পি এর অনিবার্য বৈশিষ্ট্যগুলি কি পি বনাম এনপি সিদ্ধান্ত নিতে কোনও বাধা সৃষ্টি করে? (উত্তর: সম্ভবত)

Question

পাঁচটি লিঙ্কযুক্ত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়, এবং একটি একক সমন্বিত উত্তর আশা করা হয়:

• চতুর্থাংশ 1: কি বিদ্যমান আছে ভাষায় $L$ যে স্বীকৃত হয় একমাত্র সেই টুরিং মেশিন দ্বারা  $P$ যার রানটাইম বহিঃপ্রকাশ undecidable হয় ?
• প্রশ্ন 2: এই টুরিং মেশিনগুলির উদাহরণ চূড়ান্তভাবে নির্মিত যেতে পারে?
• প্রশ্ন 3: এই টুরিং মেশিনগুলি কি দৃ concrete়ভাবে ইনস্ট্যান্ট করা যায়? ( উদাহরণস্বরূপ , চূড়ান্তভাবে নির্মাণের পরিবর্তে তাদের "অনুমান" করে এমন ওরাকল দ্বারা)।
• প্রশ্ন 4: পি এর অন্যান্য কোন বৈশিষ্ট্য (রানটাইম এক্সপোজারগুলি ছাড়াও) বর্তমানে অনির্বাচিত হিসাবে পরিচিত? কোন বৈশিষ্ট্যের $P$জন্য এই প্রশ্নটি উন্মুক্ত?
• Q5: এর undecidable বৈশিষ্ট্যাবলী না $P$ একটি বাধা জাহির এর decidability $P \ne NP$ ?

Q1 এ "সম্পূর্ণ" শব্দটি সাবধানতার সাথে নোট করুন (যা ল্যান্স ফোর্টনোর প্রস্তাবিত উত্তর বাদ দেয়)।

---

সম্প্রদায় উইকিতে উপসংহার এবং রূপান্তর

• প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল, "পি এর অনস্বীকার্য বৈশিষ্ট্যগুলি কি পি বনাম এনপি সিদ্ধান্ত নিতে কোনও বাধা সৃষ্টি করে?", এটি উন্মুক্ত এবং বিশ্বাস করা কঠিন, যেমনটি এর সাথে প্রাকৃতিকভাবে জড়িত অসংখ্য সুনির্দিষ্ট প্রশ্ন (উপরে Q1–4 এর মত) রয়েছে।

• জুরিস হার্টম্যানিসের ১৯ 197৮ এর মনোগ্রাফ ফিজিবল কম্পিউটেশন এবং প্রভিশনাল কমপ্লেক্সিটি প্রোপার্টি সাহিত্যে একটি ভাল প্রবেশিকা সরবরাহ করে এবং (সম্ভবত) হার্টম্যানিসের পরে কোনও পর্যালোচনা প্রকাশিত হয়নি।

• এই শ্রেণীর প্রশ্নগুলি পর্যাপ্তভাবে অনাবিষ্কৃত rig

• ট্র্যাভিস সার্ভিস এবং অ্যালেক্স টেন ব্রিংক দ্বারা প্রদত্ত চিন্তাশীল মন্তব্য এবং অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ প্রমাণ স্কেচগুলি স্বীকৃত এবং প্রশংসা করা হয়েছে।

যেহেতু প্রশ্নটি উন্মুক্ত, এবং এটি একাধিক গাণিতিক ওয়েবলগ থ্রেডে ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) আলোচিত হওয়ায় এই প্রশ্নটি সম্প্রদায় উইকিতে রূপান্তরিত করার জন্য পতাকাঙ্কিত করা হয়েছে।

---

আপডেট দ্বিতীয় এবং সংক্ষিপ্তসার

আমি সচেতন হয়ে উঠেছে যে Juris Harmanis '1978 প্রকরণগ্রন্থ সম্ভবপর কম্পিউটেশন এবং প্রতিপাদ্য জটিলতা প্রোপার্টি একটি মধ্যে গভীরতা প্রতিক্রিয়া পড়া যায় Q1-5 । তদুপরি, ট্র্যাভিস পরিষেবা এবং অ্যালেক্স টেন ব্রিংক দ্বারা নীচে সরবরাহিত (দুর্দান্ত) কিউ 1 এবং কিউ 4 প্রুফ স্কেচ হার্টম্যানিসের সামগ্রিক উপসংহারের একটি আধুনিক নিশ্চিতকরণ এবং সম্প্রসারণ সরবরাহ করে যে:

কম্পিউটেশনগুলির জটিলতা সম্পর্কে ফলাফলগুলি পুরোপুরি পরিবর্তিত হয় যদি আমরা কেবলমাত্র গণনাগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করি যা আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণিত হতে পারে (হার্টম্যানিস দ্বারা জোর দেওয়া) ...

সুতরাং আমাদের প্রত্যাশা করা উচিত যে প্রদত্ত প্রোগ্রাম হিসাবে একই ক্রিয়াকলাপের সমস্ত প্রোগ্রামগুলির অনুকূলতার সম্পর্কে ফলাফলগুলি সমস্ত প্রোগ্রাম সম্পর্কে অনুকূল ফলাফলগুলির থেকে পৃথক হবে যা আনুষ্ঠানিকভাবে প্রদত্ত প্রোগ্রামের সমতুল্য প্রমাণিত হতে পারে। ...

