চার রঙের উপপাদ্য বোঝায় অনুমানগুলি

Question

ফোর কালার থিওরেম (4 টিসিটি) জানিয়েছে যে প্রতিটি প্ল্যানার গ্রাফ চারটি আকর্ষণীয়। [অ্যাপেল, হ্যাকেন 1976] এবং [রবার্টসন, স্যান্ডার্স, সিমুর, থমাস 1997] দুটি প্রমাণ দিয়েছেন। এই দুটি প্রমাণই কম্পিউটার-সহায়তায় এবং বেশ ভীতিজনক।

গ্রাফ তত্ত্বের মধ্যে বেশ কয়েকটি অনুমান রয়েছে যা 4 টিটি বোঝায়। এই অনুমানগুলির সমাধানের জন্য সম্ভবত 4 সিটির প্রমাণগুলির আরও ভাল বোঝার প্রয়োজন। এই জাতীয় একটি অনুমান এখানে:

অনুমান : কে প্ল্যানার গ্রাফ হতে দিন, রঙের সেট এবং একটি স্থির-বিন্দু মুক্ত আগ্রাসন হোক। যাক যে এই ধরনের হতেC f : C → C L = ( L v : v ∈ V ( G ) $G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• ভি ∈ $|L_v| \geq 4$ এবং সমস্ত ক্ষেত্রে$v \in V$
• যদি তারপর সবার জন্য , সব জন্য । f ( α ) ∈ L v v ∈ V α ∈ $\alpha \in L_v$$f(\alpha) \in L_v$$v \in V$$\alpha \in C$

তারপর সেখানে একটা বিদ্যমান গ্রাফ -coloring ।$L$$G$

আপনি যদি এই জাতীয় জল্পনা 4CC বোঝা জানেন তবে দয়া করে প্রতিটি উত্তরে তাদের একটি তালিকা করুন। আমি এই জাতীয় অনুমানের একটি বিস্তৃত তালিকা খুঁজে পাইনি।

Comments

"কক-এ তাদের কোনও ত্রুটি ছিল না এবং তারা 4 টি বর্ণের তত্ত্বটি পরীক্ষা করার সময় তাদের কম্পিউটারের মাধ্যমে কোনও মহাজাগতিক রশ্মি উড়ে যায়নি" এমনই একটি অনুমান is

— আন্দ্রেজ বাউর

রেফারেটেড অনুমানের জন্য?

— vzn

ম্যাথওভারফ্লোতে একটি সম্পর্কিত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: mathoverflow.net/q/189097/1345

— আয়ান

Answer 1

4CT এর সমতুল্য:

• সর্বাধিক চারটি রঙের সাথে ডিস্কের একটি সীমাবদ্ধ পরিবার দ্বারা প্ররোচিত হাইপারগ্রাফ রঙ করা (অভ্যন্তরীণ বিচ্ছিন্নতা নয় বরং ডিস্কগুলিতে যথেচ্ছ ওভারল্যাপ থাকতে পারে) ।$[1]$
• প্রতি প্ল্যানার ত্রিভুজ তিনটির অধিক শীর্ষের সাথে যুক্ত হ'ল দুটি সংযুক্ত দ্বিদলীয় গ্রাফের মিশ্রণ, যার প্রত্যেকটিই ইস্টমাস ।$[2]$
• ত্রি-মাত্রিক ভেক্টর ক্রস পণ্য বীজগণিত সম্পর্কে একত্রিত সমস্যা ।$[3]$
• ব্যাকরণ জি সম্পূর্ণ অস্পষ্ট ।$[4]$
• কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা জন্য , সেখানে অন্তত একটি signable পথের দুই একাধিক বিন্যাসন যোগদান বিদ্যমান ।এস $n$$S_n$

• চার বর্ণের উপপাদ্যের একটি বীজগণিত সমতুল্য উপস্থাপন করা হয়েছে। সমতুল্য হ'ল নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর বহুবচনীয় আদর্শের পরিবারে বহুবর্ষজীবী পরিবারের একটি সদস্যের অ-সদস্যপদ প্রাপ্তির দাবী ।$[6]$

