সময়ে এই জাতীয় সমস্যার সমাধান করতে পারে। $o(n^2)$

যেমনটি আমি উপরে বলেছি, যদি আপনি কোনও কারণে একক-টেপ টিএম মডেলের প্রতিশ্রুতিবদ্ধ না হন, এমনকি সময়টি উপ-চতুষ্কোণ হয় তখনও পূরণ করার কোনও ফাঁক থাকে না, সময়ক্রমক্রমক্রমের উপপাদ্য যতটা সম্ভব তত টান থাকে।

পিএস: আমরা যদি একাধিক-টেপ টিএম ব্যবহার করি, অর্থাৎ ক্লাসে কোনও ট্যুরিং মেশিন স্থির থাকতে পারে তবে স্বেচ্ছাসেবী টেপের ফায়ারের ফলাফল প্রযোজ্য না।

মার্টিন ফেরার, " দ্য টাইট ডিসটিনিস্টিক টাইম হায়ারার্কি ", 1982
পিয়ারজিওরিজিও ওডিফ্রেড্ডি, "ক্লাসিকাল রিকার্সন থিওরি", খণ্ড II, 1999 (পৃষ্ঠা 84)
জুরিস হার্টম্যানিস, " ওয়ান-টেপ টুরিং মেশিন কম্পিউটেশন এর গণ্য জটিল ", 1968
এফসি হেনি এবং আরই স্টার্নস, " মাল্টিপেইপ টুরিং মেশিনগুলির দ্বি-টেপ সিমুলেশন ", 1966
ল্যান্স ফোর্টনো এবং রাহুল সানথানামের কাগজ " টাইম হায়ারারচি: এ সমীক্ষা ", 2007

— Kaveh
সূত্র

যখন বিবেচনাধীন টুরিং মেশিনগুলির টেপের সংখ্যা নির্ধারিত হয়, যেমন শ্রেণি , টেপের সংখ্যা বলে , তখন ফেরারের ফলাফল কেবল সেই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য না ?

D T I M E_{k} (f)

$DTIME_k(f)$

k

$k$

— মার্কাস ব্লজার

@ মারকাস, হ্যাঁ, এটি সঠিক, এটি একক টেপের ক্ষেত্রেও অনুরূপ। পার্থক্যটি হ'ল টেপের সংখ্যা একের বেশি, তবে এটি এখনও স্থির, যেমন 2 টেপ।

— কাভেহ

ক্রিজিসটফ লরিও দেখুন, "ডিটারমিনিস্টিক টিএমসের জন্য নতুন সময়ক্রমের ফলাফল ", 1992. আরেকটি উল্লেখ হল কাজুও ইওয়ামা, চুজো ইওয়ামোটো, " ওয়ান-টেপ অফ-লাইন টিএমএসের উন্নত সময় এবং স্থান স্থান ", 1998 যা লগ ফ্যাক্টারে উন্নতি করে একক টেপ টিএম এর জন্য লগ লগ।

— কাভেহ

একের বেশি বড় টেপের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক টেপের জন্য, ) সময়-গঠনমূলক । লোগারিদমিক ওভারহেডটি টেপ হ্রাস উপপাদ্য থেকে আসে, যেখানে যে কোনও সংখ্যক টেপ দুটি টেপে রূপান্তরিত হতে পারে (বা এমনকি কেবল একটি একক টেপ এবং একটি স্ট্যাক এবং কেবল বিস্মৃত চলাচল সহ)। $\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$ $f$

যদি টেপের সংখ্যা স্থির না করা হয়, তবে টেপ হ্রাসের উপপাদ্যটি ছাড়াই আমাদের কাছে প্রমাণ করার কৌশল নেই । এটি প্রশংসনীয় যে প্রতি , টেপ মেশিনগুলি লোগারিথমিক ওভারহেড ছাড়াই টেপ মেশিনগুলি দ্বারা অনুকরণ করা যায় না । $\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$ $k$ $k+1$ $k$

তবে, এর অর্থ এই নয় যে উপপাদ্যটি উন্নত করা যায় না, বা ব্যর্থ হয়। $\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

আসলে, আমাদের ইতিমধ্যে নিম্নলিখিত রয়েছে।

উপপাদ্য: প্রতিটি এবং প্রতিটি এর জন্য For ( এবং যুক্তিযুক্ত; বা ), । $ε>0$ $f$ $n^a (\log n)^b$ $a$ $b$ $a>1$ $a=1∧b≥0$ $\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

প্রুফ: যদি সিদ্ধান্তের অ্যালগরিদমযুক্ত প্রতিটি ভাষা সময়ে স্থির করে নেওয়া যায়, তবে ইনপুটকে প্যাডিং করে প্রতিটি ভাষা সিদ্ধান্তের অ্যালগরিদম সময় (যেখানে স্থির থাকে ), এবং তাই প্রতিটি ধ্রুবক , , সময়ের শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্যের বিরোধিতা। $O(f)$ $O(f / (\log f)^ε)$ $O(f(n) (\log f(n))^{kε})$ $O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$ $k≥0$ $c≥0$ $\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

যাইহোক, এই অ-গঠনমূলক
প্রমাণের তিনটি সীমাবদ্ধতা রয়েছে: * প্রমাণটি -আচরণের জন্য প্রয়োজন (কেবল সময়-গঠনমূলক নয়, একটি নির্দিষ্ট অর্থেও ধারাবাহিকভাবে)। * আমরা কোনও নির্দিষ্ট ভাষা জানি না যা তবে । যথেষ্ট পরিমাণ বড় , টেপ ট্যুরিং মেশিনের সিমুলেশন th ম্যাথর্ম , তবে আমরা এটি করি নি যে এমনকি এবং জন্যও , সর্বনিম্ন এরকম > বিবি (বিবি (1000)) যেখানে বিবি ব্যস্ত বিভার ফাংশন * * আমরা জানি না যে অন্তর্ভুক্তিটি শক্ত is $f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $k$ $k$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $ε=1$ $f(n)=n^2$ $k$
$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ অ্যালগরিদম কিছু ইনপুট জন্য ব্যর্থ হবে, কিন্তু আমরা প্রমাণিত করতে পারি নি যে এটি কিছু ইনপুট জন্য ব্যর্থ হয় তবে চূড়ান্তভাবে অনেক ইনপুট আকারের (যদিও এটি খুব আশ্চর্যজনক হবে) যদি তা না করে)।

— ডিমিত্রো তারানভস্কি
সূত্র

দুর্দান্ত উত্তর !! :)

— মাইকেল ওয়েহার