আমাদের [সম্ভাব্য] এই বিখ্যাত সমস্যাটি [ $P\overset{?}{=}NP$ ] সেট থিউরির মতো কোনও আনুষ্ঠানিক গাণিতিক তত্ত্বে সমাধানযোগ্য হতে পারে না।

অবশেষে আমি আশা করি, একটি প্রথাগত টিসিএস স্ট্যাকএক্সচেঞ্জের "উত্তর" হিসাবে, হার্টম্যানিসের (উল্লেখযোগ্যভাবে দূরদৃষ্টিতে) মোনোগ্রাফের আরও উদ্ধৃতিগুলি পোস্ট করব।

এটি হার্টম্যানিসের মনোগ্রাফ এবং ট্র্যাভিস এবং অ্যালেক্সের দেওয়া জবাবগুলি থেকে উভয়ই স্পষ্টভাবে প্রমাণ করেছেন যে, Q1-25 জটিলতার তত্ত্বের বর্তমানের অত্যাধুনিকতার বাইরে যথেষ্ট। তবুও এই প্রশ্নগুলি / উত্তরগুলি স্পষ্টতই সূক্ষ্মভাবে সাবধানতার সাথে সংজ্ঞাযুক্ত সংশোধনগুলির প্রয়োজন এবং মনোগ্রাফ-দৈর্ঘ্যের বর্ণনাকে ন্যায়সঙ্গত করা যায় ... যা আমি আশা করি যে লোকেরা আরও উত্তর পোস্ট করা থেকে নিরুৎসাহিত করবে না। :)

আরও প্রযুক্তিগত আলোচনার জন্য, ম্যাথওভারফ্লুতে জোয়েল ডেভিড হ্যামকিন্সের প্রশ্নের উত্তর দেখুন, কোনও সমস্যা একই সাথে বহুবর্ষ ও অনির্বাণে থাকতে পারে? (অ্যালেক্স টেন ব্রিংক দ্বারা প্রস্তাবিত)।

যদি হার্টম্যানিসের মনোগ্রাফটিতে "গতিবিদ্যার সিমুলেশন" শব্দটির জন্য "ফাংশনগুলির গণনা" শব্দটির এক বিকল্প হয়, ফলাফলটি সিস্টেম ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের জটিলতা-তাত্ত্বিক সীমা সম্পর্কে একটি গ্রন্থ হিসাবে পড়া যেতে পারে ... এটি প্রকৃত কারণ যা আমরা ইঞ্জিনিয়ারদের এগুলি যত্ন করে কেন? সমস্যা।

হার্টম্যানিসের বিপরীত মতামতটি সম্প্রতি ওডে গোল্ডরিচ " সিকিউটিভেশনাল কমপ্লেক্স िटी অন শিরোনাম " শীর্ষক সিসিএম সম্পাদককে একটি চিঠিতে কণ্ঠ দিয়েছেন :

দুর্ভাগ্যক্রমে, বর্তমানে দক্ষ গণনার বিষয়ে আমাদের বেশিরভাগ প্রাকৃতিক প্রশ্নের উত্তম তাত্ত্বিক উত্তরের অভাব রয়েছে। কেসটি কারণ আমরা ভুল প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করি না, বরং এই প্রশ্নগুলি খুব শক্ত।

এটি অবশ্যই নিখুঁতভাবে অনুমেয় যে হার্টম্যানিস এবং গোল্ডরিচের মতামত উভয়ই সঠিক প্রমাণিত হবে, উদাহরণস্বরূপ, পিভিএসএনপির পৃথকীকরণের অনস্বীকার্যতার একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণ যথাযথভাবে উভয় দফার দৃষ্টিভঙ্গিকে বৈধতা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

---

আপডেট আমি

চিন্তাশীল মন্তব্য (নীচে) ট্রাভিস সার্ভিস ও অ্যালেক্স দশ কিনারা দ্বারা (কার্যত) যে সুপারিশ চতুর্থাংশ 1 ফ্রেজ "undecidable" দিয়ে "verifiably নির্ধার্য না" এবং উত্তর যে সমার্থক নয় Q2-5 এই পার্থক্য উপর নির্ভর করতে পারেন। এটি মোটেও পরিষ্কার নয় (আমার কাছে) কোন সংজ্ঞাগত পছন্দটি সবচেয়ে শক্তিশালী উপপাদ্যগুলিতে নেতৃত্ব দেবে এবং এছাড়াও আমাদের ক্লাস পি সম্পর্কে সর্বোত্তম ধারণাটি গ্রহণ করবে Ans উত্তর এবং এই প্রশ্নের সমাধানকারী মন্তব্যগুলি স্বাগত।

অ্যাডভান্সড স্ট্যান্ড পয়েন্ট থেকে ফিলিক্স ক্লিনের তাঁর প্রাথমিক গণিতের একটি মন্তব্য : জ্যামিতি (1939) মনে আসে:

স্থানের নির্বোধ উপলব্ধিতে কমবেশি নির্ভুলতার সাথে ঘটেছিল এমন একটি ধারণার আরেকটি উদাহরণ, যা আমাদের আমাদের জ্যামিতির ব্যবস্থার পরিপূরক হিসাবে যুক্ত করতে হবে, এটি একটি (স্বেচ্ছাসেবী) কার্ভের ধারণা । প্রতিটি ব্যক্তি বিশ্বাস করে যে যতক্ষণ না তিনি এত বেশি গণিত না শিখেন যতক্ষণ না সম্ভব সম্ভাব্য অস্বাভাবিকতাগুলি তাদের গুলিয়ে ফেলেন ততক্ষণ তিনি জানেন যে বক্ররেখা কী what

