পুশডাউন অটোমেটা ব্যবহার করে প্রসঙ্গ-মুক্ত ভাষার জন্য পাম্পিং লেমারের প্রমাণ

Question

নিয়মিত ভাষার জন্য পাম্পিং থিম , একটি সসীম রাষ্ট্র যন্ত্রমানব যা চর্চিত ভাষা স্বীকার বিবেচনায় রাজ্যের তার সংখ্যার চেয়ে দৈর্ঘ্য বৃহত্তর সঙ্গে একটি স্ট্রিং অবচয় এবং পায়রার খোপ নীতি প্রয়োগের দ্বারা প্রমানিত হতে পারে। প্রসঙ্গ-মুক্ত ভাষার জন্য পাম্পিং থিম (সেইসাথে ওগডেন এর থিম যা সামান্য বেশি সাধারণ), তবে, ভাষা একটি প্রেক্ষাপটে মুক্ত ব্যাকরণ চর্চিত বিবেচনায় পর্যাপ্ত দীর্ঘ স্ট্রিং অবচয় এবং পারসে ট্রি দিকে তাকিয়ে প্রমাণিত হয়।

দুটি পাম্পিং লেমারের মিল খুঁজে পেয়ে আপনি আশা করতে পারেন যে ব্যাকরণের পরিবর্তে ভাষাটিকে স্বীকৃতি দেয় এমন একটি পুশডাউন অটোমেটন বিবেচনা করে প্রসঙ্গমুক্ত কোনওটি নিয়মিতভাবে একইভাবে প্রমাণিত হতে পারে। যাইহোক, আমি এই জাতীয় প্রমাণের কোনও রেফারেন্স খুঁজে পাইনি।

সুতরাং আমার প্রশ্ন: প্রাসঙ্গিক ভাষাগুলির জন্য পাম্পিং লেমারের কোনও প্রমাণ আছে যা কেবলমাত্র ব্যাকরণ নয়, পুশডাউন অটোমেটা জড়িত?

Answer 1

আমি আবার এই সমস্যাটি সম্পর্কে ভেবেছিলাম, এবং আমার মনে হয় আমার কাছে একটি সম্পূর্ণ প্রমাণ রয়েছে। আমি যেটা প্রত্যাশা করেছি তার থেকে কিছুটা বেশি জটিল y মন্তব্য খুব স্বাগত! আপডেট: আমি এই প্রমাণটি আরকিএসভিতে জমা দিয়েছি, যদি কারও পক্ষে এটি কার্যকর হয়: http://arxiv.org/abs/1207.2819

$\DeclareMathOperator{\fp}{fp}$ $\DeclareMathOperator{\lp}{lp}$ $\newcommand{\fpp}[1]{\widehat{\fp{#1}}}$ $\newcommand{\lpp}[1]{\widehat{\lp{#1}}}$

কে বর্ণমালার একটি প্রসঙ্গমুক্ত ভাষা হতে দিন । যাক একটি pushdown যন্ত্রমানব যা স্বীকার হতে , স্ট্যাক বর্ণমালা সঙ্গে । আমরা দ্বারা বোঝাচ্ছি এর রাজ্যের সংখ্যা । সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া, আমরা অনুমান করতে পারেন যে ট্রানজিশন স্ট্যাকের আগ প্রতীক পপ এবং হয় স্ট্যাকের বা স্ট্যাক পূর্ববর্তী আগ প্রতীক এবং কিছু অন্যান্য চিহ্ন ধাক্কা কোন প্রতীক ধাক্কা।$L$$\Sigma$$A$$L$$\Gamma$$|A|$$A$$A$

আমরা সংজ্ঞায়িত করেছি এবং পাম্পিং দৈর্ঘ্য, এবং দেখাবে যে সব যেমন যে এর ফর্মটির পচা রয়েছে এরকম , এবং ।p ′ = | ক | 2 | Γ | পি = | ক | ( | Γ | + 1 ) পি ′ ডব্লু ∈ এল | ডাব্লু | > পি ডাব্লু = ইউ ভি এক্স ই জেড | v x y | ≤ পি | v y | ≥ 1 ∀ n ≥ 0 , ইউ ভি এন$p' = |A|^2 |\Gamma|$$p = |A| (|\Gamma|+1)^{p'}$$w \in L$$|w| > p$$w = u v x y z$$|vxy| \leq p$$|vy| \geq 1$$\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$