  1. জ্যামিতিক হাইপারগ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যায় স্মোরোডিনস্কি এস ।
  2. ম্যাব্রি আর বিপারটাইট গ্রাফ এবং চার-বর্ণের উপপাদ্য ।
  3. কাউফম্যান এলএইচ মানচিত্রের রঙ এবং ভেক্টর ক্রস পণ্য ।
  4. কুপার বিজে এবং অন্যান্য। চার বর্ণের উপপাদ্যের একটি ভাষার তাত্ত্বিক প্রমাণের দিকে ।
  5. এলিয়াহো এস। আল। স্বাক্ষরিত ক্রম এবং চার বর্ণের উপপাদ্য ।
  6. হাওয়ার্ড এল । চার বর্ণের উপপাদ্যের একটি বীজগণিত সংস্কার ।

Answer 2

মাইক্রোসফ্ট রিসার্চ কেমব্রিজের 4-রঙের উপপাদ্যের আরেকটি যান্ত্রিক যাচাই কাজটি করেছেন জর্জ গনথিয়ার । তার প্রমাণের সাথে পার্থক্যটি হ'ল কোক প্রুফ সহকারীটি ব্যবহার করে পুরো উপপাদ্যটি বর্ণনা করা হয়েছে এবং যান্ত্রিকভাবে যাচাই করা হয়েছে, অন্য প্রমাণগুলিতে কেবল অ্যাসেম্বলি ভাষা এবং সিতে লেখা কার্নেল গণনা রয়েছে এবং এর ফলে বগি হওয়ার ঝুঁকি রয়েছে। গনথিয়ারের প্রমাণটি গণনার দিকগুলি এবং কোকের মাত্র 60,000 লাইনে যৌক্তিক দিকগুলি উভয়ই কভার করে।

Answer 3

আমি আমার ব্লগে এটি সম্পর্কে কথা বলেছি এবং আমাদের অন্তর্দৃষ্টিটি হল: উদাহরণস্বরূপ টাইটের অবস্থা দুর্বল হতে পারে কারণ সেখানে একটি বর্ণ রয়েছে যা বেশিরভাগ ও (এন) ত্রুটি রয়েছে। এখানে দেখুন: http://rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theorem/

Comments

সত্যিই ঠাণ্ডা! এই সংস্কারের জন্য ধন্যবাদ!

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之 之

Answer 4

টি। সাটির দিকে তাকান, গুথ্রির 4-বর্ণের অনুমান, আমেরিকান ম্যাথের ত্রিশ বর্ণময়। অনেক উদাহরণের জন্য মাসিক, 79 (1972) 2-43।

এছাড়াও, ডেভিড বার্নেটের বই ম্যাপ কালারিং, পলিহেড্রা এবং চার রঙের সমস্যা, এমএএ, ডলসিয়ানি সিরিজ, খণ্ড 8, 1983 এর অনেকগুলি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে। বার্নেটের বইয়ের একটি বিশেষ আকর্ষণীয় ফল হ'ল: যদি কোনও উত্তল পলিহেড্রোনটির শীর্ষাংশগুলি কেটে ফেলতে সবসময় সম্ভব হয় যাতে 3-ভ্যালেন্ট উত্তল পলিয়েহেডন তৈরি করা যায় যাতে প্রতিটি মুখের পাশের সংখ্যা তিনটির একাধিক হয়, এটি সূচিত করে চারটি বর্ণ অনুমানের সত্যতা।

Answer 5

Hadwiger অনুমান ।

Answer 6

কাগজে পরম প্ল্যানার retracts এবং চার রঙ অনুমান , Pavol জাহান্নামের 4CT জন্য বিভিন্ন equivalente গঠন প্রমাণিত হয়। তাদের একজন নিম্নরূপ পড়েন:

প্রতিটি পরিকল্পনাকারী গ্রাফ 4-রঙিন (4ct) হয় যদি কোনও পরম প্ল্যানার প্রত্যাহার থাকে ract

(একটি subgraph গ্রাফ এর একটি প্রত্যাহার হয় যদি একটি homomorphism বিদ্যমান যেমন যে সবার জন্য একটি পরম। প্ল্যানার রিট্র্যাক্ট হ'ল প্ল্যানার গ্রাফ যা কোনও প্ল্যানার গ্রাফের এটি একটি উপগ্রাফের প্রত্যাহার)জি জি আর : ভি ( জি ) → ভি ( এইচ ) আর ( ভি ) = ভি ভি ∈ ভি ( এইচ $H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

