গ্রাফের সর্বোচ্চ ভারসাম্যহীনতা?

যাক একটি সংযুক্ত গ্রাফ হতে নোড সঙ্গে এবং প্রান্ত । যাক বোঝাতে গ্রাফ (পূর্ণসংখ্যা) ওজন সঙ্গে, গ্রাফ মোট ওজন। তারপরে নোডের গড় ওজন হ'ল । যাক বোঝাতে নোডের বিচ্যুতি গড় থেকে। আমরা কল করিভারসাম্যহীনতা নোডের । $G$ $G = (V,E)$ $V = 1 \dots n$ $E$ $w_i$ $G$ $\sum_i w_i = m$ $\bar w = m/n$ $e_i = w_i - \bar w$ $i$ $|e_i|$ $i$

মনে করুন যে কোনও দুটি সংলগ্ন নোডের মধ্যে ওজন সর্বাধিক , অর্থাৎ by দ্বারা পৃথক হতে পারে $1$

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

প্রশ্ন : এবং ক্ষেত্রে নেটওয়ার্কের সবচেয়ে বড় সম্ভাব্য ভারসাম্যহীনতা কী ? আরও সুনির্দিষ্ট হওয়ার জন্য, ভেক্টরটি । আমি বা সংক্রান্ত ফলাফলগুলিতে সমানভাবে সন্তুষ্ট থাকব । $n$ $m$ $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ $||\vec{e}||_1$ $||\vec{e}||_2$

জন্য , একটি সহজ গ্রাফ ব্যাস পরিপ্রেক্ষিতে আবদ্ধ পাওয়া যেতে পারে: যেহেতু সব শুন্যতে যোগফল হবে, যদি সেখানে একটি বৃহৎ ইতিবাচক , সেখানে কোথাও একটি নেতিবাচক হতে হবে । তাই তাদের পার্থক্যকমপক্ষে, তবে এই পার্থক্যটি নোড এবং মধ্যে সর্বাধিক সংক্ষিপ্ততম দূরত্ব হতে পারে, যা ঘুরে ফিরে গ্রাফের ব্যাস হতে পারে। $||\vec{e}||_\infty$ $e_i$ $e_i$ $e_j$ $|e_i - e_j|$ $|e_i|$ $i$ $j$

আমি আরও দৃ stronger় সীমানায় আগ্রহী, বিশেষত - বা জনের জন্য। আমি মনে করি গ্রাফের সংযোগটি প্রতিফলিত করতে এটিতে কিছু বর্ণালী গ্রাফ তত্ত্ব জড়িত হওয়া উচিত। আমি এটিকে সর্বোচ্চ-প্রবাহ সমস্যা হিসাবে প্রকাশ করার চেষ্টা করেছি, কোনও লাভ হয়নি। $1$ $2$

সম্পাদনা: আরও ব্যাখ্যা। আমি - বা অ্যানোরমে আগ্রহী কারণ তারা মোট ভারসাম্যকে আরও সঠিকভাবে প্রতিবিম্বিত করে। একটি তুচ্ছ সম্পর্ক , এবং । তবে আমি প্রত্যাশা করি যে গ্রাফের সংযোগ এবং সংলগ্ন নোডগুলির মধ্যে বোঝার পার্থক্যের ক্ষেত্রে আমার সীমাবদ্ধতার কারণে, - এবং নরমम्सটি আরও ছোট হওয়া উচিত। $1$ $2$ $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ $1$ $2$

উদাহরণ: সহ মাত্রা d এর হাইপারকিউব । এর ব্যাস । সর্বোচ্চ ভারসাম্যহীনতা তখন সর্বাধিক । এটি -nnd উপরের সীমা হিসাবে প্রস্তাব দেয় । এখনও অবধি, আমি এমন পরিস্থিতি তৈরি করতে অক্ষম হয়েছি যেখানে এটি আসলে পাওয়া গেছে, আমি সবচেয়ে ভাল করতে পারি ধারে কিছু , যেখানে আমি একটি চক্র এম্বেড করে রেখেছি হাইপারকিউব এবং নোডগুলিতে , , , ইত্যাদি ভারসাম্যহীনতা আছে তাই এখানে the এর একটি ফ্যাক্টর দ্বারা সীমাটি বন্ধ রয়েছে $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$ , যা আমি ইতিমধ্যে অত্যধিক বিবেচনা করি, যেহেতু আমি (asympototically) আঁটসাঁট সীমাটি খুঁজছি।

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— Lagerbaer
সূত্র

আকর্ষণীয় প্রশ্ন। কোন বিশেষ প্রয়োগ আছে?

