টাইপ থিওরিতে ইনডাকটিভ সংজ্ঞাগুলিতে ভবিষ্যদ্বাণীকারীর ভূমিকা কী?

Question

আমরা প্রায়শই কিছু অনুমানের নিয়ম অনুসারে একটি বস্তু সংজ্ঞায়িত করতে চাই । এই নিয়মগুলি একটি উত্পন্ন ফাংশন F বোঝায় যা এটি যখন একঘেয়ে হয় তখন কমপক্ষে একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট μ এফ দেয় । আমরা নিতে একটি : = μ এফ এর "প্রস্তাবনামূলক সংজ্ঞা" বলে একজন । তদুপরি, এফের একঘেয়েমি আমাদের "ইনডাকশন নীতি" দিয়ে যুক্তি তৈরি করতে দেয় যখন সেটটিতে A থাকে (যেমন যখন কোনও সম্পত্তি সার্বজনীনভাবে A এ ধারণ করে $A \in U$$F$$\mu F$$A := \mu F$$A$$F$$A$$A$ )।

Coq সালে একটি লেখা এই অনুরূপ সংজ্ঞা একটি স্পষ্ট ভূমিকা শর্তাবলীর সাথে। যদিও এই সংজ্ঞাটি একটি নির্দিষ্ট ফাংশন এফ বোঝায় , সেই ফাংশনটি অগত্যা একঘেয়ে নয়। কোক তাই সংজ্ঞাটির "সু-গঠনের" গ্যারান্টি হিসাবে কিছু সিনট্যাকটিক চেক নিয়োগ করে। কিছুটা আনুমানিকভাবে, এটি ভূমিকা পদগুলির ধরণের নেতিবাচক অবস্থানে A এর ঘটনাগুলি প্রত্যাখ্যান করে ।$\mathtt{Inductive}$$A$$F$$A$

(যদি এ পর্যন্ত আমার বোঝাপড়া ত্রুটিযুক্ত হয় তবে দয়া করে আমাকে সংশোধন করুন!)

প্রথমত, ককের প্রসঙ্গে কিছু প্রশ্ন:

1) Coq মধ্যে অন্বিত চেক নিছক তা নিশ্চিত করার জন্য সংজ্ঞার সেবা প্রদান করে হল বিধেয়স্বরূপ$A$ ? (যদি তা হয় তবে অবিশ্বাস্যতা কি একমাত্র উপায়ে সংজ্ঞাটিকে সংজ্ঞায়িত করা হবে?) বা এটি একঘেয়েমিটির জন্য অনুসন্ধান করছে? (স্বতঃস্ফূর্তভাবে, নিরপেক্ষতা কি এটি হত্যা করতে পারে?)

2) যেমন একটি নেতিবাচক সংঘটন করে অগত্যা যে পরোক্ষভাবে একটি 'র সংজ্ঞা impredicative / অ একঘেয়ে হয়? বা কক কেবল সেই ক্ষেত্রে এটির সংজ্ঞা দেওয়া আছে কিনা তা যাচাই করতে অক্ষম?$A$$A$

এবং আরও সাধারণভাবে:

3) একটি সংক্ষিপ্ত সংজ্ঞা এবং তার সংজ্ঞা উত্পাদনকারী ফাংশন একঘেয়েমি এর ভবিষ্যদ্বাণী মধ্যে কি সম্পর্ক? তারা কি একই মুদ্রার দুটি দিক? তারা কি সম্পর্কহীন? অনানুষ্ঠানিকভাবে, কোনটি আরও গুরুত্বপূর্ণ?

Answer 1

না, এক্ষেত্রে, ভবিষ্যদ্বাণী এবং একঘেয়েতাই নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত নয়।

কোক / অ্যাডগায় ইতিবাচক চেকটি নিশ্চিত করে তোলে যে আপনি মোটামুটিভাবে একঘেয়ে বিষয়টির কমপক্ষে স্থির বিন্দু নিচ্ছেন।