কার্ভগুলির মতো, ট্যুরিং মেশিন দ্বারা গৃহীত ভাষাগুলির সাথে  ... যা আমার কাছে একবার মনে হয়েছিল (সবসময় জটিলতম শ্রেণীর মধ্যে সর্বাধিক সর্বাধিক প্রাকৃতিক এবং এখন আমাকে তার অগণিত (/ অগণিত?) অবিশ্বাস্য ও / বা অবিশ্বাস্য গুণাবলী দ্বারা বিভ্রান্ত করেছে । কিউ 1–5 জিজ্ঞাসা করার বিস্তৃত প্রেরণাটি ছিল এই বিভ্রান্তিকর থিকিকেটের মধ্য দিয়ে একটি পথ সন্ধান করা, তবে এখনও পর্যন্ত দেওয়া উত্তরগুলি (ট্র্যাভিস সার্ভিস এবং অ্যালেক্স টেন ব্রিংক দ্বারা) বিভ্রান্তির আরও ভিত্তি সরবরাহ করেছে!$P$

ক্লিনের গণিতবিদদের প্রজন্ম বাঁক এবং সেট তত্ত্ব, জ্যামিতি এবং বিশ্লেষণের অন্যান্য মৌলিক উপাদানগুলির জন্য ভাল সংজ্ঞা খুঁজে পাওয়ার জন্য কঠোর পরিশ্রম করেছিল। আলেকজান্ডার হর্নেড স্পিয়ারের উইকিপিডিয়া আলোচনায় প্রাথমিক স্তরের একটি পর্যালোচনা পাওয়া যাবে

      
      আর 3-তে একটি গোলকের একটি এম্বেডিং

বিংশ শতাব্দীতে আলেকজান্ডার গোলকের মতো "বন্য ম্যানিফোল্ডস" বিশ্লেষণ টপোলজিক্যাল ম্যানিফোল্ডস, টুকরোয় ধারাবাহিক ম্যানিফোল্ডস এবং ডিফারেনশিয়াল ম্যানিফোল্ডগুলির মধ্যে পার্থক্য পরিষ্কার করতে সহায়তা করে। একইভাবে 21 শতকের মধ্যে, সম্ভবত যুক্ত সংজ্ঞা পরিমার্জনা গৃহপালিত সাহায্য করবে পি 'বন্য ভাষা এবং বন্য টুরিং মেশিন s ... যদিও উপযুক্ত পরিমার্জনা উল্লেখ কোন সহজ টাস্ক হতে হবে।$P$$P$

---

পটভূমি

এই লিঙ্কযুক্ত প্রশ্নগুলি গণিতের ওভারফ্লো সম্প্রদায়ের উইকি প্রশ্নগুলি থেকে উদ্ভূত হয় " গণিতের সবচেয়ে আকর্ষণীয় টিউরিং অঘোষিত সমস্যাগুলি কী ? " এবং " আধুনিক গণিতে কোন ধারণাটি ব্যবহৃত হয় তবে স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত হয় না? " বিশেষত, কলিন টান অনুরোধ করেছিলেন যে উপরের প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করা হোক একটি পৃথক প্রশ্ন হিসাবে পোস্ট।

প্রযুক্তিগত পটভূমির জন্য টিসিএস স্ট্যাকএক্সচেঞ্জ প্রশ্নটি দেখুন " পি-তে রানটাইম সীমানা কি? ", বিশেষত ইমানুওয়েল ভায়লার সংক্ষিপ্ত প্রমাণ যে উত্তরটি "না"। এটিও নোট করুন যে একই রকমের ফলাফল জুরিস হার্টম্যানিস দ্বারা তাঁর মনোগ্রাফে সম্ভাব্য গণনা এবং প্রমাণযোগ্য জটিলতার বৈশিষ্ট্যগুলিতে প্রমাণিত হয়েছে (1978)।

এই সপ্তাহে ল্যান্স Fortnow / বিল GASARCH ওয়েব্লগ কম্প্যুটেশনাল জটিলতা তাদের decadal পোলের হোস্ট করছেন " নেই কি না?$P=NP$ " - পঞ্চম এবং শেষ প্রশ্ন Fortnow / GASARCH প্রশ্ন উপর আমন্ত্রণগুলি ভাষ্য জিজ্ঞাসা।

Comments

@ অ্যালেক্স টেন ব্রিংকটি যেমন উল্লেখ করেছে, আপনি কিউ 1 তে যে ট্যুরিং মেশিনগুলির কথা বলছেন তা ভালভাবে সংজ্ঞায়িত হয়নি। আমি আপনার সম্পর্কে চিন্তা করতে হবে মনে 's এবং ∃ যেমন ভায়োলা এর প্রমাণ বিরোধিতা করা আপনার প্রশ্নে। $\forall$$\exists$

— সাশো নিকোলভ

@ শাশো, আপনাকে ধন্যবাদ ... অ্যালেক্সের পয়েন্টগুলির একটি স্বীকৃতি এবং সারাংশ (এবং ট্র্যাভিস সার্ভিসের পয়েন্টগুলি) জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের সাথে যুক্ত করা হয়েছে has