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ আন্দ্রেস সালামন: সম্পাদনার জন্য ধন্যবাদ। @ সুরেশ ভেঙ্কট: ধরুন ওজনগুলি ইউনিফর্ম আকারের এজেন্টগুলির সংখ্যা উপস্থাপন করে, যারা তাদের অভিজ্ঞ বোঝাটি হ্রাস করতে চান।

হলে তারা

থেকে

যেতে চাইবে । যদি কেউ নড়াচড়া করতে না চায়, আমরা এটিকে ন্যাশ ভারসাম্য বলি। প্রশ্ন: ন্যাশ ভারসাম্য রক্ষার জন্য আমাদের মধ্যে সবচেয়ে বড় মোট ভারসাম্যহীনতা কী হতে পারে?

i

$i$

j

$j$

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$

— লেগেরবেয়ার

আপনি কি এমন কোনও গ্রাফের উদাহরণ পেয়েছেন যেখানে আপনার সাধারণ ব্যাসের আবদ্ধতাটি খুব আলগা?

— মুহুম

ঠিক আছে, আমি অপ্রয়োজনীয়ভাবে অন্যান্য দুটি নিয়মকে আবদ্ধ করতে পারি

। আমি

- বা

অ্যানরমে আগ্রহী কারণ তারা "মোট" ভারসাম্যহীনতা আরও নির্ভুলভাবে ক্যাপচার করে। আমি আমার প্রশ্নের একটি উদাহরণ যুক্ত করেছি।

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— লেগারবেয়ার

হাইপারকিউবারের জন্য, আমরা যদি তাদের হামিং ওজন দ্বারা ভার্টেক্সগুলি ওজন করি? আমি something এর মতো কিছু পাই

জন্য

, এবং আমি মনে করি

আদেশের হতে হবে

।

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— আর্টেম কাজনাটচিভ

উত্তর:

যেহেতু দ্বারা ব্যাস বেষ্টিত , আদর্শ জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ দ্বারা বেষ্টিত হতে যাচ্ছে , অনুরূপভাবে জন্য আদর্শ, ছাড়া $|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ (প্রকৃতপক্ষেআদর্শদ্বারা আবদ্ধ)। $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

ক্ষেত্রে সক্রিয় আউট বিশ্লেষণ করতে আশ্চর্যজনক সহজ হবে। $\ell_1$

একটি পথের জন্য, এটি দেখতে সহজ যে হ'ল , সুতরাং আপনি চেয়ে ভাল আর কিছু করতে পারবেন না । $\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

সম্পূর্ণ জন্য -ary গাছ, আপনাকে root- এ অর্ধেক এটি বিভক্ত করা যেতে পারে, সেটিং , এক দিকে আরোহী এবং অন্যান্য সাজানো পর্যন্ত পাতার আছে , আবার। $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

একটি চক্রের জন্য আপনি কীভাবে ওজনগুলি বিতরণ করবেন তা বাস্তবে গুরুত্বপূর্ণ নয়, যেহেতু সেগুলি সমস্ত একে অপরের এর মধ্যে থাকবে এবং এর ফলে আবার পাওয়া যাবে। $1$ $O(n) = O(nd)$

আপনি যখন বুঝতে পারবেন যে আমরা এখানে যে বিষয়ে কথা বলছি তা একটি ফাংশন , এবং তারপরে আমরা যতক্ষণ নির্বিচারে ওজন বিতরণ করতে পারি ততক্ষণ আমরা এর আদর্শ নিচ্ছি সমানভাবে পরিসীমা জুড়ে, সীমাটি । $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

এটির পরিবর্তনের একমাত্র উপায় হ'ল ভর দিয়ে গেমস খেলানো। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার পয়েন্টগুলিতে একাধিক দৈত্য চক্র থাকে যা অগত্যা সুষম হয় তবে দুটি দৈর্ঘ্যের সমান দৈর্ঘ্যের দুটি দৈর্ঘ্যযুক্ত দৈত্য চক্রের মতো আপনি কেবলমাত্র (যেমন উদাহরণস্বরূপ) একটি গণ্ডিতে গুনতে পারেন । $O(d^2)$