জালাগুলি এবং একঘেয়ে অপারেটরগুলির ক্ষেত্রে কীভাবে প্ররোচক ধরনের সম্পর্কে ভাবেন তা এখানে। রিকল Knaster-Tarski উপপাদ্য বলছেন যে একটি সম্পূর্ণ জাফরি উপর , যে একঘেয়েমি অপারেটর চ : এল → এল অন্তত নির্দিষ্ট বিন্দু আছে μ ( চ ) । এর পরে, আমরা প্রকারের অধীনে একটি জাল গঠন হিসাবে টাইপ তত্ত্বের প্রকারগুলি সম্পর্কে ভাবতে পারি। অর্থাৎ টাইপ এস নিচে টি যদি সত্য এস entails যে টি । এখন, আমরা যা করতে চাই তা হল টাইপগুলিতে মনোোটোন অপারেটর এফ গ্রহণ করা এবং এই অপারেটরের কমপক্ষে নির্দিষ্ট পয়েন্টটির ব্যাখ্যা পেতে নাস্টার-টারস্কি ব্যবহার করুন$L$$f : L \to L$$\mu(f)$$S$$T$$S$$T$$F$ । $\mu(F)$

তবে, টাইপ থিওরী টাইপগুলি কেবল একটি জাল নয়: এগুলি একটি বিভাগ তৈরি করে। যে দুই ধরনের দেওয়া এবং টি , সেখানে সম্ভাব্য হয় অনেক জন্য উপায়ে এস নিচে হতে টি প্রতিটি প্রমাণ জন্য এক পথ সঙ্গে, ই : এস → টি । সুতরাং একটি প্রকার অপারেটর এফ এছাড়াও এই প্রমাণগুলিতে বুদ্ধিমান কিছু করতে হবে। একঘেয়েমিটির যথাযথ সাধারণীকরণ হ'ল ফ্যান্টটোরিটি । এটি হ'ল, আমরা চাই যে এফগুলির প্রকারভেদে অপারেটর থাকে এবং প্রমাণগুলির উপরেও কোনও পদক্ষেপ থাকে, যেমন যদি e : S → T হয় , তবে এফ $S$$T$$S$$T$$e : S \to T$$F$$F$$e : S \to T$ ।$F(e) : F(S) \to F(T)$

এখন, ছদ্মবেশটি অঙ্কগুলি এবং পণ্যগুলি দ্বারা সংরক্ষণ করা হয় (যেমন, যদি এবং G প্রকারভেদে এন্ডফান্টেক্টর হয়, তবে F + G এবং F × G (অভিনব পয়েন্টওয়াইস) এছাড়াও প্রকারের ফান্টেক্টর (ধরে নিই যে আমাদের বীজগণিতগুলিতে যোগফল এবং পণ্য রয়েছে) প্রকারভেদ)। তবে এটি ফাংশন স্পেস দ্বারা সংরক্ষিত নয়, যেহেতু ঘনিষ্ঠ দ্বিখণ্ডক F → G তার বাম যুক্তিতে বিপরীতমুখী হয় So সুতরাং আপনি যখন একটি সূক্ষ্ম প্রকারের সংজ্ঞা লেখেন, আপনি একটি ফান্টারের সংক্ষিপ্ত বিবরণটি নির্ধারণ করছেন। এটি সত্যই একটি ফান্টেক্টর তা নিশ্চিত করার জন্য, আপনাকে ফাংশন স্পেসের বাম-পাশের পুনরাবৃত্ত প্যারামিটারের ঘটনাগুলি বাতিল করতে হবে --- সুতরাং ইতিবাচকতা পরীক্ষা করে নিন।$F$$G$$F+G$$F\times G$$F \to G$

Impredicativity (সিস্টেম এফ এর অর্থে) সাধারণত এড়ানো হয়, কারণ এটি এমন একটি নীতি যা আপনাকে শাস্ত্রীয় যুক্তি এবং সেট-তাত্ত্বিক মডেলগুলির মধ্যে বেছে নিতে বাধ্য করে। ধ্রুপদী সেট তত্ত্বে সেটগুলির মতো ধরণের ব্যাখ্যা আপনি করতে পারবেন না যদি আপনার কাছে এফ-স্টাইল সূচক থাকে। (রেনল্ডসের বিখ্যাত "পলিমারফিজম সেট-থিওরিটিক নয়" দেখুন))

শ্রেণিবদ্ধভাবে, এফ-শৈলীর অবিশ্বাস্যতা বলছে যে প্রকার এবং পদগুলির বিভাগটি একটি সম্পূর্ণ সম্পূর্ণ বিভাগ গঠন করে (এটি হমস এবং অবজেক্ট উভয় সেট এবং সমস্ত ছোট চিত্রের সীমা বিদ্যমান)। ধ্রুপদীভাবে এটি কোনও বিভাগকে পোসেট হতে বাধ্য করে। অনেক গঠনবাদী গঠনমূলক কারণ তারা চান যে তাদের উপপাদাগুলি কেবল শাস্ত্রীয় যুক্তির চেয়ে বেশি সিস্টেমে ধারণ করা উচিত , এবং তাই তারা এমন কোনও কিছু প্রমাণ করতে চান না যা শাস্ত্রীয়ভাবে মিথ্যা হবে। অতএব তারা অবিশ্বাস্য পলিমারফিজমের উদ্রেক করছে।