Answer 7

প্রতিটি ব্রিজহীন কিউবিক প্ল্যানার গ্রাফ 3-প্রান্ত-বর্ণনীয়। (এটি টাইটের কারণে 4 সিটির সমান))

Answer 8

ডার বার-নাটনের কাগজ "লাই বীজগণিত এবং চার বর্ণের উপপাদ্য" (সম্মিলনকারী 17-1 (1997) 43-52, সর্বশেষ আপডেট করা হয়েছে অক্টোবর 1999, আরএক্সিভি: কিউ-অ্যালগ / 9606016 ) লাই বীজগণিত সম্পর্কে একটি আকর্ষণীয় বিবৃতি রয়েছে যা সমতুল্য চার রঙের উপপাদ্য। বিবৃতিতে প্রদর্শিত ধারণাগুলিও গিঁটের সীমাবদ্ধ প্রকারের আক্রমণকারী (ভ্যাসিলিয়েভ আক্রমণকারী) এবং 3-ম্যানিফোল্ডগুলির তত্ত্বে উপস্থিত হয়।

Answer 9

এই কাগজটিতে প্রস্তাবিত 2.4 প্রস্তাবটি http: //www.sज्ञानdirect.com/sज्ञान/article/pii/0012365X9500109A# 4CT এর জন্য আরও একটি সূত্র দেয়।

$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$\Delta(G)$

$G$$K(G)$$G$$K(G)$$G$
$G$$K(G)$

Comments

আমাদের এখানে যাদের অ্যাক্সেস নেই (বা আমার মতো ভিপিএন চালু করতে খুব অলস হয়ে আছেন) তাদের জন্য আপনি কী এটি এখানে বর্ণনা করতে পারেন?

— ডেভিড এপস্টিন

Answer 10

আপনি যদি আরও অন্তর্দৃষ্টি খুঁজছেন তবে গন্টিয়ার দ্বারা স্বয়ংক্রিয় প্রমাণের উচ্চ-স্তরের বিবরণটি পড়ার উপযুক্ত।

ইউরি মাতিয়াসিভিচ চার রঙের উপপাদ্যের কয়েকটি সম্ভাব্য পুনরুদ্ধার অধ্যয়ন করেছিলেন, এতে বর্ণের মধ্যে মিলের দুটি ধারণার মধ্যে ইতিবাচক সম্পর্ক রয়েছে। তাঁর সমতুল্যের প্রমাণগুলি সম্পর্কিত গ্রাফের বহুবর্ষের উপর নির্ভর করে, যা উপপাদাকে বোঝায় এমন অনুমানের জন্য আরেকটি সম্ভাব্য পয়েন্টার সরবরাহ করে।

• জর্জেস গন্টিয়ার, ফর্মাল প্রুফ Four চার বর্ণের উপপাদ্য , আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির 55 (11) 1382–1393, নোটিশ ।
• ইউরি মাতিয়াসিভিচ, ফোর কালার কনজেকচারের এক প্রব্যাবিলিস্টিক সমতুল্য, তেওরিয়া ভেরোয়্যাটনোস্টেই আই প্রিমেনেনিয়ায় 48 411–416 , 2003- এ কাগজের অনুবাদ ।
• ইউরি Matiyasevich, চার রঙ অনুমান কিছু সম্ভাব্য Restatements , গ্রাফ জার্নাল তত্ত্ব 46 167-179, 2004. ( উদ্ভাবনের )

Answer 11

আমি পশ্চিমের নিম্নলিখিত অনুমানটি সবেমাত্র চালোপিন এবং গোনালভেস (স্টক '09) এর একটি গবেষণাপত্রে পড়েছি:

প্রতিটি প্ল্যানার গ্রাফটি কেবলমাত্র চারটি দিক ব্যবহার করে প্লেনের বিভাগগুলির ছেদগুলি গ্রাফ।