এটি কিছুটা ডিগ্রি প্রসারণকারীদের ক্ষেত্রেও সত্য হতে পারে, তবে আমি নিশ্চিত নই। আমি এমন কোনও ক্ষেত্রে কল্পনা করতে পারি যেখানে আপনি নিয়মিত গ্রাফে নির্ধারণ করেন এবং তারপরে প্রতিটি হপ থেকে মানগুলি পরে বাড়তে দিন। সম্ভবত মনে হয় যে গড়টি সম্ভবত সবচেয়ে বেশি পরিমাণে থাকতে পারে তবে আমি জানি না যে এটি সীমাটি প্রভাবিত করার পক্ষে যথেষ্ট হবে কিনা। $w_1 = 0$

আমি মনে করি যে আপনার সম্পর্কে একভাবে যুক্তি পারে । $\ell_2$

সম্পাদনা করুন:

মন্তব্য আমরা মূর্ত আউট একটি (আলগা) বাউন্ড সমস্যা সীমাবদ্ধতার এবং কিছু মৌলিক ভুতুড়ে গ্রাফ তত্ত্ব ব্যবহার করে। $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— জোসেফিন মোলার
সূত্র

আমি আপনার উত্তর পছন্দ। তবে, " যতক্ষণ না আপনি নির্বিচারে ব্যাপ্তি জুড়ে সমানভাবে ওজন বিতরণ করতে পারেন " তাতে আমার সমস্যা আছে । আমি কি এমন পরিস্থিতিটি কল্পনা করতে পারি না যেখানে ব্যাসের সীমাবদ্ধতা আমাকে কোথাও একটি ওজন

রাখার অনুমতি দেয় তবে গ্রাফের কাঠামোটি এমন যে আমি সম্ভবত এই বড় ধনাত্মক ওজনকে ক্ষতিপূরণ দিতে পারি না? সুতরাং, যখন

অবশ্যই হয় একটি ঊর্ধ্ব আবদ্ধ, এটা সম্ভব কঠিন সীমার প্রাপ্ত হবে? অবশেষে দ্বিতীয়-বৃহত্তমতম ল্যাপলাসিয়ান ইগেনালু বা দ্বিতীয় বৃহত্তম সংলগ্ন আইজভ্যালু (তারা সংযোগের তথ্যের এনকোড করার সময়) ব্যবহার করছেন?

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— লেগারবায়ার

আচ্ছা আপনি স্থাপন করা হয় না

, তুমি স্থাপন

। তাই আপনি যদি সরল আছে

, সেখানে ছোট ওজন এটি গড়, অথবা অন্য বড় ওজন ওপারে সম্পূর্ণভাবে এটা উল্টোদিকে উপর ক্ষতিপূরণ বৃহৎ সংখ্যা হতে হবে। আপনি

চেয়ে ছোট বাউন্ডারি পেতে পারে এমন একমাত্র উপায় হ'ল কোনওভাবে কাঠামোর উপর নির্ভর করা। এবং যেমন আমি বলেছিলাম, আমি নিশ্চিত নই যে এর অর্থ কী হবে, বলুন, একজন প্রবাসী। আমি মনে করি না আপনি খাঁটি আচরণের ভিত্তিতে খাঁটিভাবে এটি করতে পেরেছিলেন, কারণ আমার জবাবগুলিতে আমি যে মামলাগুলি রেখেছি of

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— জোসেফাইন মোলার

আমাকে আরও একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। দুটি চক্র সহ একটি ডামবেল গ্রাফ খুব কম পরিবাহিতা রয়েছে তবে এর ভারসাম্যহীনতা ২ দ্বারা আবদ্ধ

— জোসেফাইন মোলার

কাঠামোর সাথে সম্পর্কিত এমন একটি আবদ্ধ হ'ল এমন কিছু যা আমি পুরোপুরি খুশি হব। এজন্য আমি ইগেনভ্যালুগুলি উল্লেখ করেছি, কারণ তারা সংযোগের বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত। গ্রাফের ল্যাপলাচিয়ান ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় ক্ষুদ্রতম আইজেনভেেক্টরের ক্ষেত্রে, ব্যাসের সীমানা, গড় পথ, আইসোপ্যারিমিট্রিক সংখ্যা ইত্যাদি রয়েছে।