যাইহোক, বহুত্ববাদ আপনাকে অনেক ধরণের শর্ত বলতে দেয় যা ধরণেরভাবে আপনার ধরণের তত্ত্বের অভ্যন্তরীণভাবে "বড়" - এবং ইতিবাচকতা তাদের মধ্যে অন্যতম! কোনও প্রকার অপারেটর মজাদার হয়, যদি আপনি একটি বহুকর্মী শব্দ উত্পাদন করতে পারেন:$F$

$$\mathsf{Fmap} : \forall \alpha, \beta.\; (\alpha \to \beta) \to (F(\alpha) \to F(\beta))$$

এটি কীভাবে মর্যাদাপূর্ণতার সাথে মিল রয়েছে? আইএমও, এটি কক থাকার জন্য খুব সুন্দর বিকল্প হবে, যেহেতু এটি আপনাকে আরও সহজে জেনেরিক প্রোগ্রামিং করতে দেয়। ইতিবাচকতা পরীক্ষার সিনট্যাক্টিক প্রকৃতি জেনেরিক প্রোগ্রামিংয়ের ক্ষেত্রে বড় বাধা, এবং আরও নমনীয় কার্যকরী প্রোগ্রামগুলির জন্য শাস্ত্রীয় অক্ষগুলির সম্ভাবনাটি বাণিজ্য করতে পেরে আমি খুশি হব।

সম্পাদনা: আপনি প্রপ এবং সেট এর মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন এমন প্রশ্নটি উত্থাপিত হয়েছিল যে কোক বিকাশকারীরা আপনি চাইলে নির্দোষ সেট-তাত্ত্বিক পদগুলিতে কোক উপপাদাগুলি সম্পর্কে ভাবার অনুমতি দিতে চান, যদি না চান করতে বাধ্য না করে। প্রযুক্তিগতভাবে, তারা প্রপ এবং সেটকে বিভক্ত করে এবং তারপরে প্রোপের গণ্য বিষয়বস্তুর উপর নির্ভর করে সেটগুলি নিষিদ্ধ করে।

সুতরাং আপনি জেডএফসিতে প্রোপকে সত্যের মান হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পারেন, এটি হ'ল বুলিয়ানরা সত্য এবং মিথ্যা। এই বিশ্বে, প্রস্তাবগুলির সমস্ত প্রমাণ সমান এবং তাই স্পষ্টতই আপনি প্রস্তাবের প্রমাণে শাখা করতে সক্ষম হবেন না। সুতরাং প্রোপের প্রমাণগুলির গণ্য বিষয়বস্তুর উপর নির্ভর করে সেটগুলির উপর নিষেধাজ্ঞা সম্পূর্ণ বোধগম্য। তদ্ব্যতীত, 2-উপাদান বুলিয়ান জালিস স্পষ্টতই একটি সম্পূর্ণ ল্যাটিস, সুতরাং এটি অবিচ্ছিন্ন সূচকে সমর্থন করা উচিত, যেহেতু নির্বিচারে সেট-মূল্যবান মিলগুলি বিদ্যমান। Sets- তে প্রেডিকটিভিটি সীমাবদ্ধতা সত্য (উপরে উল্লিখিত) থেকে উদ্ভূত হয়েছিল যে ক্লাসিকাল সেট-তাত্ত্বিক মডেলগুলিতে এফ-স্টাইলের ইনডেক্সিং হ্রাসপ্রাপ্ত।

ককের অন্যান্য মডেল রয়েছে (এটি গঠনমূলক যুক্তি!) তবে মূল বিষয়টি হ'ল শেলফের বাইরে এটি কোনও কিছুই প্রমাণ করতে পারে না যে শাস্ত্রীয় গণিতবিদ বিস্মিত হয়ে পড়বেন।

