ইউক্লিডিয়ান ক্যাপাসিটেড সুবিধার্থে অবস্থানের সমস্যা

Question

ইন Capacitated সুবিধা অবস্থান সমস্যা (CFLP) , আমরা ক্লায়েন্টদের একটি সেট দেওয়া হয় এবং সম্ভাব্য সুবিধা একটি সেট । প্রতিটি ক্লায়েন্ট এর ডিমান্ড যা অবশ্যই এক বা একাধিক উন্মুক্ত সুবিধা দ্বারা পরিবেশন করা উচিত। এর প্রতিটি সুবিধার খোলার ব্যয় থাকে এবং এর সক্ষমতা রয়েছে , যা যে সুবিধাটি পরিবেশন করতে পারি তার সর্বোচ্চ চাহিদা । ক্লায়েন্ট এক ইউনিট চাহিদা ভজনা খরচ সুবিধা হয়$C$$F$$j \in C$$d_j$$i \in F$$f_i$$u_i$$i$$j$$i$$c_{ij}$। আমরা সুবিধাগুলির একটি উপসেট খুলতে এবং ক্লায়েন্টদের সুবিধাগুলি খোলার জন্য এমন দাবি নির্ধারণ করতে চাই যাতে সমস্ত ক্লায়েন্টের চাহিদা পূরণ হয় না, কোনও সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘিত হয় না এবং খোলার সুবিধাগুলি এবং সার্ভিসিং ক্লায়েন্টগুলির মোট ব্যয় হ্রাস করা যায়। পরিষেবা ব্যয় হ'ল ননজেটিভ, প্রতিসম এবং ত্রিভুজ বৈষম্য পূরণ করে।

[ ১ , পৃষ্ঠা ২১] এর অরোরা বলেছে যে "অরোরা, রাঘাওয়ান এবং রাও [ ২ ] জ্যামিতিক ক্ষেত্রে পিটিএএস দিয়েছেন। তারা ক্যাপাসিটেড ক্ষেত্রে অ্যালগোরিদম বাড়িয়ে দেয় তবে চূড়ান্ত সমাধান সামান্য পরিমাণে ক্ষমতা সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘন করতে পারে।" তিনি "অল্প পরিমাণ" বলতে কী বোঝায়? আমার ধারণা এটির অর্থ তারা একটি পিটিএএস দেয় যা একটি স্বেচ্ছাসেবী জন্য গুণনীয়ক মধ্যে সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘন করে । এটা কী ঠিক?$(1+\epsilon)$$\epsilon > 0$

আমি যখন [ 2 ] সন্ধান করলাম , তখন কেবলমাত্র প্রাপ্ত ফলাফল যা আমি খুঁজে পেয়েছিলাম তা হল একটি সময়ের অ্যালগরিদম সন্ধানের জন্য - সময়ের সমাধান জন্য যখন আমাদের অভিন্ন ক্ষমতা থাকে তখন ক্যাপাসিটেড মিডিয়ান সমস্যা। অরোরা কি [ 1 ] এর উপরের ফলাফলকে বোঝায় ?$n^{O(\log^2 (n / \epsilon))}$$(1+\epsilon)$$k$

[ 1 ] এস অরোরা। এনপি-হার্ড জ্যামিতিক অপ্টিমাইজেশান সমস্যার জন্য অনুমানের প্রকল্পগুলি: একটি সমীক্ষা। অঙ্কে. প্রোগ্রামিং, সের। বি, খণ্ড 97, পিপি 43-69, 2003।

[ 2 ] এস। অরোরা, পি। রাঘাওয়ান, এবং এস। রাও। ইউক্লিডিয়ান কে-মিডিয়ান এবং সম্পর্কিত সমস্যাগুলির জন্য আনুমানিক পরিকল্পনা প্রোকে। থিওরি অফ কম্পিউটিংয়ের 30 তম এসিএম সিম্পোজিয়াম, পিপি 106–113, 1998।

Answer 1

আমি সঠিকভাবে rmemeber যদি, আপনি প্রতিটি গেটে সংযুক্ত ক্লায়েন্ট সংখ্যা আনুমানিক করতে হবে। অন্যথায়, আপনি অবিলম্বে কিছু পেতে হবে$O(n^{O(g)})$, কোথায় $g$একটি subproblem মধ্যে গেটের সংখ্যা। এই সংখ্যাটি প্রায় এক ফ্যাক্টর অবধি দ্বারা$(1+\varepsilon/\log n)$ গতিশীল প্রোগ্রামিং জুড়ে একটি পেতে পারেন $(1+\varepsilon)$শেষ পর্যন্ত ত্রুটি। আপনি উপরে বর্ণিত মত চলমান সময় হবে।

Comments

যদি আমি এটি সঠিকভাবে পাই তবে আপনার অর্থ এই যে তাদের এলগরিদমটি QPTAS এর সাথে প্রসারিত $(1+\epsilon)$ইউনিফর্ম ক্যাপাসিটেড সুবিধা অবস্থান সমস্যার জন্য সক্ষমতা লঙ্ঘন। আমি ভাবছি যদি সেখানে কোনও পিটিএএস আছে কিনা$(1+\epsilon)$এই সমস্যার জন্য লঙ্ঘন।

— বাবক বাহসাজ

আসলেই একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন। এমন সময় মনে হয়েছিল যে কেউ এই কাজটি করার জন্য কোল্লিওপলস এবং রাও কাগজটি প্রসারিত করতে পারে।

— সারিল হার-পিল্ড

আমি কিছুক্ষণ একই কথা ভাবছিলাম, কিন্তু যখন আমি কয়েক মাস আগে [কলিওপ্লোস-রাও-এএসএ'৯৯] এর থিওরেম 4 এর প্রমাণটি পুনরায় পাঠ করেছি, তখন আমি পেয়েছি যে আপনি এই উপপাদ্যটিকে একটি কালো বাক্স হিসাবে প্রয়োগ করতে পারবেন না। কারণটি হ'ল প্রমাণ হিসাবে তারা ধরে নিয়েছে যে ক্যাপাসিটেড ক্ষেত্রে আপনি এই সংশোধনটির সাথে সামর্থ্য লঙ্ঘন করতে পারবেন এমন কোনও ক্লায়েন্টকে যে কোনও খোলা সুবিধার জন্য নিযুক্ত করতে পারেন। এর চারপাশে একটি সহজ উপায় থাকতে পারে, আমি এটি সম্পর্কে খুব বেশি ভাবিনি।

— বাবক বাহসাজ