— জন সিডলস

নোট করুন যে ইমানুওয়েল ভায়োলার প্রমাণটি খুব বিস্তৃত সমস্যার জন্য প্রযোজ্য : একটি সাধারণ সংস্করণ যে কোনও সময়-গঠনমূলক ফাংশনগুলির জন্য প্রমাণিত হয় সাথে f ( n ) = ω ( n লগ এন ) এবং g ( n ) = ω ( f ( n) ) ) যে কোনও টিএম এর পক্ষে এটি অসম্ভব যেটির জন্য এটি প্রতিশ্রুতি দেওয়া হয় যে এটি টি ( এন ) সময়ে বন্ধ হবে এবং সেই টি ( এন ) = ও $f, g$$f(n) = \omega(n \log n)$$g(n) = \omega(f(n))$$t(n)$ , টি ( এন ) = ω ( চ ( এন ) ) এবং টি ( এন ) = ও ( জি ( এন ) ) কিনা তা স্থির করতে। আমি এখানে সত্যিই পি বনাম এন পি এর লিঙ্কটি দেখতে পাচ্ছি না। $t(n)=O(f(n))$$t(n) = \omega(f(n))$$t(n)=O(g(n))$$P$$NP$

— অ্যালেক্স দশ ব্রিংক

আমার জন্য, পি বনাম এনপি- র লিঙ্কটি জ্যামিতির সাথে সাদৃশ্য দ্বারা উত্থিত। ধারাবাহিকতার ধারণাটিকে আনুষ্ঠানিক রূপ দেয় এমন সংজ্ঞাগুলি কাহার ম্যানিফোল্ডস থেকে রিমন ম্যানিফোল্ডস থেকে টপোলজিকাল ম্যানিফোল্ডস থেকে টপোলজিকাল ম্যানিফোল্ডস থেকে পয়েন্ট সেটগুলিতে (আরও অনেক তাত্পর্য সহ) বিস্তৃতভাবে স্তম্ভিত হয়, এবং এই পার্থক্যগুলিকে আনুষ্ঠানিকভাবে গণিতের অগ্রগতির জন্য আবশ্যক ছিল। একইভাবে, পি তে ট্যুরিং মেশিনের সেট , এবং এই মেশিনগুলি যে ভাষার ভাষা গ্রহণ করে সেগুলির মধ্যে সম্ভবত "বন্য" অ্যালগরিদম অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যাদের জটিলতার তত্ত্বের ভূমিকা সম্ভবত (সম্ভবত?) জ্যামিতি এবং টপোলজিতে "বহিরাগত" পয়েন্ট সেটগুলির সাথে বিস্তৃতভাবে সাদৃশ্যপূর্ণ।

— জন সিডলস

@ জন, আমি আপনার (বিভিন্ন আগে .. অনেক আগে) ব্লগের মন্তব্যে এই চিন্তাভাবনার ইঙ্গিতগুলি দেখেছি এবং আপনি এটির সাথে কতটা এগিয়ে গেছেন তা দেখে আমি সন্তুষ্ট। শান্ত!

— ড্যানিয়েল আপন

Answer 1

প্রশ্ন 1 এর উত্তর নেই। কে পি ভাষায় একটি ভাষা দিন এবং এম কে কোনও বহুপদী সময় হতে দিন এলকে স্বীকৃতি দেওয়ার টিউরিং মেশিনটি (যার রানটাইমটি অনির্বচনীয় বলে ধরে নেওয়া হয়)। প্রতিটি কে ∈ এন এর জন্য এম কে কে ট্যুরিং মেশিন হতে দিন যা ইনপুট $L$$P$$M$$L$$k \in \mathbb{N}$$M_k$$x$ দৈর্ঘ্যের প্রথম লুপ এন ট পদক্ষেপ তারপর রান এম উপর এক্স জন্য এন ট + + ট পদক্ষেপ এবং গ্রহণ করে যদি এম গ্রহণ এক্স (যাদের মধ্যে এন ট + + $n$$n^k$$M$$x$$n^k + k$$M$$x$$n^k + k$পদক্ষেপ) এবং অন্যথায় প্রত্যাখ্যান করে। এর রানটাইম হয় Θ ( এন ট ) প্রত্যেকের জন্য ট ।$M_k$$\Theta(n^k)$$k$

যেহেতু বহুবর্ষে চালায় সেখানে কিছু কে ′ ∈ এন রয়েছে যা এম হে ( এন কে ′ ) এ চালায় (যদিও আমরা জানি না কে ′ কী) এবং তাই সমস্ত কে-ই যথেষ্ট পরিমাণে এম কে এলকে চিনে এবং রয়েছে একটি নির্ধারিত রানটাইম$M$$k' \in \mathbb{N}$$M$$O(n^{k'})$$k'$$k$$M_k$$L$

সম্পাদনা

আমি মনে করি যে নীচের উত্তরটি মূল পোস্টার 1 নং প্রশ্নের সাথে কী উদ্দিষ্ট করেছে তার চেতনায় আরও বেশি।

উপপাদ্য: এখানে একটি ভাষা বিদ্যমান রয়েছে যে এন যদি এমন কোনও টিউরিং মেশিন থাকে যা এল সিদ্ধান্ত নেয় তবে নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে অন্তত একটি সত্য:$L \in P$$N$$L$

1) এল , বা গ্রহণ করে এমন কোনও প্রমাণের অস্তিত্ব নেই$N$$L$

২) চ- এন ( N ) পদক্ষেপে (যে কোনও ফাংশনের জন্য f ( n ) ) থেমে আছে তার কোনও প্রমাণ নেই ।$N$$f(n)$$f(n)$

প্রুফ স্কেচ: আসুন হতে একটি টুরিং মেশিন যে ফাঁকা টেপ বন্ধ করে না এবং যার জন্য সেখানে একটি প্রমাণ যা বিদ্যমান নেই এম যেমন একটি Hartmanis এবং Hopcroft শো দ্বারা কম্পিউটার সায়েন্স স্বাধীনতা ফলাফল ফাঁকা টেপ বন্ধ না ( এম করতে পারেন কার্যকরভাবে পাওয়া যাবে)।$M$$M$$M$