Comments

আপনার প্রতিক্রিয়া জন্য ধন্যবাদ, নীল। আপনার "প্রস্তাবনামূলক সংজ্ঞা" এর সংজ্ঞাটি "প্রাথমিক -algebra" পদ্ধতির সাথে আরও সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে মনে হয় : একঘেয়ে ফাংশনগুলির পরিবর্তে (যা প্রমাণ এবং গণনার বিষয়বস্তু সম্পর্কে কিছুই বলে না), আমরা ফান্ট্যাক্টরগুলির সাথে নিজেকে আরও উদ্বিগ্ন করি। সুতরাং একঘেয়েত্বের জন্য পরীক্ষা করার পরিবর্তে কক সত্যই মজাদার ঘটনা যাচাই করে দেখছে। যাইহোক, যদি predicativity প্রশ্নে নয়, কেন Coq ইতিবাচক-সংঘটন-যাচাই মধ্যে সংজ্ঞায়িত অবজেক্টের জন্য আলাদা করে পি দ ণ পি এবং ঐ এস ই টি বা টি Y পি ই ? $F$$\mathrm{Prop}$$\mathrm{Set}$$\mathrm{Type}$

— স্কট কিলপ্যাট্রিক

আমি আপনার প্রশ্নটি বুঝতে পারি না: কোক Inductive Blah : Prop := Foo : (Blah -> Blah) -> Blahঅন্য কিছুর মতোই ঘৃণা করে ?

— নীল কৃষ্ণস্বামী

আহ, সম্ভবত আমি অবিশ্বাস্যতার সাথে সম্পর্কিত অন্য চেকের জন্য ইতিবাচকতা পরীক্ষাটি ভুল করছি। Inductive prop : Prop := prop_intro : Prop -> prop.বনাম বিবেচনা করুন Inductive set : Set := set_intro: Set -> set.। ভবিষ্যদ্বাণীমূলক পদক্ষেপটি সংক্ষিপ্ত সংজ্ঞায় কোন উদ্বেগের কারণ না কেন পার্থক্য?

— স্কট কিলপ্যাট্রিক

@ স্কটকিলপ্যাট্রিক: এটি প্রকৃতপক্ষে একটি আলাদা চেক এবং প্রায় (ইম) ভবিষ্যদ্বাণী। অবিশ্বাস্য শক্তিশালী সিগমা-প্রকারগুলি জিরাডের প্যারাডক্সটিকে এনকোডিং করার অনুমতি দেয়, তাই কোনও মহাবিশ্বের সদস্যকে স্টোর করে ডেটাটাইপ বলে Type@{i}, কমপক্ষে একটি বৃহত্তর মহাবিশ্বে থাকতে হবে Type@{i+1}।

— ব্লেজারব্লেড

Answer 2

ইন্ডাকটিভ সংজ্ঞা এবং অবিশ্বাস্যতার মধ্যে একটি খুব গভীর সংযোগ রয়েছে, তবে আমার বোঝাটি হ'ল আপনি যা যা বলছেন তার প্রসঙ্গে (ইম) ভবিষ্যদ্বাণী বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক নয় এবং পরীক্ষাটি নিখরচায় একঘেয়েমিটির গ্যারান্টিযুক্ত, যাতে নির্দিষ্ট পয়েন্ট তত্ত্বটি হতে পারে প্রয়োগ, যথা, অন্তর্ভুক্তির নীতিটি সুস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত। (আমি এই বিষয়টিতে সংশোধন করতে ইচ্ছুক।)

Impredicativity এবং প্রস্তাবনামূলক সংজ্ঞা মধ্যে সম্পর্ক এই অন্বেষণ করা হয় আলাপ Coquand দ্বারা। এটি জি টেকুতি দ্বারা 50 এর দশকের কিছু ফলাফলের দিকে ফিরে যায় যে অবিশ্বাস্য সংজ্ঞাগুলি ইনডাকটিভ সংজ্ঞাগুলিতে হ্রাস করা যায়। বইটি

• বিশ্লেষণের উন্নত সাবসিস্টেমগুলির প্রুফ তত্ত্ব - ডব্লু। বুখহলজ, কে। শুট্টের দ্বারা শারীরিক বিজ্ঞান 2 এ মনোগ্রাফ এবং পাঠ্যপুস্তক

আপনি যদি এতে হাত পেতে পারেন তবে বিষয়টির একটি ভাল বিশ্লেষণ দেয়। এই স্লাইডগুলি একটি ওভারভিউ দেয়।

Answer 3

কেবল নিলের দুর্দান্ত ব্যাখ্যাটি সম্পূর্ণ করার জন্য, অবিশ্বাস্যতার একটি "নরম" জ্ঞান রয়েছে: নিজস্ব রেফারেন্স ব্যবহার করে সেট বা সংগ্রহের সংজ্ঞা। এই বুদ্ধিতে:

Inductive Lam : Set :=
| Var : Nat -> Lam
| App : Lam -> Lam -> Lam
| Abs : (Lam -> Lam) -> Lam