আসুন তেমন । যাক জন্য ন্যূনতম দৈর্ঘ্য একজন গ্রহণ পথ হবে (এর ট্রানজিশন একটি ক্রম হিসাবে প্রতিনিধিত্ব ), আমরা তার দৈর্ঘ্য বোঝাতে। আমরা জন্য, সংজ্ঞা দিতে পারি , গ্রহণের পথে অবস্থানের স্ট্যাকের আকার । সব জন্য , আমরা একটি সংজ্ঞায়িত পর্যায়ের উপর তিন সূচকের একটি সেট হিসাবে সঙ্গে যেমন যে:ডব্লিউ ∈ এল | ডাব্লু | > পি π ডব্লিউ এ | π | 0 ≤ i < | π | s i i N > 0 N π i , j , k 0 ≤ i < j < k ≤ $w \in L$$|w| > p$$\pi$$w$$A$$|\pi|$$0 \leq i < |\pi|$$s_i$$i$$N > 0$$N$$\pi$$i, j, k$$0 \leq i < j < k \leq p$

1. $s_i = s_k, s_j = s_i + N$
2. সমস্ত জন্য যে ,$n$$i \leq n \leq j$$s_i \leq s_n \leq s_j$
3. সমস্ত জন্য যে , ।$n$$j \leq n \leq k$$s_k \leq s_n \leq s_k$

(এর উদাহরণের জন্য, নীচের ক্ষেত্রে 2 এর চিত্র দেখুন যা একটি এন- লেভেলকে চিত্রিত করে ))$N$

আমরা স্তর নির্ধারণ ঠ এর π সর্বোচ্চ হিসাবে যেমন যে একটি হয়েছে পর্যায়ের। এই সংজ্ঞাটি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়: যদি কোনও পাথ উপরে স্ট্যাকের আকার তার স্তরের চেয়ে বড় হয় , তবে স্তরগুলির চেয়ে বেশি স্ট্যাকের চিহ্নগুলি কখনই পপ হবে না। আমরা এখন দুটি মামলা পার্থক্য হবে: পারেন , যে ক্ষেত্রে আমরা জানি যে যন্ত্রমানব রাষ্ট্রপক্ষে একই কনফিগারেশন এবং আগ স্ট্যাকের প্রতীক প্রথম দুবার সম্মুখীন হয় পদক্ষেপ , অথবা$l$$\pi$$N$$\pi$$N$$\pi$$l$$l$$l < p'$$l$$p+1$$\pi$$l \geq p'$, এবং অবশ্যই একটি স্ট্যাকিং এবং আনস্ট্যাকিং অবস্থান থাকতে হবে যা একটি স্বেচ্ছাসেবী সংখ্যার পুনরাবৃত্তি হতে পারে, যেখান থেকে আমরা এবং ।$v$$y$

কেস 1. $l < p'$ । আমরা কনফিগারেশনের সংজ্ঞায়িত $A$ একটি রাষ্ট্রের দম্পতিরা যেমন $A$ এবং একটি ক্রম স্ট্যাক প্রতীক (যেখানে আকারের স্ট্যাকগুলি কম তাদের মধ্যে প্যাডিং দ্বারা উপস্থাপিত করা যেতে সঙ্গে একটি বিশেষ ফাঁকা প্রতীক, যা কেন আমরা ব্যবহার সঙ্গে$l$$l$$l$$|\Gamma| + 1$ যখন সংজ্ঞা পি )। সংজ্ঞা অনুসারে, আছে such জাতীয় কনফিগারেশন, যা চেয়ে কম । তাই, এ প্রথম পদক্ষেপ , একই কনফিগারেশন দুইবার দুটি ভিন্ন অবস্থানের সময়ে সম্মুখীন হয়, বলতে$p$$|A| (|\Gamma| + 1)^l$$p$$p+1$$\pi$$i < j$। বোঝাতে দ্বারা (রেস্প। ) এর শেষ চিঠি অবস্থান পদে পদে পড়তে (রেস্প। এর) । আমরা আশা করি আপনি । অত: পর, আমরা বিবেচনার পারেন সঙ্গে , , , । (দ্বারা আমরা বোঝাতে লেটার অব থেকে সমেত নির্মাণ দ্বারা একচেটিয়া।),$\widehat{i}$$\widehat{j}$$w$$i$$j$$\pi$$\widehat{i} \leq \widehat{j}$$w = u v x y z$$y z = \epsilon$$u = w_{0 \cdots \widehat{i}}$$v = w_{\widehat{i} \cdots \widehat{j}}$$x = w_{\widehat{j} \cdots |w|}$$w_{x \cdots y}$$w$$x$$y$$|vxy| \leq p$ ।

