র‌্যাঙ্ক এবং আনুমানিক র‌্যাঙ্কের মধ্যে বৃহত্তম ব্যবধানটি কী?

আমরা জানি যে 0-1 ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্কের লগটি হ'ল ডিটারমিনিস্টিক যোগাযোগ জটিলতার নিম্ন সীমানা এবং আনুমানিক র‌্যাঙ্কের লগটি এলোমেলো যোগাযোগের জটিলতার নিম্ন সীমানা। নির্বিচারে যোগাযোগ জটিলতা এবং এলোমেলো যোগাযোগের জটিলতার মধ্যে সবচেয়ে বড় ব্যবধানটি হ'ল তাত্পর্যপূর্ণ। তাহলে বুলিয়ান ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক এবং আনুমানিক র‌্যাঙ্কের মধ্যে ব্যবধানটি কী?

— pyao
সূত্র

ম্যাট্রিক্সের "আনুমানিক র‌্যাঙ্ক" কী?

— সুরেশ ভেঙ্কট

ϵ

$\epsilon$ একটি বুলিয়ান ম্যাট্রিক্স -approximate র্যাঙ্ক

M

$M$ একটি বাস্তব ম্যাট্রিক্স ন্যূনতম র্যাঙ্ক হয়

A

$A$ থেকে পৃথক

M

$M$ দ্বারা সর্বাধিক

ϵ

$\epsilon$ কোনো এন্ট্রি (Cf. Buhrman এবং উলফ 2001, "polynomials দ্বারা কমিউনিকেশন জটিলতা কম সীমা")। এটা তোলে প্রশ্ন এই ব্যাখ্যা করতে সম্পাদনা করুন (যদি এটা আকাঙ্ক্ষিত সংজ্ঞা) এবং ভূমিকা বর্ণনা করতে সহায়ক হবে

ϵ

$\epsilon$ (যেহেতু পদমর্যাদার পার্থক্য পরিষ্কারভাবে উপর নির্ভর করে

ϵ

$\epsilon$ )।

— এমজেকিএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্স

প্রথমে আমি কিছু পটভূমি দেব এবং আনুমানিক র‌্যাঙ্কটি সংজ্ঞায়িত করব। যোগাযোগের জটিলতায় লি এবং শ্রাইবমান লোয়ার বাউন্ডের সাম্প্রতিক জরিপটি একটি ভাল রেফারেন্স ।

সংজ্ঞা: আসুন চিহ্ন ম্যাট্রিক্স হও। আনুমানিক র্যাঙ্ক পড়তা ফ্যাক্টর সঙ্গে , প্রকাশ , হয় $A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$

যখন , সংজ্ঞায়িত করুন $\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$ ।

দ্বারা একটি ফলাফলের Krause বলছেন যে যেখানে এবং হয় দ্বারা আবদ্ধ ত্রুটিযুক্ত -এর বাউন্ডড-ত্রুটি ব্যক্তিগত-কয়েন যোগাযোগ জটিলতা । $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

উপরেরটি ব্যাকগ্রাউন্ডের জন্য ছিল। এখন প্রশ্নের উত্তর দিতে, Paturi ও সিমন দেখিয়েছেন যে পুরোপুরি সীমাবদ্ধ-ত্রুটি যোগাযোগ জটিলতা চরিত্রকে । তারা দেখিয়েছেন যে এই ব্যবস্থা বুলিয়ান ফাংশন যার যোগাযোগ ম্যাট্রিক্স হয় নিরূপক ন্যূনতম মাত্রা সঙ্গে সম্মত । সমতা ফাংশনের আনবাউন্ডেড-ত্রুটি যোগাযোগের জটিলতা হ'ল । মন যে রাখতে. $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$

সমতার জন্য যোগাযোগ ম্যাট্রিক্স কেবল পরিচয়, অর্থাত্, সারি এবং কলামগুলির সাথে একটি ত্রিভুজের সমস্ত বুলিয়ান ম্যাট্রিক্স । এর দ্বারা এই বোঝাতে যাক । অ্যালন সেই দেখিয়েছিল যা লোগারিথমিক ফ্যাক্টরের সাথে আঁটসাঁট রয়েছে (ক্রাউস দ্বারা উপপাদ্য সহ আমরা )। $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

পরিচয় ম্যাট্রিক্সের পুরো র‌্যাঙ্ক রয়েছে, অর্থাৎ । সুতরাং, আমাদের কাছে এবং জন্য তাত্পর্যপূর্ণভাবে বড় বিভাজন রয়েছে । $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— মার্কোস ভিলাগ্রা
সূত্র

ধন্যবাদ। তবে আমার প্রশ্নটি যদি এবং , যেখানে কিন্তু নয় তবে তার জন্য যথেষ্ট গতি নেই ।

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— pyao

আঃ আমি দেখছি, তবে তা প্রশ্নে লেখা নেই। আমার জ্ঞানের মতে সবচেয়ে বড় ব্যবধানটি হ'ল घाষ্টীয়।

— মার্কোস ভিলাগ্রা

মার্কোস আপনাকে একটি রেফারেন্স দেয় যা এবং

মধ্যে ব্যবধান দেখায় । ম্যাট্রিক্সের আকার

হলে কীভাবে একটি উচ্চতর এক্সপেনশিয়াল ফাঁক থাকতে পারে ?

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— সাশো নিকোলভ

আপনি কি rather এর পরিবর্তে ব্যবধান বলতে চান ?

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— সাশো নিকোলভ

? Sasho একটি ভাল পয়েন্ট, আপনি কি সঙ্গে "সুপার-সূচকীয় কোনো সংযোগ সমস্যা জন্য, ম্যাট্রিক্স সবসময় শেষ হয়ে গেছে মানে কী তোলে ।

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

— মারকোস Villagra