স্থান দক্ষ "শিল্প" ভারসাম্যহীন প্রসারক ers

Question

আমি ভারসাম্যহীন প্রসারণকারীদের সন্ধান করছি যা "ভাল" এবং "স্থান-দক্ষ"। বিশেষত, একটি দ্বিপক্ষীয় বাম-নিয়মিত গ্রাফ , , , বাম ডিগ্রি সহ একটি -এক্সপেন্ডার যদি কোনও সর্বাধিক আকারের , এর স্বতন্ত্র প্রতিবেশীদের সংখ্যা এ হয় অন্তত। এটি জানা যায় যে সম্ভাব্য পদ্ধতিটি এবং সাথে এমন একটি গ্রাফ দেয় । তবে একজনের জন্য| ক | = এন | খ | = মি d ( কে , ϵ ) এস ⊂ এ কে এস বি ( 1 - ϵ ) ডি | এস | d = O ( লগ ( এন / কে ) / ϵ ) এম = ও ( কে লগ ( $G=(A,B,E)$$|A|=n$$|B|=m$$d$$(k,\epsilon)$$S \subset A$$k$$S$$B$$(1-\epsilon)d|S|$$d=O(\log (n/k)/\epsilon)$ও ( এন ডি $m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)$$O(n d)$যেমন একটি গ্রাফ সঞ্চয় স্থান। এছাড়াও গ্রাফ সহ যে কোনও কিছু করার সময় এই স্টোরেজটি অ্যাক্সেস করা দরকার, যার জন্য ব্যয়ও হতে পারে। আদর্শভাবে, এক একটি সুস্পষ্ট নির্মাণ চাই। তবে যতদূর আমি জানি, পরিচিত নির্মাণগুলি প্যারামিটারগুলি অর্জন করে যা উপরের থেকে এখনও কিছুটা দূরে রয়েছে (অন্তত সম্ভাব্যভাবে তাই)।

আমার প্রশ্ন: অন্য যে কোনও নির্মাণ রয়েছে, সম্ভবত স্পষ্টতই নয়, যা উপরের অংশগুলির সাথে "সীমাবদ্ধ" অর্জন করে, তবুও স্থানের চেয়ে "উল্লেখযোগ্যভাবে কম" ব্যবহার করে ?$O(nd)$

আমি এই তিনটি বিভাগের যেকোন একটিতে উত্তর খুঁজছি: (ক) উপপাদ্য (খ) অনুমান (গ) পর্যবেক্ষণ এবং "যুদ্ধের গল্প" যেমন "আমরা এটি করেছি এবং এটি এক ধরণের কাজ বলে মনে হয়েছিল (সাজানো)"। অর্থাৎ, "শিল্প" সম্প্রসারণকারী ঠিক আছে। আমি (ক) ওভার (খ) ও (খ) ওভার (সি) এর চেয়ে বেশি পছন্দ করি, তবে ভিক্ষুকরা পছন্দকারী হতে পারে না :)

এখানে (গ) ধরণের একটি নির্মাণের উদাহরণ রয়েছে। নিন র্যান্ডম রৈখিক হ্যাশ ফাংশন (গেলিক ভাষার ), এবং প্রতিটি প্রান্তবিন্দু সংযোগ করতে । আমি এবং আমার ছাত্র এটিতে কিছু পরীক্ষা-নিরীক্ষা করেছি এবং দেখে মনে হচ্ছে এটি "জরিমানা" কাজ করে। এই বা সম্পর্কিত নির্মাণ সম্পর্কে কোনও উপপাদ্য বা অনুমান আছে?h i : [ n ] → [ m ] m i h 1 ( i ) … h d ( i $d$$h_i: [n] \to [m]$$m$$i$$h_1(i) \ldots h_d(i)$

ধন্যবাদ!

Comments

এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন, তবে কোনও উত্তর নেই বলে মনে হচ্ছে! প্রমাণের কাজ করার জন্য কেউ কি যাদুর কাঠি হিসাবে প্রসারণকারী ব্যবহার করে না? আমি ভেবেছিলাম কিছু ধরণের রামানুজন গ্রাফ তৈরি করা বেশ সহজ।

— আন্দ্রেস সালামন

রামানুজন গ্রাফগুলি নির্মাণ করা তুলনামূলকভাবে সহজ, তবে সেগুলি ভারসাম্যযুক্ত , অর্থাত্ মি = এন।

— পাইওটার

আপনি কি গুরুস্বামী-উমানস-বোধন নির্মাণের দিকে নজর দিয়েছেন? আমি ভাবছি কেন এটি আপনার প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে না।

— Zeyu

Answer 1

Eickmeyer এবং Grohe (2010) প্রমাণ আপনার প্রার্থীর নির্মাণ স্পষ্ট করা যেতে পারে: নিতে কিছুটা সুসংগত স্বাধীন রৈখিক হ্যাশ ফাংশন জ 1 , ... , জ ঘ এবং সংযোগ বাম ছেদচিহ্ন v অধিকার ছেদচিহ্ন সঙ্গে জ 1 ( বনাম ) , ... , জ ঘ ( v ) । আইকমিয়ার এবং গ্রোহে দেখায় যে এই নির্মাণটি ( কে , ϵ ) - বাম ডিগ্রি d = কে ( টি - 1 ) সহ এক্সপেন্ডারগুলি দেয়$d$$h_1,\dots,h_d$$v$$h_1(v),\dots,h_d(v)$$(k,\epsilon)$ , যখনই টি একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, বাম প্রান্তিক সংকলনের আকার n = q t থাকে , ডান প্রান্তিকের সেটের আকার m = d q থাকে এবং Q > d একটি প্রধান শক্তি। হ্যাশ ফাংশন এইচ 1 , … , এইচ ডি এমনভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে যাতেতাদেরকোনও টি লৈখিকভাবে স্বতন্ত্র থাকে।$d=k(t-1)/(2\epsilon)$$t$$n=q^t$$m=dq$$q>d$$h_1,\dots,h_d$$t$

Answer 2

আমি ভেবেছিলাম আভি উইগডারসনের জরিপ / কথাবার্তা একবার দেখে আপনার প্রশ্নের সাথে সহায়তা করতে পারে। সাম্প্রতিক আলাপের স্লাইডগুলি এখানে: এক্সপেন্ডার টিউটোরিয়াল, জুন ২০১০ । 40 পৃষ্ঠায় নির্মাণ শুরু।

স্থান জটিলতা সম্পর্কে, আমি মনে করি আপনি গ্রাফটিতে সঞ্চালনের জন্য প্রয়োজনীয় অপারেশনগুলি নির্দিষ্ট করে দিলে এটি সহায়ক হতে পারে। যদি আমার ভুল না হয় তবে কিছু নির্মাণ লগস্পেসে পাড়ার কম্পিউটিংয়ের মতো পরিচালনার অনুমতি দেয়।