যাক ।$L = \{ n : \exists n' \geq n \mbox{ s.t. } M \mbox{ halts in } n' \mbox{ steps when run blank tape}\}$

যেহেতু থামায় না, এল আসলে খালি ভাষা তবে এর কোনও প্রমাণ নেই (এটি প্রমাণ করে যে এম থামায় না)।$M$$L$$M$

যাক হতে কোন টুরিং মেশিন। উভয় একটি প্রমাণ অস্তিত্ব থাকে এন সিদ্ধান্ত নেয় এল এবং প্রমাণ এন রান চ ( এন ) তারপর সঞ্চালনের ধাপ এন যখন ইনপুট চালানো $N$$N$$L$$N$$f(n)$$N$$1$ হয় একটি প্রমাণ প্রদান করে যে স্থগিত (অর্থাত, যদি এন গ্রহণ) অথবা যে এম করে থামবে না (যেমন, যদি এন প্রত্যাখ্যান করে)। সুতরাং, যদি এন সম্ভাব্যভাবে এল সিদ্ধান্ত নেয় তবে এন এর রানটাইম সিদ্ধান্ত নেওয়ার যোগ্য নয় এবং বিপরীত।$M$$N$$M$$N$$N$$L$$N$

Comments

ট্র্যাভিস পুনঃপ্রকাশিত প্রশ্নের উত্তর দেয়, তবে এটি একটি অদ্ভুত পরিস্থিতি যেখানে একটি প্রবণতাযোগ্য অভিজাত রয়েছে তবে কেবলমাত্র এমন মেশিনগুলির জন্যই আপনি সমস্যার সমাধান করতে পারবেন না।

— ল্যান্স ফোর্টনু

এটি কিউ 1 এর একটি দুর্দান্ত উত্তর ... এবং আমি ল্যানসের সাথে সম্পূর্ণ একমত যে এই অ্যালগরিদম ক্লাস পি এর খুব অদ্ভুত সদস্য the প্রশ্নের অনুপ্রেরণার অংশটি ছিল অন্তর্দৃষ্টি ক্যাপচার করা (সংজ্ঞাগুলির মাধ্যমে যা উপপাদ্য প্রমাণের জন্য চমৎকার via ) যে পি এর যে অ্যালগরিদমগুলি আমরা "যত্নশীল" (কোনও অর্থে) সেই আলগোরিদিমগুলি যার কার্য সম্পাদনকে আমরা "যাচাই" করতে পারি (কিছুটা অর্থে) ... এই উদাহরণটি সেই উদ্দেশ্যটিকে পুরোপুরি পরাভূত করে! চমৎকার উত্তর! :)

— জন সিডলস

এই সূক্ষ্ম মন্তব্যটি (যা সম্পর্কে আমি এখনও ভাবছি) ফেলিক্স ক্লেইনের মন্তব্যটি মনে মনে বলেছিল "একটি ধারণা যা স্থানের নির্বোধ ধারণাতে কম-বেশি নির্ভুলতার সাথে ঘটে, যা আমাদের জ্যামিতির সিস্টেমের পরিপূরক হিসাবে যুক্ত করা উচিত, এটি একটি ধারণা একটি (স্বেচ্ছাসেবী) কার্ভের । প্রত্যেক ব্যক্তি বিশ্বাস করে যে যতক্ষণ না তিনি এত বেশি গণিত না শিখেন যে অগণিত সম্ভাব্য অস্বাভাবিকতাগুলি তাদের গুলিয়ে ফেলেন ততক্ষণ তিনি জানেন যে একটি বক্ররেখা কী। মুল বক্তব্যটি হ'ল পি বনাম এনপি-তে অগ্রগতি অর্জন করার জন্য, সম্ভবত "অগণিত সম্ভাব্য অস্বাভাবিকতা" বাদ দেওয়ার জন্য পি এর সংজ্ঞাটি পরিমার্জন করা একটি মূল পদক্ষেপ।

— জন সিডলস

আপনার উত্তর খুব আকর্ষণীয়। তবে, প্রিডিকেট 1 আরও সঠিকভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে কারণ ' এলকে গ্রহণ করে এমন কোনও প্রমাণের অস্তিত্ব নেই$N$$L$ নীচের সংজ্ঞা থেকে নেই।', যেহেতু আমি খুব সহজেই একটি ডিএম সিদ্ধান্ত নিতে (যা খালি ভাষা) তৈরি করতে পারি এবং সর্বদা এটি প্রমাণ করতে পারি থামিয়ে খালি ভাষা সিদ্ধান্ত নেয়। আমি আবার খুব সুন্দর কিছু শিখেছি, এবং আপনি উল্লেখ করেছেন সেই রেফারেন্সটি আমি যাচ্ছি: ডি$L$

— অ্যালেক্স টেন ব্রিঙ্ক

তার ইতিমধ্যে উত্তম উত্তরের ট্র্যাভিসের সম্পাদনা চিন্তা করার জন্য আরও বেশি সরবরাহ করে। যেহেতু এই প্রক্রিয়াটি কিছুটা সময় নেবে (আমার জন্য), তাই আমি ট্র্যাভিস (পরিষেবা) এবং অ্যালেক্স (দশটি ব্রিংক) উভয়ের কাছেই এখন আমার কৃতজ্ঞতা এবং ধন্যবাদ জানাতে চাই (এবং পরে প্রযুক্তিগত মন্তব্য)। তারা শিক্ষার্থী হলেও তাদের মন্তব্য (আইএমএইচও) পরিপক্ক এবং আকর্ষণীয় হয়েছে been এটি সুপরিচিত যে অ্যালান টুরিং তার 21 তম এবং 23 তম বছরের মধ্যে তার "অন কমপটেবল নম্বরে, একটি অ্যাপ্লিকেশন অফ দ্য এন্টেসিডেডংস্প্রোব্লেম " দিয়েছিলেন; এইভাবে শিক্ষার্থীরা সাফল্যের সাথে একই সমস্যাগুলিকে আক্রমণ করেছে ... আমরা অ্যালেক্স এবং ট্র্যাভিসের জন্যও একই আশা করতে পারি।