আমাদের আরও দেখাতে হবে যে তবে এটি আমাদের উপরের পর্যবেক্ষণ থেকে অনুসরণ করে: এর চেয়ে গভীর স্ট্যাক চিহ্নগুলি কখনই পপড হয় না, তাই পার্থক্যের উপায় নেই কনফিগারেশনের যা আমাদের সংজ্ঞা অনুযায়ী সমান হয়, এবং একটি গ্রহণ করার পথ যা থেকে তৈরি করা হয়েছে মধ্যে পদক্ষেপ পুনরাবৃত্তি দ্বারা এবং , বার।$\forall n \geq 0, u v^n x y^n z = u v^n x \in L$$l$$u v^n x$$w$$i$$j$$n$

অবশেষে, আমরাও , কারণ যদি তাহলে, কারণ আমরা পদক্ষেপ একই কনফিগারেশন আছে এবং মধ্যে , একটি গ্রহণ করার পথ হবে W এর minimality contradicting π ।$|v| > 0$$v = \epsilon$$i$$j$$\pi$$\pi' = \pi_{0 \cdots i} \pi_{j \cdots |\pi|}$$w$$\pi$

(দ্রষ্টব্য এই ক্ষেত্রে আগ hardcoding নিয়মিত ভাষার জন্য পাম্পিং থিম প্রয়োগ পরিমাণ যে ঠ যন্ত্রমানব রাষ্ট্র, যা পর্যাপ্ত হয় স্ট্যাকের প্রতীক কারণ ঠ তা নিশ্চিত করতে ছোট যথেষ্ট | W | এই যন্ত্রমানব রাজ্যের সংখ্যার চেয়ে বড় । মূল কৌশলটি হ'ল আমাদের অবশ্যই ϵ -পরিবর্তনের জন্য সামঞ্জস্য করতে হবে ))$l$$l$$|w|$$\epsilon$

কেস 2. l ≥ p ′ । যাক আমি , ঞ , ট একটি হতে পি ' পর্যায়ের। যে কোনও স্ট্যাক আকারের h , s i ≤ h ≤ s j এর সাথে আমরা সর্বশেষ ধাক্কা lp ( h ) = সর্বোচ্চ ( { y ≤ j | s y = h } ) এবং প্রথম পপ fp ( h ) = মিনিট ( { $l \geq p'$$i, j, k$$p'$$h$$s_i \leq h \leq s_j$ $\lp(h) = \max(\{y \leq j | s_y = h\})$ ≥ জ | s y = h } ) । সংজ্ঞা অনুসারে, i ≤ lp ( h ) ≤ j এবং j ≤ fp ( h ) ≤ k । এই নির্মাণের একটি উদাহরণ এখানে দেওয়া হয়েছে। অঙ্কনটি সহজ করার জন্য, আমি পথ অবস্থান এবং শব্দের অবস্থানের মধ্যে পার্থক্য বাদ দিয়েছি যা আমাদের পরে করতে হবে।$\fp(h) = \min(\{y \geq j | s_y = h\})$$i \leq \lp(h) \leq j$$j \leq \fp(h) \leq k$

আমরা যে রাষ্ট্রীয় একটি স্ট্যাক আকারের জ ট্রিপল দ্বারা গঠিত হল:$h$

1. এলপি ( এইচ ) পজিশনে অটোমেটনের অবস্থা$\lp(h)$
2. শীর্ষস্থানীয় স্ট্যাক প্রতীক অবস্থানে $\lp(h)$
3. fp ( h ) পজিশনে অটোমেটনের অবস্থা$\fp(h)$