এটি একটি উদ্বেগজনক সংজ্ঞা, যেমন এটি একটি ইন্ডাকটিভ টাইপ সংজ্ঞায়িত করে, লাম একটি ফাংশন স্পেস (লাম -> লাম) ব্যবহার করে যা সংগ্রহটি নিজেই বোঝায়। এই পরিস্থিতিতে অযৌক্তিকতা ক্ষতিকারক : মিথ্যা প্রমাণের জন্য ক্যান্টোরের উপপাদ্যটি ব্যবহার করা সম্ভব। প্রকৃতপক্ষে এটি অবিশ্বাস্যতার একই ব্র্যান্ড যা নিষ্ক্রিয় সেট থিওরিটিকে গণিতের ধারাবাহিক ভিত্তি হিসাবে ছাড় দেয়। সুতরাং এটি কাক এ অনুমোদিত নয়। আরেকটি impredicativity আকারে হয় , অনুমোদিত হিসাবে আপনি সচেতন আছেন:

Definition Unit : Prop := forall X:Prop, X -> X

প্রস্তাব হিসাবে ইউনিটের সংজ্ঞাটি যে সমস্ত প্রস্তাবের সদস্য তা সংগ্রহের বিষয়ে উল্লেখ করে। যাইহোক, আমার কাছে কিছুটা অস্পষ্ট কারণে, এই অবিশ্বাস্যতা ক্ষতিকারক নয় কারণ এটি জেডএফসি-তে উপস্থিত রয়েছে ( সীমাহীন বোঝার আকারে ) যা বেমানান বলে জানা যায় না।

উপসংহারে, সংজ্ঞাগুলিতে inductive প্রকারের নেতিবাচক ঘটনাগুলি এককথায় অবিশ্বাস্যতার ফর্ম, তবে কসিকে একটি অবিশ্বাস্য কাঠামো হিসাবে কথা বলার সময় সাধারণত উল্লেখ করা হয় না ।

Comments

আমি বুঝতে পেরেছি যে আপনি বলছেন যে জেডএফসির সীমাহীন বোধগম্যতা রয়েছে। তবে এটি ভুল বলে মনে হচ্ছে - math.stackexchange.com/q/24507/79293 । চ্লিপালা -impredicative-setতাঁর বই: adam.chlipala.net/cpdt/html/Universes.html বইয়ে আলোচনা করার সময় এটি নিয়ে আলোচনা করেছেন এবং এটি নির্মূলকরণের কিছুটা বিধিনিষেধের কথা উল্লেখ করেছেন তবে এটি আমার কাছেও অস্পষ্ট।

— ব্লেজারব্লেড

$A$$\forall x\in B$$\exists x\in B$

আহ, ধন্যবাদ! আমিও দেখতে পাচ্ছি যে উপরের অবিশ্বাস্যতা কীভাবে জেডএফসি-র সাথে মেলে (যদিও আমি যে ম্যাপিংটি ব্যবহার করছি তা সম্ভবত খুব নিরীহ)। উত্তরে আপনি কি লিঙ্কটি যুক্ত করতে পারেন?

— ব্লেজারব্লেড

দুর্ভাগ্যক্রমে গুগলের কাছে এটি কঠিন মনে হয় (বা আমি সঠিক কীওয়ার্ডগুলি জানি না)। সবচেয়ে খারাপ বিষয়, উইকিপিডিয়া এবং এনএলএব উভয়ই "সীমাবদ্ধ বোঝাপড়া" (জেডএফসি, এন.ইউইকিপিডিয়া.org / উইকি / অ্যাক্সিওম_স্কেমি_ফ_স্পেসিফিকেশন ) এবং "সীমাবদ্ধ / সীমাবদ্ধ বিচ্ছেদ" (আপনি যা সংযুক্ত করেছেন) এর মধ্যে পার্থক্য করে । Ncatlab.org/nlab/show/axiom+of+separation দেখুন । তবে এই সমস্ত পরিভাষাগুলি ঘটনার অপেক্ষায় থাকা একটি ভুল বোঝাবুঝির মতো দেখায় - আমি সাধারণত কারণটি করি যে আপনার এবং লেখকের মতো "বিচ্ছেদ / বোঝা", এছাড়াও mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=4492130 করেন ।

— ব্লেজারব্লেড 26'14

এই ধরণের আলোচনার জন্য সর্বোত্তম কীওয়ার্ডগুলি হ'ল "কনস্ট্রাকটিভ সেট থিওরি", উদাহরণস্বরূপ উইকিপিডিয়া বা রথজেনের এই খুব সুন্দর নিবন্ধটি।

— কোডি