নির্ধারক থেকে এবং ম্যাট্রিক্স স্থায়ী

Question

যাক $A$ একটি হতে $3 \times 3$ বা $4 \times 4$ সঙ্গে ম্যাট্রিক্স এন্ট্রি $a_{ij}$ । কেউ কি আমাকে একটি ম্যাট্রিক্স $B$ পারেন যাতে $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ ? Lest অপেরাটর্নাম {প্রতি} (ক) = \ ডিট (বি) এর পরিচিত সবচেয়ে ছোট স্পষ্ট বি কী ? সুস্পষ্ট উদাহরণ সহ এ সম্পর্কে কোনও রেফারেন্স?$B$$\operatorname{per}(A) = \det(B)$

কিছু বিধিনিষেধ নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে হতে পারে:

কেস (1) খ এর$(1)$ এন্ট্রি হিসাবে কেবল লিনিয়ার ক্রিয়াকলাপ অনুমোদিত ।$B$

কেস $(2)$ অ-রৈখিক ক্রিয়াকলাপ অনুমোদিত হয় তবে প্রতিটি পদটিতে কমপক্ষে $O(log(n))$ ডিগ্রি থাকে (ডিগ্রিটি ভেরিয়েবলের ডিগ্রির সমষ্টি) যেখানে $n$ ম্যাট্রিক্সের সাথে জড়িত আকার। আমাদের ক্ষেত্রে, ডিগ্রি 2 অবধি $2$।

Comments

@vs বি- তে কী কী বিধিনিষেধ রয়েছে $B$? যদি কোনওটি না থাকে, তবে বি = \ আরম্ভ mat পিমেট্রিক্স} \ অপেরাটর্নাম {প্রতি} (এ) \ এন্ড {পিমেট্রিক্স $$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$$ a হল $1 \times 1$ ম্যাট্রিক্স সাথে $\det(B) = \operatorname{per}(A)$ , তবে আমি অনুমান করছি যে এটি আপনার মনে ছিল না। সাধারণত এক পারবেন এন্ট্রি $B$ মধ্যে ভেরিয়েবল অ্যাফিন রৈখিক ফাংশন হতে $A$ ।

— টাইসন উইলিয়ামস

Answer 1

[Edit]

1. ধারাবাহিকতার জন্য, আমি স্বাক্ষরগুলি $c(n)$ থেকে $dc(n)$ ।
2. আমার উত্তরটি উচ্চ মাত্রায় সাধারণীকৃত হয়েছে কিনা তা মন্তব্যগুলিতে বনাম জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল । এটি কোনও ক্ষেত্রের উপরে একটি উচ্চতর বাউন্ড দেয়: এটিতে আমার খসড়াটি দেখুন: স্থায়ী বনাম নির্ধারণকারী সমস্যার জন্য একটি উচ্চ সীমা । $$dc(n)\le 2^n-1.$$

[/ Edit]

[একটি পক্ষের মন্তব্য: আমি মনে করি আপনি একটি নতুন তৈরি করার পরিবর্তে আপনার আগের প্রশ্নটি সম্পাদনা করতে পারেন]]

আমি আপনার জন্য নিম্নলিখিত উত্তর আছে:

$$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

নোট করুন যে সুস্পষ্ট উদাহরণগুলির জন্য এই জাতীয় রেফারেন্সগুলি অনুসন্ধান করা, আমি কোনও খুঁজে পেলাম না এবং এইভাবে আমি আপনাকে যে উদাহরণ দিচ্ছি তা আমার নির্মিত উদাহরণ।

আপনি যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করছেন এটি সাধারণত "স্থায়ী বনাম নির্ধারণকারী সমস্যা" নামে পরিচিত। ধরা যাক আমাদের একটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া এবং আমরা ক্ষুদ্রতম ম্যাট্রিক্স চাই that । আসুন আমরা এর মাধ্যমে ক্ষুদ্রতম এ জাতীয় এর মাত্রাগুলি দ্বারা চিহ্নিত করতে পারি । এখানে historicalতিহাসিক ফলাফল:$(n\times n)$$A$$B$$\operatorname{per} A=\det B$$dc(n)$$B$