— জন সিডলস

Answer 2

হ্যাঁ আপনি সময় মতো সময় নেওয়ার মতো একটি মেশিন তৈরি করতে পারেন ( ) -ডিটাইম ($n^{i+1}$ ) যেখানে আমি ফাঁকা টেপ থামাতে নির্দিষ্ট ট্যুরিং মেশিন দ্বারা নেওয়া পদক্ষেপের সংখ্যা। সহজেই নির্মাণ করা যায় এবং অনুরূপ নির্মাণগুলি পি এর যে কোনও অ-তুচ্ছ দিক সম্পর্কে রাখে P পি ভি এনপি অনস্বীকার্য কিনা তা সম্পর্কে আমাদের কিছুটা বলেন:একই সমস্যা থাকা সত্ত্বেওপি ≠ এক্সপিপ্রমাণ করার কোনও সমস্যা নেই।$n^i$$i$$\neq$

Comments

হ্যাঁ ... সেই কৌশলটি ইমানুওয়েল ভায়োলার এবং জুরিস হারমানিসের পি এর রানটাইম অনিশ্চয়তার প্রমাণ হিসাবে উদাহরণস্বরূপ (উদাহরণস্বরূপ)। অন্যদিকে, এটা জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ ক্ষেত্রে যে টুরিং মেশিন যে এই কৌতুক দ্বারা সংস্থাপিত সকল চিনতে ভাষায় এল যে হয় এছাড়াও পি যার রানটাইম মধ্যে টুরিং মেশিন দ্বারা স্বীকৃত হয় নির্ধার্য। এই কারণেই কিউ 1 টি টুরিং মেশিনের চেয়ে ভাষা সম্পর্কে প্রশ্ন হিসাবে শব্দযুক্ত (সাবধানে!) করা হয়েছে ... হার্টম্যানিস / ভায়োলা নির্মাণকে বাদ দেওয়ার জন্য ... অবিকল বিন্যাসে বাধা ছাড়াই (আপনার মন্তব্য অনুসারে) বিদ্যমান প্রমাণ যা পি \ নে EXP।

— জন সিডলস

... এবং কেবল উল্লেখ করার জন্য, সেই ভাষাগুলি L যা সম্পূর্ণরূপে টুরিং মেশিন দ্বারা স্বীকৃত, যাদের রানটাইম এক্সপোজারগুলি অনস্বীকার্য ছিল, জটিলতা-তাত্ত্বিক (এবং ক্রিপ্টোগ্রাফিক) দৃষ্টিকোণ থেকে আকর্ষণীয় ভাষা ... তারা সম্ভবত একটি গোডেলে বিদ্যমান -অ্যালগরিদমিকভাবে সংকোচনযোগ্য (তবে সংজ্ঞা অনুসারে এটি তেমন নয়) এবং সংকোচনযোগ্য (এবং তবুও সংজ্ঞায়িতভাবে class শ্রেণিতে নয়) এর মধ্যে -র "স্পষ্ট অঞ্চল" বর্ণনামূলক।

— জন সিডলস

Answer 3

বিষয়টিতে আরও চিন্তাভাবনা করার পরে, আমি মনে করি আপনার Q4 এর জন্য একটি (সম্ভাব্য) উত্তর পেয়েছি ।

• প্রশ্ন 4: অন্যান্য কোন বৈশিষ্ট্য (রানটাইম এক্সপোজারগুলি ছাড়াও) বর্তমানে অনির্বাচিত হিসাবে পরিচিত? পি এর কোন বৈশিষ্ট্যের জন্য এই প্রশ্নটি উন্মুক্ত?$P$$P$

আমি ভাতের উপপাদ্যে একটি বৈচিত্র্য প্রমাণ করেছি যা বেশিরভাগ সম্পত্তির জন্য আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয়। আমি এবার নিজেকে আরও স্পষ্ট করে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব (ট্র্যাভিস সার্ভিসের উত্তরটি আমার আগের উত্তরের চেয়ে অনেক পরিষ্কার এবং সাধারণ ছিল)।

উপপাদ্য: নির্ধারণযোগ্য অসীম ভাষার কিছু সংখ্যক সেট (তবে কোনও সীমাবদ্ধ ভাষায় নেই) ধরে রাখার জন্য কোনও প্রদত্ত টুরিং মেশিন সেই সম্পত্তির সাথে কোনও ভাষা স্থির করে কিনা তা অনস্বীকার্য , যখন প্রতিশ্রুতি দেওয়া হয় যে E সর্বদা ও ( O ( f ( n) এ থামবে) ) ) সময়, যেখানে f ( n ) = Ω ( n লগ এন ) এবং f ( n ) = Ω ( জি ( এন ) ) , যেখানে জি ( $E$$E$$O(f(n))$$f(n)=\Omega(n \log n)$$f(n)=\Omega(g(n))$$g(n)$ সেই সম্পত্তি নিয়ে কোনও ভাষা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য কিছু টুরিং মেশিনের চলমান সময়।