— লেগারবেয়ার

আপনার অন্যান্য উদাহরণটি এখনই পড়ুন। আমি প্রত্যাশা করি যে এই জাতীয় গ্রাফের মধ্যে খুব ছোট দ্বিতীয়-ক্ষুদ্রতম ল্যাপ্লেসিয়ান ইজেনভ্যালুও থাকবে, কারণ আইসোপরিমিত্রিক সংখ্যাটি

কাছাকাছি হবে ।

2 / n

$2/n$

— লেগারবেয়ার

সংযুক্ত গ্রাফের জন্য, ভারসাম্যটি গ্রাফের ব্যাসের সাথে উপরের দিকে আবদ্ধ। ভারসাম্য বদ্ধ করার জন্য , আমরা প্রতিটি কে হিসাবে আবার লিখতে পারি কোথায় $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ থেকে পর্যন্ত সবচেয়ে সংক্ষিপ্ততম পথ। নির্ধারণ । আমরা লিখতে পারি $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

প্রতিটি উপরের সবচেয়ে কম পথের দৈর্ঘ্য দ্বারা বেষ্টিত থেকে করতে আপনার ধৃষ্টতা যে প্রত্যেকের জন্য । অতএব, আমরা তুচ্ছ বাঁধা পেতে: $w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

এটি সম্ভবত সর্বোত্তম থেকে খুব বেশি দূরে নাও হতে পারে। আমি একটি সম্পূর্ণ -ারি গাছের কথা ভাবছি যেখানে প্রতিটি স্তরের নোডগুলির পূর্ববর্তী স্তরের ওজনের চেয়ে ওজন একটি বেশি থাকে। গ্রাফের একটি বড় ভগ্নাংশের সর্বোচ্চ ওজন, । সুতরাং, গড় উপরের দিকে skew করা উচিত। হিসাবে এবং বৃহত্তর পেতে, আমি আশা কাছাকাছি এবং কাছাকাছি পেতে যার মানে ভারসাম্যহীনতা কাছাকাছি এবং কাছাকাছি থেকে পাওয়া উচিত । $k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— নিকোলাস রুউজি
সূত্র

যতদূর আমি বলতে পারি এখানে স্কেচ করা নির্মাণ কঠোর করা যায়,

কাছাকাছি ভারসাম্যহীনতা অর্জনের জন্য is যাইহোক, প্রশ্ন নির্দিষ্ট করে না সেখানে কি ঘটছে যখন ছেদচিহ্ন সংলগ্ন নয়, একটি সহজ নির্মাণ প্রান্তবিন্দু ব্যবহার করে একটি সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন গ্রাফ হয়

থাকার ওজন

এবং ওজন সঙ্গে অন্যান্য সব ছেদচিহ্ন

। এটির গড় ওজন

রয়েছে এটিও এর সর্বোচ্চ ভারসাম্যহীনতা। এটিকে স্পষ্টতই বড় পরিমাণে

, এবং

বেছে নিয়ে নির্বিচারে

কাছাকাছি করা যায়

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$ পছন্দসই হিসাবে বড় করা যেতে পারে।

— আন্দ্রেস সালামন

@ আন্দ্রেস সালামন: ভাল কথা। উপরের উত্তরটি ধরে নিয়েছে যে প্রদত্ত গ্রাফ

সংযুক্ত আছে। এটি পরিষ্কার করার জন্য আমি এটি সম্পাদনা করব।

G

$G$

— নিকোলাস রুউজ্জি

আমি আমার প্রশ্নের সাথে "সংযুক্ত" সীমাবদ্ধতা যুক্ত করেছি, কারণ এটি আমার মনে ছিল। উত্তর এখানে একটি সীমাবদ্ধ উপস্থাপন

। এছাড়াও, যখন আমি "নিকৃষ্টতম" মামলার জন্য জিজ্ঞাসা করি তখন আমার মনে ছিল যে গ্রাফটি ঠিক করা হবে এবং আমি সেই নির্দিষ্ট গ্রাফের জন্য সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি সন্ধান করার চেষ্টা করব।

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$

— লেগারবায়ের