আছে পি ' সম্ভব পূর্ণ রাজ্যের এবং পি ' + + 1 মধ্যে স্ট্যাক মাপ গুলি আমি এবং গুলি ঞ , তাই, pidgeonhole নীতি দ্বারা, দুই স্ট্যাকের মাপ অস্তিত্ব ছ , জ সঙ্গে গুলি আমি ≤ ছ < জ ≤ গুলি ঞ যেমন যে জি এবং এইচ এ সম্পূর্ণ রাজ্যগুলি একই। কেস 1 এর মতো, আমরা ^ lp ( g ) , ^ lp ( h ) , by দ্বারা সংজ্ঞায়িত করি $p'$$p' + 1$$s_i$$s_j$$g, h$$s_i \leq g < h \leq s_j$$g$$h$$\lpp(g)$$\lpp(h)$FP ( জ)এবং ^ FP ( ছ)শেষ চিঠি অবস্থানেরWসংশ্লিষ্ট অবস্থানের পড়াπ। আমরা ফ্যাক্টরW=UVএক্সYz- রযেখানেতোমার দর্শন লগ করা=W0⋯ ^ LP ( ছ), বনাম=W ^ LP ( ছ)⋯ ^ LP ( জ), এক্স=W$\fpp(h)$$\fpp(g)$$w$$\pi$$w = u v x y z$$u = w_{0 \cdots \lpp(g)}$$v = w_{\lpp(g) \cdots \lpp(h)}$এলপি ( জ)⋯ ^ FP ( জ), Y=W ^ FP ( জ)⋯ ^ FP ( ছ), এবংz- র=W ^ FP ( ছ)⋯| ডাব্লু| ।$x = w_{\lpp(h) \cdots \fpp(h)}$$y = w_{\fpp(h) \cdots \fpp(g)}$$z = w_{\fpp(g) \cdots |w|}$

এই উপাদানটি নিশ্চিত করে যে | v x y | ≤ পি (কারণ স্তরগুলির আমাদের সংজ্ঞা অনুসারে কে ≤ পি )।$|vxy| \leq p$$k \leq p$

আমরা যে দেখাতে হবে ∀ এন ≥ 0 , তোমার দর্শন লগ করা v এন এক্স Y এন z- র ∈ এল । এটি করার জন্য, লক্ষ্য করুন যে প্রতিবার আমরা v এর পুনরাবৃত্তি করি , আমরা একই অবস্থা এবং একই স্ট্যাক শীর্ষ থেকে শুরু করি এবং আমরা স্ট্যাকের মধ্যে আমাদের বর্তমান অবস্থানের নীচে পপ করি না (অন্যথায় আমাদের লঙ্ঘন করে আবার বর্তমান অবস্থানে আবার চাপ দিতে হবে) lp ( g ) এর সর্বাধিকতা , যাতে আমরা A তে একই পথ অনুসরণ করতে পারি এবং স্ট্যাকের উপর একই চিহ্ন সিকোয়েন্সটি চাপতে পারি। Lp ( h ) এর সর্বাধিকতা এবং fp এর সর্বনিম্নতার দ্বারা $\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$$v$$\lp(g)$$A$$\lp(h)$জ ) , পড়ার সময় এক্স , আমরা স্ট্যাকের আমাদের বর্তমান অবস্থান নিচে পপ না, তাই পথ যন্ত্রমানব অনুসৃত আমরা পুনরাবৃত্তি যতবার নির্বিশেষে একই বনাম । এখন, আমরা যদি পুনরাবৃত্তি W অনেকবার হিসাবে আমরা পুনরাবৃত্তি যেমন বনাম , যেহেতু আমরা একই রাষ্ট্র থেকে শুরু, যেহেতু আমরা আমাদের পুনরাবৃত্তি সঙ্গে স্ট্যাক একই প্রতীক ক্রম push করা বনাম এবং যেহেতু আমরা কি চেয়ে বেশি পপ না বনাম হয়েছে fp ( g ) এর ন্যূনতমতায় স্ট্যাক করা, আমরা A তে একই পথটি অনুসরণ করতে পারিএবং স্ট্যাক থেকে একই প্রতীক ক্রমটি পপ করতে পারি। সুতরাং, ইউ ভি এন থেকে একটি গ্রহণযোগ্য পথ$\fp(h)$$x$$v$$w$$v$$v$$v$$\fp(g)$$A$এক্স Y এন z- র জন্য গ্রহণ পথ থেকে নির্মাণ করা যেতে পারে W ।$u v^n x y^n z$$w$

অবশেষে, আমাদেরও আছে | v y | > 1 , কারণ কেস 1 মত, যদি বনাম = ε এবং Y = ε , তখন আমরা একটি সংক্ষিপ্ত গ্রহণ পথ নির্মাণ করতে পারেন W সরিয়ে π LP ( ছ ) ⋯ LP ( জ ) এবং π FP ( জ ) ⋯ FP ( ছ ) ।$|vy| > 1$$v = \epsilon$$y = \epsilon$$w$$\pi_{\lp(g)\cdots\lp(h)}$$\pi_{\fp(h)\cdots\fp(g)}$

