সর্বোচ্চ পরিমাণের ওজন

Question

আমি ভাবছি যে নীচের সমস্যার একটি নাম আছে বা এটি সম্পর্কিত কোনও ফলাফল রয়েছে কিনা।

যাক একটি ভরযুক্ত গ্রাফ যেখানে হতে মধ্যে প্রান্ত ওজন উল্লেখ করে এবং , এবং সমস্ত জন্য , । সমস্যাটি হ'ল শীর্ষ কোণগুলির উপসেট সন্ধান করা যা তাদের সংলগ্ন প্রান্তগুলির ওজনের যোগফলকে সর্বাধিক করে : নোট করুন যে আমি সাবসেটের ভিতরে থাকা এবং সাবসেটের বাইরে উভয় প্রান্তই গণনা করছি, যা এই সমস্যাটিকে সর্বোচ্চ-কাট থেকে পৃথক করে। যাইহোক, এমনকি যদি উভয় তোমার দর্শন লগ করা এবং V হয় এস , আমি শুধুমাত্র প্রান্ত গণনা করতে চান (U, V)$G = (V,w)$$w(u,v)$$u$$v$$u,v \in V$$w(u,v) \in [-1,1]$

$$\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v)$$ $u$$v$$S$$(u,v)$ একবার (দ্বিগুণ নয়), যা কেবলমাত্র ডিগ্রির যোগফল থেকে উদ্দেশ্যকে পৃথক করে।

মনে রাখবেন যে সমস্ত প্রান্তের ওজন অ-নেতিবাচক হলে সমস্যাটি নগণ্য - কেবল পুরো গ্রাফটি নিন!

Comments

সদৃশ প্রান্ত গণনা না করা সম্পর্কে আপনার সংজ্ঞা পরে আপনার নোটের সাথে মেলে না। আপনি অর্ডারযুক্ত জোড় বা 2-উপাদান উপগ্রহের উপর যোগফল দিচ্ছেন? (আমার পরে মনে হয় আপনি যে সম্পত্তি প্রয়োজন তা আপনাকে দেবে)

— সুরেশ ভেঙ্কট

আরেকটি দ্রষ্টব্য: ভি \ এস এর অভ্যন্তরের একমাত্র প্রান্তের ওজনগুলি গণনা করা হয়নি আপনি কি কঠোরতার ফলাফল বা আনুমানিকতা সম্পর্কে আগ্রহী, কারণ পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে, S '= V \ এর অভ্যন্তরে প্রান্তের ওজনের যোগফলকে আরও প্রাকৃতিক সমস্যা হতে পারে ।

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ: যতক্ষণ না আনুমানিক অনুপাত সম্পর্কিত প্রশ্নটিতে প্রশ্নটির আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাটি সঠিক। এটি কেবল শব্দ থেকে কোনওটি যা প্রত্যাশা করে তার দ্বিগুণ দেয়।

— সোসোশি ইতো

@ শ্যুওশিআইটো: ওহ আমি দেখতে পাচ্ছি, কারণ কাট জুড়ে প্রান্তগুলিও দু'বার গণনা করা হয়।

— সুরেশ ভেঙ্কট

সঠিক সমস্যাটি এনপি-হার্ড, কারণ সুরেশ তাঁর মন্তব্যে যেমন লিখেছেন, সমস্যাটি সীমিত। 0,1} চতুষ্কোণ প্রোগ্রামিংয়ের সমান, যা এনপি-হার্ড।

— সোসোশি ইতো

Answer 1

আসলেই কোনও সমাধান নয় তবে কিছু পর্যবেক্ষণ।

এটি নিম্নলিখিত সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে: একটি মহাবিশ্বকে , এবং সেট , এবং একটি ওজন ফাংশন একটি , সেট সেটটি সন্ধান করুন যেমন সর্বাধিক করা হয়েছে (একটি সেটের ওজন তার উপাদানগুলির মোট ওজন))। আপনার সমস্যাটি সেই মামলার সাথে মিলে যায় যেখানে প্রতিটি উপাদান একেবারে দুটি সেটে প্রদর্শিত হয় (তবে আমি এই নিষেধাজ্ঞাকে কীভাবে কাজে লাগাতে পারি তা নিশ্চিত নই, যদিও এটি সাহায্য করতে পারে)।$U = \{1, \ldots, m\}$$S_1, \ldots, S_n \subseteq U$$w:U \rightarrow [-1, 1]$$I \subseteq [n]$$w(\bigcup_{i \in I}{S_i})$$U$