মনে রাখবেন যে কোনও টিউরিং মেশিন (এখন থেকে টিএম) কোনও ভাষা সিদ্ধান্ত নেয় যদি সে ভাষার সমস্ত স্ট্রিং গ্রহণ করে এবং ভাষার বাইরে সমস্ত স্ট্রিং প্রত্যাখ্যান করে। নোট করুন যে আমরা চ ( এন ) নিতে পারি$f(n)$ কে বহুপদী ছাড়া অন্য কিছু হতে পারি, সুতরাং উপপাদ্যটি কেবলমাত্র চেয়ে বেশি সাধারণ ।$P$

আমরা 'সম্পত্তি' এর ধারণাকে আনুষ্ঠানিকভাবে ভাষা ' ' সম্পত্তি হিসাবে কিছু অবাধে নির্বাচনযোগ্য সেট হিসাবে রূপান্তর করি । কোনও ভাষার সম্পত্তি রয়েছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার পরে ভাষাটি এস এর সদস্য কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমতুল্য । রাইসের উপপাদ্যের মতোই, আমরা ইনপুট টিএম দ্বারা নির্ধারিত ভাষাতে নির্দিষ্ট সম্পত্তি রয়েছে কিনা তা আমরা নির্ধারণ করতে পারি কিনা তা তদন্ত করি এবং এস তেও আছে । নোট করুন যে আমাদের এস require প্রয়োজন $S$$S$$S$ অর্থাত্ এস এর মধ্যে কেবলমাত্র নির্ধারিত ভাষা রয়েছে।$S \subseteq R$$S$

দয়া করে নোট করুন যে আমরা টিএমএস নয়, ভাষার বৈশিষ্ট্যগুলির বিষয়ে কথা বলছি । রানটাইম এক্সপোজারগুলি সম্পর্কে আপনার প্রশ্ন এই উপপাদ্যের কোনও বিশেষ ক্ষেত্রে নয়। , বলে, প্রোপার্টি , গ্রহণ করে studyable এস ⊆ পি , আপনি বহুপদী সময় চলমান স্মৃতি বৈশিষ্ট্য চেয়ে বেশি স্বার্থ হতে পারে। আপনি কোনও টিএম এর কাছে সমস্ত ধরণের নিষ্ঠুর স্টাফ করতে পারেন, তার যথার্থতা এবং চলমান সময় বজায় রেখে, তবে আপনি ভাষাতে একই করতে পারবেন না।$P$$S \subseteq P$

সমস্ত ভাষা যে প্রয়োজন অনন্ত হতে হবে যে প্রয়োজনীয়তা প্রমাণের জন্য একটি প্রযুক্তিগত প্রয়োজন, তবে যেহেতু সমস্ত সীমাবদ্ধ ভাষা অবিচ্ছিন্ন সময়ে নির্ধারিত হয় এবং তাই সাধারণত উদ্বেগজনক হয়, তাই আমি মনে করি না এটি একটি প্রধান ভাষা। আমি সাধারণ সংস্করণ আশা করি যা সীমাবদ্ধ ভাষাগুলিও সত্য হতে দেয়।$S$

উপপাদ্য প্রমাণ । ধরা যাক আমাদের টিএম ই প্যারামিটার হিসাবে কিছু টিএম দেওয়া হয়েছে , যেমন পি সর্বদা থেমে থাকে এবং গ্রহণ করে যদি E এস এর কিছু ভাষা স্থির করে এবং যেখানে E উপরের মত চলমান সময়ের সাথে সর্বদা থামার প্রতিশ্রুতি দেওয়া হয়। যাক ( একটি , আমি ) , স্থগিত সমস্যার জন্য একটি দৃষ্টান্ত হতে অর্থাত একজন একটি টি এম নেই এবং আমি জন্য একটি ইনপুট হয় একটি , এবং আমরা এখন কিনা সিদ্ধান্ত নিতে চান একটি উপর স্থগিত আমি ।$P(E)$$E$$P$$E$$S$$E$$(A, i)$$A$$i$$A$$A$$i$

যেহেতু আমরা অধিকৃত nonempty ছিল, আমরা কিছু আছে গুলি ∈ এস । যেহেতু এস শুধুমাত্র নির্ধার্য ভাষায় রয়েছে, কিছু টি এম বিদ্যমান সি সিদ্ধান্ত গুলি । বিশেষত, আমরা উপপাদায় ধরে নিয়েছি চলমান সময় জি ( এন ) সহ সিটি বেছে নিই । আমরা এখন নিম্নলিখিত টিএম বিবেচনা:$S$$s \in S$$S$$C$$s$$C$$g(n)$

function H(x)
h := simulate A on i for |X| steps and return whether it halted
if h == 'halted' then
    reject
else
    if C(x) accepts then
        accept
    else
        reject
    fi
fi

এটি সহজেই দেখা যায় যে এই টিএমের চলমান সময়টি উপপাদকের প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে, যেহেতু টিএমগুলি সময়ে অনুকরণ করা যায় ।$O(n \log n)$

আমরা দাবী করে যে ফেরৎ কোন iff একটি উপর স্থগিত আমি । T পদক্ষেপের পরে আমার উপর একটি থামবে বলে ধরে নিন । এইচ | এর সাথে কোনও এক্সকে প্রত্যাখ্যান করে এক্স | ≥ টি । সুতরাং আমরা সর্বাধিক সীমাবদ্ধ ভাষা স্থির করি এবং অতএব এইচ এস এবং পি ( এইচ ) এর কোনও ভাষা সিদ্ধান্ত নেয় না সুতরাং কোনও নম্বরই ফিরে আসবে না ।$P(H)$$A$$i$$A$$i$$t$$H$$X$$|X| \geq t$$H$$S$$P(H)$

Now assume $A$ does not halt on $i$. Then the variable halt will never get the value 'halted', so we decide the same language as $C$, which is exactly $s \in S$, so $P(H)$ will return true. This proves that $P(H)$ can solve the Halting Problem, which in turn proves the theorem.

