শিথিলের সাথে মাত্রা হ্রাস?

11

জনসন-Lindenstrauss থিম মোটামুটিভাবে বলছেন কোন সংগ্রহে যে এর পয়েন্ট , অস্তিত্ব আছে একটি মানচিত্র যেখানে যেমন যে সব জন্য : $S$ $n$ $\mathbb{R}^d$ $f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$ $k = O(\log n/\epsilon^2)$ $x, y \in S$

(1 - ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2} \leq | | x - y | |_{2} \leq (1 + ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2}

$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$ জানা যায় অনুরূপ বিবৃতি সম্ভব নয়

ℓ_{1}

$\ell_1$ মেট্রিক, কিন্তু এটা পরিচিত হয় যদি দুর্বল নিশ্চয়তা প্রদানের মাধ্যমে এই ধরনের প্রায় নিম্ন সীমা পেয়ে এই কোন উপায় আছে কি? উদাহরণস্বরূপ,

জন্য উপরের লেমার কোনও সংস্করণ থাকতে পারে

ℓ_{1}

$\ell_1$ মেট্রিক যা কেবলমাত্র বেশিরভাগ পয়েন্টের দূরত্ব সংরক্ষণের প্রতিশ্রুতি দেয়, তবে কিছু নির্বিচারে বিকৃত হতে পারে? এমন একটি যা "খুব কাছাকাছি" পয়েন্টগুলির জন্য কোনও গুণগত গ্যারান্টি দেয় না?

— হারুন রথ
সূত্র

9

এই ধরণের ইতিবাচক ফলাফলের জন্য আদর্শ রেফারেন্স হ'ল স্থির বিতরণে পাইওটার ইন্ডিকের কাগজ:

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

তিনি একটি মাত্রা কমানোর কৌশল দেখায় যেখানে পয়েন্ট কোনো জুড়ি মধ্যে দূরত্ব বাড়ে না (ফ্যাক্টর বেশি ধ্রুবক সম্ভাব্যতা ও দূরত্ব (ফ্যাক্টর বেশি হ্রাস না সঙ্গে) ) উচ্চ সম্ভাবনা থাকে। এম্বেড মাত্রা মধ্যে সূচকীয় হতে হবে । $\ell_1$ $1+\epsilon$ $1-\epsilon$ $1/\epsilon$

সম্ভবত এমন ফলোআপ কাজ রয়েছে যা সম্পর্কে আমি অবগত নই।

— মরটিজ
সূত্র

8

$\ell_1$ $\ell_p$

$\ell_1$

— spinxl39
সূত্র

7

$\ell_1$ $O(n/\epsilon)$ $O(1/(\delta\epsilon))$ $1-\delta$

— Yair
সূত্র

4

$\ell_1$ $S$ $c$ $\mathbb{R}^d$ $k$ $c$ $c$ $V$ $\ell_1^d$ $L_1$ $f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$ $k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$ $x, y \in V$ $(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$ $f$ $S$

$f$ $S$ $k \times d$

— সাশো নিকোলভ
সূত্র