এটি একটি কভারেজ সমস্যা: ম্যাক্স-কে-সেট-কভারের সমান, তবে সেট ব্যবহার করার সীমাবদ্ধতা ছাড়াই এবং অনুমোদিত নেতিবাচক ওজন সহ। ম্যাক্স-কে-সেট-কভারের লোভী সান্নিধ্য (প্রতিটি ধাপের আউটপুটে সেটটি যা এখনও অবধি অনাবৃত উপাদানগুলির বৃহত্তম ওজনযুক্ত) সেটগুলির অনুক্রমকে আউটপুট দেয় যে প্রথম সেটগুলি কাছাকাছি হয় সর্বোত্তম (সুতরাং এটি সমস্ত জন্য একযোগে প্রায় )। দুর্ভাগ্যক্রমে, যথারীতি, যখন এটি ওজন নেতিবাচক হতে পারে তখন এটি বিশ্লেষণ করতে সমস্যা হয়। লোভী অ্যালগরিদমের বিশ্লেষণের প্রাথমিক পর্যবেক্ষণটি হ'ল যদি যদি প্রথম সেট হয় যা আউটপুট হয় তবে ( ($k$$k$$1 + 1/e$$k$$S_1$$w(S_1) \geq OPT_k/k$$OPT_k$সর্বাধিক ওজন দ্বারা আচ্ছাদিত হচ্ছে , সেট) কারণ এর ওজন এর সমষ্টি কম অনুকূল দ্রবণে সেট, এবং তাদের প্রতিটি ওজন কম হয়েছে । তবে নেতিবাচক ওজনের সাথে এটি আর সত্য নয় যে অনুকূল সমাধানের যোগফলের তুলনায় কম। সাধারণভাবে, একটি ইউনিয়ন আবদ্ধ আর সত্য নয়।$k$$OPT_k$$k$$w(S_1)$$OPT_k$

Answer 2

এফডব্লিউআইডাব্লু, আপনার সমস্যাটি কোনও জন্য এর গুণক গুণকের মধ্যে অনুমান করা শক্ত ।$n^{1-\epsilon}$$\epsilon>0$

আমরা নীচে স্বতন্ত্র সেট থেকে একটি আনুমানিক-সংরক্ষণ হ্রাস প্রদান করে দেখিয়েছি, যার জন্য আনুমানিকের কঠোরতা জানা যায়।

ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেট থেকে হ্রাস

নির্দেশিত গ্রাফ কে স্বতন্ত্র সেটের উদাহরণ হতে দিন। যাক বোঝাতে প্রান্তবিন্দু ডিগ্রী মধ্যে । যাক মধ্যে ছেদচিহ্ন সংখ্যা হতে ।$G=(V,E)$$d_v$$v$$G$$n$$G$

কনস্ট্রাক্ট প্রান্ত ভরযুক্ত গ্রাফ থেকে যেমন অনুসরণ করে। ওজনে প্রতিটি প্রান্তটি দিন। 1. -তে প্রতিটি অ-বিচ্ছিন্ন জন্য নতুন প্রান্ত যোগ করুন , প্রতিটি ওজন , নতুন নতুন । প্রতিটি বিচ্ছিন্ন ভার্টেক্স For এর জন্য , নতুন ভার্টেক্সে 1 টি ওজনের একটি নতুন প্রান্ত যুক্ত করুন।$G'=(V',E')$$G$$E$$v\in V$$d_v-1$$-1$$d_v-1$$v\in V$

(দ্রষ্টব্য: প্রতিটি নতুন প্রান্তবিন্দু ( তবে নয় ) এর ঠিক এক প্রতিবেশী রয়েছে, যা )$G'$$G$$G$

থিম। আকার একটি স্বাধীন সেট আছে iff (আপনার সমস্যার একটি দৃষ্টান্ত হিসাবে) অন্তত মূল্যের সমাধান আছে ।$G$$k$$G'$$k$

প্রুফ। যাক কোনো স্বাধীন সেট হতে । তারপরে, যেহেতু এর স্বতন্ত্র , তাই এর এর মান (আপনার উদ্দেশ্য অনুসারে) $S$$G$$S$$G'$$S$$G'$

$$\sum_{v\in S} d_v - (d_v-1) ~=~ |S|.$$

বিপরীতে, কমপক্ষে এর মান সমাধান হতে দিন । সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া, অনুমান কোন নতুন ছেদচিহ্ন ধারণ করে। (প্রতিটি নতুন প্রান্তবিন্দু একটি একক প্রান্ত হয় । যদি মধ্যে বিচ্ছিন্ন করা হয় নি , তারপর প্রান্ত ওজন , তাই মুছে ফেলার থেকে মান বৃদ্ধি । যদি বিচ্ছিন্ন হয়ে পড়েছিল, তারপর প্রান্ত ওজন 1, তাই মুছে ফেলার হয় থেকে এবং যোগ করার মান বজায় রাখে ।)$S$$G'$$k$$S$$v'$$(v',v)$$v$$G$$-1$$v'$$S$$S$$v$$v'$$S$$v$$S$

সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, ধরে নিন যে একটি স্বতন্ত্র সেট । (অন্যথায়, দিন একটি প্রান্ত যেমন যে হতে এবং হয় মোট ওজন। 's ঘটনা প্রান্ত হয় , তাই মোট ওজন এর ঘটনা অন্য চেয়ে প্রান্ত সবচেয়ে শূন্য রয়েছে। সুতরাং, অপসারণের থেকে মান বেড়ে যাবে না ।)$S$$G$$(u,v)$$u$$v$$S$$v$$G'$$d_v - (d_v-1) = 1$$v$$(u,v)$$v$$S$$S$

এখন, প্রমাণ শুরুতে হিসাবে একই হিসাব দ্বারা, এর মান হল। এটি অনুসরণ করে । Qed$S$$|S|$$|S| \ge k$

অন্যদিকে, আপনি এর পরিবর্তে একটি অ্যাডিটিভ আনুমানিক জন্য জিজ্ঞাসা করতে পারেন , এর, বা । $O(n)$$\epsilon m$

আমার কাছে এটি সম্ভব বলে মনে হচ্ছে যে আপনার সমস্যার জন্য এমনকি ইতিবাচক-মূল্য সমাধান আছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য এনপি-হার্ড হতে পারে।