যেহেতু সমান্তরাল বিভাগগুলি এ জাতীয় উপস্থাপনায় একটি স্বতন্ত্র সেট গঠন করে, তাই এই অনুমানটি 4 সিটি বোঝায় তবে সম্ভবত এটি আরও শক্তিশালী।

তথ্যসূত্র: পশ্চিম, ওপেন সমস্যা । সিয়াম জে ডিস্রিট ম্যাথ নিউজলেটার, 2 (1): 10-12, 1991।

Answer 12

একটি স্ন্যার্ক একটি সংযুক্ত, ব্রিজহীন ঘন গ্রাফ যা 3-প্রান্ত-রঙিন নয়। উইকিপিডিয়া অনুসরণ করে , স্নারক অনুমান , 4 সিটি সাধারণকরণ, নীচে:

প্রতিটি স্নার্কের একটি উপগ্রাফ থাকে যা পিটারসেন গ্রাফ থেকে এর কয়েকটি প্রান্তকে বিভাজন করে তৈরি করা যেতে পারে।

আবার উইকিপিডিয়া অনুসারে, এই অনুমানের একটি প্রমাণ 2001 সালে রবার্টসন, স্যান্ডার্স, সিমুর এবং থমাস ঘোষণা করেছিলেন।

Comments

স্নার্ক তত্ত্বটি 4 সিটি বোঝায় না, তাই না?

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之

এটি প্রকৃতপক্ষে 4 টিটি ইঙ্গিত করে: পিটারসন গ্রাফের প্রতিটি মহকুমা স্পষ্টভাবে নন-প্ল্যানার, সুতরাং স্ন্যার্ক অনুমানটি 4 সিটি (টেইটের কারণে) এর নিম্নলিখিত সংশোধনকে বোঝায়: প্রতিটি স্ন্যার্ক নন-প্ল্যানার।

— হারমান গ্রুবার

আহ, এখন আমি দেখছি আমার সমস্যা কোথায়। স্নার্ক উপপাদ্যের প্রমাণ আবার কম্পিউটার-সরবরাহিত প্রমাণ। আমি এই ধারণাটির আওতায় আছি যে 4 সিটি-তে কোনও মানবিক যাচাইযোগ্য প্রমাণ নেই এবং আপনার উত্তরটি ভুল বুঝেছি। ধন্যবাদ !!

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之

Answer 13

"ম্যাক্সিমাল প্ল্যানার গ্রাফগুলির ফেস লেবেলিং" হ'ল আমার পুরানো কাগজের শিরোনাম যা সম্প্রতি প্রকাশিত হয়েছে যার মধ্যে আমি সর্বাধিক প্ল্যানার গ্রাফের 4 টি রঙিনকে ফেস লেবেলের ধারাবাহিকতায় রূপান্তর করেছি। কাগজের লিঙ্কটি হ'ল http://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/091021-3.pdf

Answer 14

যেমন

এলএইচ কাউফম্যান, মানচিত্রের রঙের উপপাদ্যটি সংশোধন , বিচ্ছিন্ন গণিত 302 (2005) 145–172

পয়েন্ট আউট, Primality পুঁজি জি স্পেন্সার-ব্রাউন কারণে সেইসাথে Eliahou-Kryuchkov অনুমান FCT সমতুল্য reformulations হয়।

• এস এলিয়াহু, স্বীকৃত তির্যক উল্লিখিত এবং চার বর্ণের উপপাদ্য, ইউরোপীয় জে কম্বিন। 20 (1999) 641–646।
• এসআই ক্রিউচকভ, চার বর্ণের উপপাদ্য এবং গাছ, আইভি ক্রুচাটভ, ইনস্টিটিউট অব পারমাণবিক শক্তি, মস্কো, 1992, আইএই-5537/1।
• জি স্পেন্সার-ব্রাউন, আইন সংক্রান্ত ফর্ম, গ্যাসেটজি ডের ফর্ম, বোহেমিয়ার ভার্লাগ, 1997।

Answer 15

গ্যারি বোলিন এবং ম্যাথু জি। ব্রিনের কাগজ "রঙিন প্ল্যানার গ্রাফস উইন্ডো অ্যাসোসিয়েড্রায় রঙিন পথগুলি", শেষবার সংশোধিত 12 মে 2013, আরএক্সিভি: 1301.3984 গণিত.কমের 26 পৃষ্ঠায় নিম্নলিখিত অনুমানটি রয়েছে:

অনুমান 6.4। একই সংখ্যক পাতাসহ প্রতিটি জোড়া b নাইট, বাইনারি গাছ (ডি, আর) এর জন্য, ডি এর একটি সাইন অ্যাসাইনমেন্ট এবং D এর জন্য ঘূর্ণন প্রতীকগুলির একটি শব্দ ডাব্লু থাকে যাতে Dw = R থাকে that

এটি উল্লিখিত আছে যে কাগজের পূর্ববর্তী প্রস্তাবনা এবং উপপাদ্যগুলি অনুসরণ করে 6.4 অনুমান 4ct এর সমতুল্য।

Answer 16

একজন ট -flow একটি undirected গ্রাফে জি একটি নির্দেশ প্রতিটি প্রান্ত প্রতিস্থাপন দ্বারা প্রাপ্ত গ্রাফ হয় জি একটি চাপ দিয়ে এবং এটি মাঝের একটি পূর্ণসংখ্যা বরাদ্দ -k এবং ট , একচেটিয়া, যেমন যে, জি প্রতিটি প্রান্তবিন্দু ইন্টিজার এর সমষ্টি জন্য আর্টকে যে ভার্টেক্সে নির্দেশ করে আর্কগুলি নির্দেশ করে আর্ককে নির্ধারিত পূর্ণসংখ্যার যোগফলের সমান। একটি এনডব্লিউজেড (কোথাও শূন্য নয়) কে- ফ্লো হল একটি কে- প্রবাহ যা কোনও চাপকে 0 নম্বর বরাদ্দ করা হয়নি।

যেকোন প্ল্যানার গ্রাফ জি এর জন্য জি এর দ্বৈত গ্রাফটি এমন একটি গ্রাফ যা জি এর প্ল্যানার এমবেডিংয়ে প্রতিটি মুখের জন্য একটি করে শীর্ষবিন্দু রাখে এবং দ্বৈত ভাগের একটি প্রান্তের দুটি প্রান্তকে প্রতিটি প্রান্তের জন্য তাদের সংযুক্ত করে যা তাদের মধ্যে জি ভাগ করে রাখে তাদের সীমানায় টুটের ফ্লো-কালারিং ডিউটিয়্যাল উপপাদ্য অনুসারে, আইথমাসবিহীন প্ল্যানার গ্রাফের (যেমন প্রান্ত যার মুছে উপাদানগুলির সংখ্যা বৃদ্ধি করবে) যদি একটি ডাব্লুজেড কে- ফ্লো থাকে এবং কেবল যদি এর দ্বৈত কে- রঙিন হয়। অন্য কথায়, একটি প্ল্যানার গ্রাফ 4-কলরযোগ্য তবে কেবল যদি এর দ্বৈতটিতে NWZ 4-প্রবাহ থাকে।

নোট করুন যে 4 সিটি-তে কোনও প্লুপ গ্রাফের কোনও লুপ নেই (কোনও প্রান্তটি নিজের সাথে সংযোগকারী প্রান্তগুলি) থাকা দরকার কারণ লুপের সাথে কোনও গ্রাফ কোনও রঙের সেটের সাথে শীর্ষবিন্দুযুক্ত হতে পারে না, যেহেতু লুপের সাথে যে কোনও প্রান্তটি একটি সংলগ্ন হতে পারে একই বর্ণের ভার্টেক্স, তার বর্ণ নির্বিশেষে।

Answer 17

আমি এটি নিয়ে কাজ করছি:

আপনি যদি আয়তক্ষেত্রাকার মানচিত্রের জন্য উপপাদ্য প্রমাণ করতে পারেন, এটি কাগজের ওভারল্যাপিং শিটগুলি থেকে তৈরি মানচিত্র, আপনি 4ctও প্রমাণ করেছেন। এছাড়াও, কেবলমাত্র 5 টি প্রান্ত বা তারও বেশি মুখযুক্ত মুখের মানচিত্রগুলি অনুসন্ধানে বিবেচনা করা যেতে পারে।

বিস্তারিত জানতে http://4coloring.wordpress.com/ দেখুন ।