অতএব, উভয় ক্ষেত্রেই আমাদের পর্যাপ্ত পরিমাণে কার্যকারিতা রয়েছে এবং ফলাফলটি প্রমাণিত হয়।

(এই প্রমাণে আমাকে সহায়তা করার জন্য ক্রেডিট মার্ক জ্যানমৌগিনের কাছে যায়))

Answer 2

হ্যা এটা সম্ভব. আমরা পৃষ্ঠের কনফিগারেশনের ধারণাটি ব্যবহার করতে পারি; এগুলি অনেক আগে কুকের দ্বারা পরিচয় করিয়ে দেওয়া হয়েছিল। এটির সাথে লেম্পার পাম্পিংয়ের সংস্করণ পাওয়া বেশ সহজ হওয়া উচিত।

পৃষ্ঠ কনফিগারেশন হিসাবে, লগসিএফএল প্রায় কোনও কাগজ এর সংজ্ঞা বহন করা উচিত। এখানে একটি সাম্প্রতিক কাগজ এবং এখানে একটি থিসিস আছে

আরও শক্তিশালী কেউ বিশদটি বানান করতে পারেন!

Comments

উত্তর করার জন্য ধন্যবাদ! হ্যাঁ, অটোমেটনের রাজ্য এবং শীর্ষস্থানীয় স্ট্যাক প্রতীকটির সংমিশ্রণটি দেখতে খুব স্বাভাবিক। যদিও আমি এখনও এই সমস্যাটি নিয়ে ভাবছি এবং আমি বিশদটি বের করতে পারব না ... সহায়তা প্রশংসিত। :-)

— a3nm

Answer 3

সম্পূর্ণতার জন্য এই দিকের একটি প্রমাণের একটি রেফারেন্স।

এ.এরনফুচ্ট, এইচজেহুজোবুম, জি.রোজেনবার্গ: সমন্বিত জোড়া সিস্টেম। আমি: ডাইক শব্দ এবং শাস্ত্রীয় পাম্পিং রাইরো, ইনফ। Théor। Appl। 20, 405-424 (1986)

সারাংশ। একটি সমন্বিত জুড়ি সিস্টেমের ধারণা [...] একটি পুশ-ডাউন অটোমেটনের ধারণার (এর আরও একটি সূত্র) খুব কাছাকাছি মিলছে। এই গবেষণাপত্রে আমরা [...] সিপি সিস্টেমে গণনা বিশ্লেষণের মাধ্যমে প্রসঙ্গ-মুক্ত ভাষার পাম্পিং প্রপার্টি অর্জনের সম্ভাবনাটি তদন্ত করি। এটি করার জন্য আমরা ডাইক শব্দের সংমিশ্রণ কাঠামো বিশ্লেষণ করি। সিপি সিস্টেমে কম্পিউটারের সংশ্লেষের সংশ্লেষ বিশ্লেষণ থেকে ডেম শব্দের বৈশিষ্ট্য ste ক্লাসিকাল পাম্পিং লেমা প্রমাণ করার জন্য কীভাবে এই চিঠিপত্র ব্যবহার করা যেতে পারে তা আমরা প্রদর্শন করি।

Answer 4

গৌড় সানাইজারগুজের সাথে এই সমস্যাটি নিয়ে আলোচনা করার সময়, তিনি আমাকে সাকারোভিচের এই কাগজটি দেখিয়েছিলেন যা ইতিমধ্যে এই ফলাফলটি প্রমাণ করে। প্রমাণটি ওজডেনের এই পেপারে ফিরে এসেছে date

তথ্যসূত্র:

• সাকারোভিচ, জ্যাকস। সুর ​​আন প্রোপ্রিটি ডিট্রিটেশন ডেস ল্যাঙ্গেজ অ্যালগব্রিক্স ডেটেরিনিস্টিস। (ফরাসী। ইংরেজি সারাংশ)। ম্যাথ। সিস্টেম থিওরি 14 (1981), নং। 3, 247–288।
• উইলিয়াম এফ ওগডেন। 1969. স্ট্যাক ভাষার জন্য আন্তঃকালীন উপপাদ্য। থিওরি অফ কম্পিউটারিংয়ের প্রথম বার্ষিক এসিএম সিম্পোজিয়ামের প্রক্রিয়াকরণে (এসটিওসি '69)।