Comments

This is a very powerful and flexible argument, and it will take awhile for me to grasp it ... there's a saying among farmers in the central USA "I feel like a pig being shown a wristwatch!" It appears (by your argument) that P is richly endowed with undecidable attributes; what I am having trouble grasping is whether the languages L recognized by P similarly are richly endowed with undecidable attributes ... the exercise of constructing concrete example languages having natural undecidable attributes is particularly frustrating (for me). Thank you for an excellent, thought-provoking answer.

— John Sidles

I think you believe $P$ to be the set of TMs running in polynomial time. This is not the definition: $P$ is the set of languages decidable by some TM running in polynomial time.

— Alex ten Brink

Alex, I definitely confess to being confused ... but not about that! What I would like to construct, or (less desirably) prove the existence/nonexistence of, would be (for example) a language L in P having the property that every Turing machine that accepts L either is not verifiably in P or does not verifiably accept L. These languages L would belong to P "oracularly" ... the possibility that P includes purely oracular languages is confusing to me ... especially since it is at all not obvious (to me) how such purely oracular languages could ever be concretely sampled and exhibited.

— John Sidles

Oh yeah ... and to ask the converse (also confusing) question ... for a given language L in NP that possibly is accepted solely by oracular Turing machines ... by what proof method could we possibly establish that L is not recognized by any of P's oracular Turing machines ... and thus separate P from NP? Or suppose that we did prove the existence of a language L in NP not recognized by any Turing machine in P ... with the restriction that L was purely oracular ... and we could not exhibit that language ... should we be satisfied that P != NP? These questions are confusing!

— John Sidles

Answer 4

I can answer your Q1 in the negative, thereby also answering Q2 and Q3 in the negative. I'm not sure about Q4 or Q5 though.

• Q1: Do there exist languages $L$ that are recognized solely by those Turing machines in $P$ whose runtime exponents are undecidable?

It seems you misunderstood exactly what Emanuele Viola proved in his brilliant proof you linked. He showed that there is no single Turing Machine $M$ capable of computing the runtime exponent for any Turing Machine $T$ presented to $M$, even under the promise that $T$ runs in polynomial time.

However, for any given Turing Machine $T$ running in polynomial time, there exists some $k$ such that $T$ has a running time of $O(n^k)$, and hence the Turing Machine $M$ returning $k$ (and nothing more) is able to 'tell' the running time exponent of $T$, even without having to look at $T$! Hence, M decides (in constant time even) what $k$ is for this given Turing Machine $T$. We may not know which Turing Machine decides it, but we know one exists.

Coming back to your question, if we are given a language $L$ in $P$, then there is some Turing Machine $T$ running in $O(n^k)$ for some $k$ that decides $L$, and hence there is the Turing Machine $M$ returning $k$ that decides the runtime exponent for $T$. This answers your question in the negative.

You might instead wonder about a different problem for a given language $L$ in $P$: given Turing Machine $T$ promised to run in polynomial time and promised to decide $L$, is it decidable to find the runtime exponent of $T$?

Unfortunately, this is also undecidable. Suppose we are given a language $L$ in $P$ and a TM (Turing Machine) $M$ capable of deciding for a given TM $T$ promised to run in polynomial time and promised to decide $L$, what the runtime exponent of $T$ is. We can prove this to be undecidable in a very similar way to what Emanuele Viola did: we use the exact TM he defined, and change it slightly: we now want this TM to decide $L$.

Since $L$ is in $P$, there is some TM deciding $L$ in $O(n^k)$ time. Our new TM $M$ first starts exactly as in Emanuele Viola's proof, running the (Halting Problem) TM for $n$ steps. It then loops either for $n^{k+1}$ steps or $n^{k+2}$ steps similarly to Emanuele Viola's TM. Finally, it solves $L$ on the given input and returns the answer.

$M$ is in $P$, decides $L$, and if we know the runtime exponent, we can decide the Halting Problem, so the above problem is also undecidable (for any language $L$). Note that we do not need to know $k$, we don't actually have to construct $M$, all we have to do is know it exists!

This kind of thinking about undecidability is quite common apparently, I remember a (blog?) post about a very similar issue: the question was "is it decidable whether Pi has a 'last zero'", so whether Pi stops having zeroes in its decimal representation if you go down far enough that representation. We currently don't know whether this is the case. We might not even be able to prove it, ever, or it might even be independent from our axiom systems (and thereby unprovable). But, since the answer is either true or false, a TM returning true and a TM returning false decide the issue either case and therefore the problem is decidable.

I'll see if I can find that post on the internet somewhere.

Edit:

I found it on Mathoverflow.

Comments

your comment and Travis Service' account both are excellent. It appears that in Q1 the phrase "undecidable" is not synonymous with "not verifiably decidable" ... and it is not at all clear (to me) which definition (a) leads to the best theorems and (b) best captures our intuition of the class P. Remarks on this question are welcome.

— John Sidles

Thank you Alex for the link (to the MOF question "Can a problem be simultaneously polynomial time and undecidable?") ... I have edited the main post to include that link.

— John Sidles