• [Szegö 1913]$dc(n)\ge n+1$
• [ভন জুর গাথেন 1986]$dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
• [ক্যা 1990]$dc(n)\ge n\sqrt 2$
• [ম্যাগনন এবং রিসায়ার 2004] 2/2 বৈশিষ্ট্যযুক্ত$dc(n)\ge n^2/2$$0$
• [কাই, চেন এবং লি 2008] বৈশিষ্ট্যযুক্ত ।$dc(n)\ge n^2/2$$\neq 2$

এটি দেখায় যে (উপরের চৌম্বকটি উপরে বর্ণিত ম্যাট্রিক্স)।$5\le dc(3)\le 7$

আমি যেমন অলস, আমি আপনাকে কেবল একটি রেফারেন্স দিচ্ছি যেখানে আপনি অন্যগুলি খুঁজে পেতে পারেন। আমি, ক্যা, চেন এবং লি দ্বারা লেখা এটি সবচেয়ে সাম্প্রতিক কাগজ: যে কোনও বৈশিষ্ট্য এর স্থায়ী এবং নির্ধারক সমস্যাটির জন্য চতুর্ভুজ নীচু আবদ্ধ$\neq 2$ ।

আপনি যদি ফরাসী পড়েন তবে এই বিষয়ে আমার স্লাইডগুলিতেও নজর রাখতে পারেন: স্থায়ী বনাম ডেটরিন্যান্ট ।

Comments

আপনাকে অনেক ধন্যবাদ. আমি উল্লেখ করতে ভুলে গেছি যে আমি লিনিয়ার এবং চতুর্ভুজ নিম্ন সীমানার সাথে পরিচিত ছিলাম। আপনার উদাহরণটি আমার কাছে নতুন এবং অবশ্যই আমি আপনার ফরাসী স্লাইডগুলিতে নজর দেব :)

— বনাম

একটি নির্ধারক মধ্যে একটি সূত্র রূপান্তর করার জন্য, এটা একটি (শাস্ত্রীয়?) 1979 সালে ফলাফলের বীর দ্বারা আমরা অনুচ্ছেদ 2.1 (CF [আমাদের কাগজে এই ফলাফল ব্যাখ্যা হয় arxiv.org/abs/1007.3804] )।

— ব্রুনো

জন্য মনে রাখবেন যে ও (n2 ^ n) এ একটি ধ্রুবক রয়েছে যাতে 24 সঠিক মান না হয়। তবুও আমি মনে করি যে আমার উদাহরণটি কেবল রাইজারের সূত্রটি প্রয়োগ করা + ভ্যালেন্টের নির্মাণের চেয়ে ভাল। এটি একেবারেই স্বাভাবিক কারণ কেউ ধারণা করতে পারেন যে স্থায়ী থেকে কোনও সূত্রের দিকে যাওয়া এবং তারপরে কোনও নির্ধারকের কাছে ফিরে যাওয়া সর্বোত্তম উপায় নয়। আমি বলব না যে আমার উদাহরণটি "রাইজারের চেয়ে ভাল" কারণ লক্ষ্যগুলি এক নয়। আরও লক্ষ করুন যে গ্লিনসোর রাইসার সূত্রগুলি এর তুচ্ছ সূত্রের মতো ততটা ভাল নয় , তারা কেবল এরিমোটোটিকভাবে এটিকে পরাজিত করেছে। $n=3$$n=3$

— ব্রুনো

জেওয়াই ক্যায়ের কাগজে আমার নতুন চেহারা ছিল। উপপাদ্য 3 আরও ভাল বাউন্ড দেয়: । $c(n)\le O(2^n)$

— ব্রুনো

@ ব্রুনো: দুর্দান্ত উত্তর!

— দাই লে